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内容： 附录 Ⅰ 截面图形的几何性质 静矩，惯性矩，惯性半径，惯性积， 主惯性轴，形心主惯性矩，

13. 附录 Ⅰ. 内容： 附录 Ⅰ 截面图形的几何性质 静矩，惯性矩，惯性半径，惯性积， 主惯性轴，形心主惯性矩， 平行移轴定理，转轴公式. 要求： 掌握全部概念，会计算简单组合图形的形 心主惯性矩. 练习： 静矩 1 ，组合图形的形心主惯性矩 2. 作业： 附 I –5(a) ， 6 ， 11 ， 12. 力学响应的决定因素. 载荷 材料 几何性质. 附录 I: 截面图形的几何性质.

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内容： 附录 Ⅰ 截面图形的几何性质 静矩，惯性矩，惯性半径，惯性积， 主惯性轴，形心主惯性矩，

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Presentation Transcript

  1. 13 附录Ⅰ 内容： 附录Ⅰ 截面图形的几何性质 静矩，惯性矩，惯性半径，惯性积， 主惯性轴，形心主惯性矩， 平行移轴定理，转轴公式 要求： 掌握全部概念，会计算简单组合图形的形 心主惯性矩 练习： 静矩1，组合图形的形心主惯性矩2 作业： 附I –5(a) ， 6， 11， 12

  2. 力学响应的决定因素 载荷 材料 几何性质

  3. 附录I:截面图形的几何性质 几何性质——只与横截面的几何形状和尺 寸有 关的某些几何量，对杆件的应力和变形起着重要作 用，如横截面面积A, 圆轴横截面对圆心的极惯性 矩IP等。 拉压杆 圆轴扭转

  4. F F 梁的几何性质对变形的影响

  5. F F 几何性质对变形的影响

  6. z y dA z y O 一、静矩和形心 1. 静矩（一次矩） 代数量 单位：m3

  7. z yC C zC y O 2.形心 按合力矩定理理解 ——均匀薄板的重心

  8. z y dA yC C zC z y O 3. 形心与静矩的关系 ∴ Sz= A yc 同理 ∴ Sy= A zc 图形对一个轴的静矩，等于该图面积 与其形心坐标的乘积。

  9. 几个特例 z C 形心必位于对称轴上 y z Sy = A zc C y 是形心轴时，zc=0 ∴ Sy =0 y 结论：图形对其任意形心轴的静矩为零

  10. z dz y C R Z zC y 例 求图示半圆的Sy ,Sz和形心 yc = 0, Sz = 0 解：由对称性， 由图

  11. 4. 组合图形的静矩和形心 组合图形——由几个简单图形组成 的图形。

  12. z Ⅰ C1(yc1,zc1) C(yc,zc) C2（yc2,zc2) Ⅱ y 组合图形的静矩和形心

  13. 组合图形的静矩和形心 一般地

  14. z dA y z O y 二、惯性矩、惯性积、惯性半径 1. 惯性矩 O 二次矩，正定 单位：m4 显然，图形分布距离某轴越远，对该轴 的惯性矩就越大。

  15. z h y O b z y O d

  16. z d O y D

  17. z y z dA O y z dA dA - y y z z y O 2. 惯性积 混合二次矩 代数量 单位：m4 y, z轴中有一个是 对称轴，则Iyz=0

  18. z h y O z b y O d 单位：m 3. 惯性半径 矩形 圆形

  19. z y dA z ρ O y 4. 惯性矩与极惯性矩的关系 ∵ ρ2 = y2＋z2 ∴ 即 IP = Iz＋Iy 图形对通过一点的任意两个互垂坐标轴 的惯性矩之和为一常数。

  20. C yC a y 三、平行移轴公式 问题 已知对形心轴的惯性 矩和惯性积， 求对所有 与该形心轴平行的轴的 惯性矩和惯性积

  21. zC z dA zC C yC z a y O z = zC + a 例如，已知Iyc , y∥ yC ,求Iy . Iy = 图形对一轴的惯性矩，等于对平行于此轴的形心轴 的惯性矩，加上图形面积与此二轴距离平方的乘积。

