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主要内容： 筛法求素数 欧几里德算法求最大公约数 扩展欧几里德算法 模线性方程的解法 模线性方程组

数论. 主要内容： 筛法求素数 欧几里德算法求最大公约数 扩展欧几里德算法 模线性方程的解法 模线性方程组. 整除与约数. 对于整数 d 和 a ，如果存在整数 k 使得 a=k*d ，我们就说 d 能整除 a ，记为 d|a （读作 d 整除 a ） 例如，因为 24=3*8 所以 3 能整除 24 ，记为 3|24 如果 d|a ，并且 d>0 ，则称 d 是 a 的 约数 。 例如， 24 的约数有 1 、 2 、 3 、 4 、 6 、 8 、 12 、 24. 每个整数 a 都可以被其 平凡约数 1 和 a 整除，

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Presentation Transcript

  1. 数论 主要内容： • 筛法求素数 • 欧几里德算法求最大公约数 • 扩展欧几里德算法 • 模线性方程的解法 • 模线性方程组

  2. 整除与约数 • 对于整数d和a，如果存在整数k使得a=k*d，我们就说d能整除a ，记为d|a（读作d整除a ） 例如，因为24=3*8所以3能整除24，记为3|24 • 如果d|a，并且d>0，则称d是a的约数。 例如，24的约数有1、2、3、4、6、8、12、24. • 每个整数a都可以被其平凡约数1和a整除， • a的非平凡约数也称为a的因子。

  3. 素数与合数 • 对于某个大于1的整数a，如果它仅有平凡约数1和a则称a是素数（或质数）。否则称a是合数。 • 素数有 2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，··· • 素数有无穷多个

  4. 素数的应用 • 唯一素因子分解定理：合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：a=p1e1p2e2…prer 其中pi为素数，p1<p2<…<pr，且ei为正整数 • 如果正整数n分解质因子的结果为n=p1e1p2e2…prer， 则n的约数个数为: (e1+1)*(e2+1)*…*(er+1)。 所有约数之和为：(1+p1+p12+…+p1e1)*(1+p2+p22+…+p2e2) *…*(1+pr+pr2+…+prer)

  5. 素数的判定 • 对于大于1的正整数a，如果a具有小于或等于sqrt（a）的素因子，则a为合数，否则a为素数。 • 因此，可用区间[2,sqrt(a)]内的数去试除a，只要有一个数能整除a ，则a为合数，否则a为素数。这种判断素数的方法就是试除法。 • 复杂度O(sqrt(n)).

  6. 试除法 IsPrime(a) for(i=2;i*i<=a;i++) if(a%i==0) return a为合数 return a为素数

  7. 筛法求素数 • 如果要判断一个区间内的数是否为素数，也可用筛法求素数。 • 算法思想： • 1)将所有候选数2~n放入筛中; • 2)找出筛中最小数P，P一定为素数。 • 3)宣布P为素数，并将P的所有倍数从筛中筛去; • 4)重复2)至3)直到筛空. • 其实，当P>sqrt(n)时筛中剩下的数就已经都是素数了。

  8. 筛法求素数 //用数组prime[MAXN]记录是否为素数； //prime[i]为0表示i为素数，否则为合数 int prime[MAXN]={0}; for(i=2;i*i<=n;i++) { if(prime[i]==0) { for(j=i+i;j<=n;j+=i) prime[j]=1; } }

  9. 因式分解 • tn=n; • for(i=2;i*i<=n;i++)//试除2~sqrt(n) • if(tn%i==0){//如果能被i整除 • p[++cnt]=i;//保存底数 • e[cnt]=0;//保存指数 • while(tn%i==0){//计算指数 • e[cnt]++; • tn/=i; • } • } • } • if(tn>1){//存在大于sqrt(n)的素因子 • p[++cnt]=tn; • e[cnt]=1; • }

  10. 例题一：Goldbach's Conjecture(TOJ1171) • 题目描述： • 对于输入的偶数n(6≤n<1000000),是否可以表示为两个奇素数之和。如果可以表示，输出表达式，否则输出"Goldbach's conjecture is wrong."