  22. zC z yC b dA zC C yC z a y O 一般地， Iy = Iyc + a2A Iz = Izc + b2A Iyz = Iyczc + abA 在一组平行的轴中，图形对其形心轴的惯性矩最小。 记住图形对形心轴的惯性矩，便可求出对所有 平行于此形心轴的各轴的惯性矩。 惯性积公式中 a, b 为形心坐标，注意其正负号。

  23. 四、组合图形的惯性矩 若 则 组合图形对某轴的惯性矩，等于各组成 图形对同一轴惯性矩的和。

  24. 200 Ⅰ C1 z1 55 C 55 200 C2 yC z2 Ⅱ z 20 例 20 1. 求形心位置 zC 由对称性，形心位于 对称轴上。 已知：C 为形心，求：Izc. 解： 2. 求Izc. Izc =（200×203/12＋200×20×552） ＋（20×2003/12＋200×20×552） = 37. 67×106 mm4

  25. z z1 dA y y1 z1 z α y1 α O y 五、转轴公式 坐标原点不变，坐标轴 旋转，图形对轴的惯性矩 和惯性积的变化。 α 角： 自y轴正向逆时针 转动为正。 新旧坐标转换关系： y1= y cos α ＋z sin α z1= z cos α －y sin α

  26. 整理后得 讨论：Iy1, Iz1, I y1z1都是α 角的有界周期函数； Iy1＋Iz1= Iy＋Iz= Ip = 常数

  27. 六、形心主惯性轴 形心主惯性矩 1. 主惯性轴 若Iy1z1 = 0, 则 y1, z1轴称为主惯性轴。 其位置可由下式确定： α0为主惯性轴与 y 轴的夹角,有两个解，正交。 2. 形心主惯性轴 通过形心的主惯性轴称形心主惯性轴。 对称轴必为形心主惯性轴。

  28. z z z C C y y C y 形心主惯性轴

  29. 3. 主惯性矩 图形对主惯性轴的惯性矩，称主惯性矩。 当图形对任意两个坐标轴y,z的惯性矩Iy, Iz 和惯性积Iyz已知时，其主惯性矩可由下式 计算： Iy0 IZ0

  30. 主惯性矩的意义 求导 对 即 Iy1z1 = 0 所以，主惯性轴就是使得图形的惯性矩 取得极值 的坐标轴； 而主惯性矩就是图形对通过一点的所有坐标轴 的惯性矩中的最大值或最小值。

  31. 4. 形心主惯性矩 图形对形心主惯性轴的惯性矩。 形心主惯性矩对梁的应力分布和变形 计算起着十分重要的作用。 计算步骤： 确定形心； 确定对任意形心轴的惯性矩和惯性积； 计算形心主惯性矩。

  32. z 20 C1 100 C（yc ,zc） 20 C2 y O 100 例题 解: 1. 选坐标 yoz , 求形心主惯性矩 2. 求形心

  33. z 20 zC C1 100 20 C（40, 30） yC 20 20 C2 y O 100 例题 3. 求 Iyc , Izc ,Iyczc

  34. z 20 zC C1 30 100 C（40, 30） yC 30 20 C2 y O 100 例题

  35. 例题 z Iyczc=100×20×（－30×20 ) 20 + 100×20×（－20×30 ) zC C1 30 = －2.4×106 mm4 100 20 C（40, 30） yC 20 30 20 C2 y O 100

  36. 4. 求形心主惯性矩 Iy0 Iz0 6.93×106 mm4 ={ 1.73×106 mm4

  37. z 20 z0 zC C1 100 C（40, 30） yC y 20 C2 33.7° O 100 y0 5.形心主惯性轴 α0 = － 33.7°

  38. 作业 附I – 5(a)I – 6 I – 11 I – 12 再见

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