  11. Sample Input 8 20 42 0 Sample Output 8 = 3 + 5 20 = 3 + 17 42 = 5 + 37 例题一：Goldbach's Conjecture(TOJ1171)

  12. 例题一：Goldbach's Conjecture(TOJ1171) • 假设两个奇素数中较小的一个为a， 让a从2取到n/2，如果a取到某个值时a与n-a都为素数，则此时的a与n-a的值便是所求。 • 如果最终找不到满足条件的a则无解，输出“Goldbach‘s conjecture is wrong.”即可。 • 因此可以用筛法预先计算出2~1000000内的素数，然后判断即可

  13. 最大公约数与最小公倍数 • d是a的约数并且也是b的约数，则d是a与b的公约数。 • 两个不同时为0的整数a和b的最大公约数表示为gcd(a, b)。 • 如果d既能被a整除也能被b整除，则d是a与b的公倍数，a与b公倍数中最小的叫a与b的最小公倍数，表示为lcm(a,b). • gcd(a,b)*lcm(a,b)=a*b • 最大公约数为1的两个数互质

  14. 最大公约数的求法 • GCD递归定理： 对任意非负整数a和任意正整数b，有 gcd(a, b) = gcd(b, a mod b) 。

  15. 最大公约数的求法 • 欧几里德算法（也叫辗转相除法）： EUCLID(a, b)  if b = 0  then return a  else return EUCLID(b, a % b) 例如: gcd(18,24)=gcd(24,18) =gcd(18,6)=gcd(6,0) =6 • 算法复杂度O(lg(b))

  16. 欧几里德算法 int gcd(int a,int b) { if(b==0) return a; return gcd(b,a%b);}

  17. 扩展欧几里德算法 • 通过欧几里德算法我们不仅能求出a与b的最大公约数， • 还可以改写欧几里德算法，求出整数x和y 使得gcd(a,b)=ax+by

  18. 扩展欧几里德算法 • 设a’=a mod b= a-b*floor(a/b); 假如我们通过递归得到了gcd(b,a’)=b*x’+a’*y’的x’,y’的值， 则因为gcd(a,b)=gcd(b,a mod b )=gcd(b,a’); 有等式gcd(a,b)=b*x’+a’*y’ • 代入a’可以得到gcd(a,b)=b*x’+(a-b*floor(a/b))*y’ 即gcd(a,b)=a*y’+b*(x’-floor(a/b)*y’) 所以只要将gcd(a,b)=a*x+b*y中的x换为y’,y换为x’-floor(a/b)*y’即可， • 同时我们有递归的基本情形gcd(a,0)=a*1+b*0.

  19. 扩展欧几里德算法 • 1. EXTENDED-EUCLID(a, b) • 2.if b = 0 • 3. then return (a, 1, 0) • 4.(d’,x’,y’) ←EXTENDED-EUCLID(b, a%b) • 5.(d, x, y) ←(d’, y’, x’–(a/b) * y’) • 6.return (d, x, y)

  20. 扩展欧几里德算法 • int ext_gcd(int a,int b,int &x,int &y) • { • if(b==0) • { • x=1; • y=0; • return a; • } • int d=ext_gcd(b,a%b,x,y); • int tx=x; • x=y; • y=tx-a/b*y; • return d; • }

  21. 例题二：A famous math puzzle (TOJ2219)   • 题目描述： • 有n个壶，和无穷多的水．每次我们只能： • １．把其中一个壶灌满． • ２．把其中一个壶倒空． • ３．把一个壶中的水倒入另一个壶中，直到一个壶为空或者另一个壶已经满了为止． • 给定一个体积Ｗ，问能否经过若干次倒水后使得最终有一个壶中只剩下Ｗ升水？如果能，输出”YES”,否则输出”NO”

  22. Sample Input: 2 4 5 6 2 10 65 39 2 12 4 8 3 9 10 35 14 0 0 Sample Output: YES NO NO YES 例题二：A famous math puzzle (TOJ2219)  

  23. 例题二：A famous math puzzle (TOJ2219)   • 要使n个水壶能倒出w体积的水，则必须符合以下两个条件： • １．至少有一个水壶的容量大于或等于w. • ２．假设p是n个水壶容量的最大公约数，那么w必须p的倍数．

  24. 例题二：A famous math puzzle (TOJ2219)   • 假设n个水壶的容量分别为C1,C2,C3…..Cn. • 必要性：不管执行三种操作的那一种，壶中所含的水一定是Ｐ的整数倍． • 充分性：由欧几里德算法扩展可知，必然存在整数A1,A2,A3…..An,使得 A1*C1+A2*C2+A3*C3+…+An*Cn=W. 如果Ai是正数，我们就用第i个壶从水源中取Ai次水；如果Ai为负数，我们就把第i个壶倒空Ai次，这样最后必会剩下Ｗ升水

  25. 同余的概念 • 两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余记作 a ≡ b (mod m) 读作a与b关于模m同余。

  26. 模的相关运算 • (x+y)mod n =((x mod n)+(y mod n)) mod n • (x-y)mod n =((x mod n) - (y mod n)) mod n • x*y mod n = (x mod n)*(y mod n) mod n

  27. 乘法逆元 • 若ax≡1(mod n) 则称a对n的乘法逆元为x ,记为a-1(mod n) • 设b为整数，如果a对n的乘法逆元为x ，则 b/a(mod n) =b*a-1 (mod n) • 乘法逆元并不总存在， 如2x ≡ 1(mod 4).

  28. 模线性方程 • ax≡b(mod n)为模线性方程，x为未知数。 • 定理一：设d=gcd(a, n)，假定对整数x’和y’，有d=ax’+ny’。如果d|b，则方程ax ≡ b(mod n)有一个解的值为x0，满足x0=x’(b/d)mod n。 • 定理二：假设方程ax ≡ b(mod n)有解（即有d|b，其中d=gcd(a, n)），x0是该方程的任意一个解，则该方程对模n恰有d个不同的解，分别为：xi=x0+i(n/d)(i = 1, 2, …, d-1)。

  29. 模线性方程的解法 1. SOLVE(a, b, n) 2. (d,x’,y’) ←EXTENDED-EUCLID(a, n) 3. if (d | b) 4. then x0 ←x’(b/d)mod n 5. for i ←0 to d-1 6. print(x0 + i(n / d)) mod n 7.else print “无解”

  30. 例题三： C Looooops (TOJ 2297) • 题意描述：对于以下循环语句 • for (variable = A; variable != B; variable+= C) statement; • 如果给定A，B，C，k的值，statement语句会执行多少次，假设其中所有变量都是k位无符号整数类型，（1 ≤k ≤32 ） • 如果此循环语句不会停止，输出”FOREVER”，否则输出执行次数。 • 输入数据以4个0结束

  31. Sample Input 3 3 2 16 3 7 2 16 7 3 2 16 3 4 2 16 0 0 0 0 Sample Output 0 2 32766 FOREVER 例题三： C Looooops (TOJ 2297)

  32. 例题三： C Looooops (TOJ 2297) • 因为所有变量都是k位无符号整数类型， 当语句执行X次后，变量variable的值变为(A+C*X)(mod 2k) 所以当 (A+C*X)(mod 2k)=B(mod 2k)时循环停止， 化简得C*X≡(B-A)(mod 2k), 解模线性方程求出所有X，如果有解，输出最小的正整数解即可，否则输出“FOREVER”。

  33. 模线性方程组 例子：（孙子算经）今有物不知其数。三三数之余二；五五数之余三；七七数之余二。问物几何？ 答曰：二十三。 23≡2*70+3*21+2*15(mod 105) 口诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆月正半，除百零五便得知。

  34. 模线性方程组 中国剩余定理：设自然数n1,n2,…nr两两互素，并记N=n1n2…nr，则同余方程组 在模N同余的意义下有唯一解。 X≡(a1c1+a2c2+…+arcr)(mod N) 其中，ci=mi*(mi-1mod ni), mi=N/ni 因为 Xmod ni=(a1m1m1-1+a2m2m2-1+…+armrmr-1) mod ni =(aimimi-1 )mod ni=aimod ni

  35. 中国剩余定理 • // 计算 X mod ni = ai (i = 1...k) • int China(int k, int a[], int n[]){ • ans = 0; N = 1 • for(i = 0; i < k; i++){ • N *= n[i]; • } • for(i = 0; i < k; i++){ • m = N / n[i]; • ext_gcd(m % n[i] , n[i] ,x, y); • ans += a[i] * m * (x % n[i]); • ans %= N; • } • if(ans<=0)ans+=N; • return ans; • }

  36. 相关题目 • 发信人: agrael (+3), 信区: ACM标 题: ACM-ICPC讲座数论：相关题目：http://acm.tju.edu.cn/toj/showp1171.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp1038.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp2901.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp3076.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp3043.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp2339.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp2010.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp1296.htmlhttp://acm.tju.edu.cn/toj/showp2297.html扩展欧几里德算法http://acm.tju.edu.cn/toj/showp2219.html扩展欧几里德算法http://acm.tju.edu.cn/toj/showp2869.html扩展欧几里德算法http://acm.tju.edu.cn/toj/showp1089.html求所有约数和http://acm.tju.edu.cn/toj/showp1162.html模线性方程组

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