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§6 重积分的应用. 教学目的 :学会用重积分计算曲面的面积,物体的重心,转动惯量与引力. 教学内容 :曲面面积的计算公式;物体重心的计算公式;转动惯量的计算公式;引力的计算公式. 基本要求 :掌握曲面面积的计算公式,了解物体重心的计算公式,转动惯量的计算公式和引力的计算公式.. 曲面的面积 重心 转动惯量 引力. 一、 曲面和面积. 求由方程. 所确定的曲面 S 的面积. 对区域 D 作分割 T ,. 曲面面积的计算公式. 先计算 A i 的面积. 所以若曲面方程为. 则该曲面的面积 S 为. 说明 :. 如果曲面方程为.
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教学目的:学会用重积分计算曲面的面积,物体的重心,转动惯量与引力.教学目的:学会用重积分计算曲面的面积,物体的重心,转动惯量与引力. 教学内容:曲面面积的计算公式;物体重心的计算公式;转动惯量的计算公式;引力的计算公式. 基本要求:掌握曲面面积的计算公式,了解物体重心的计算公式,转动惯量的计算公式和引力的计算公式.
曲面的面积 • 重心 • 转动惯量 • 引力
一、曲面和面积 求由方程 所确定的曲面 S的面积 对区域 D作分割 T ,
曲面面积的计算公式 先计算 Ai的面积.
所以若曲面方程为 则该曲面的面积 S为
说明: 如果曲面方程为 则曲面面积 S: 如果曲面方程为 则有公式:
例1 求圆锥 在圆柱体 内那一部分的面积. 解 所求面积的曲面的方程为 所以
被柱面 所截 例. 计算双曲抛物面 出的面积 A . 则 解: 曲面在xoy面上投影为
二、重心 设空间有n个质点, 分别位于 其质量分别为 由力学知, 该质点组的重心坐标为
设空间物体 V , 有连续密度函数 求 V的重心坐标. 采用 “分割, 近似代替, 求和, 取极限” 可导出其 重心坐标公式. 将 V分成n小块, 在第 i 块上任取一点 将第 k 块看作质量集中于点 的质点, 其质量为 此质点组的重心坐标就近似该物体 的重心坐标. 例如,
令各小区域的最大直径 即得 同理可得 其中 m为物体 V的质量,
则 其中 V表示区域 V的体积
其面密度为 若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片, 则它的重心坐标为 则 (SD为 D的面积)
和 例. 求位于两圆 之间均匀薄片的重心. 解:利用对称性可知 而
三、转动惯量 质点 A对于轴 l的转动惯量 J 等于 A的质量 m 和 A与转动轴 l的距离 r的平方的乘积, 即 质点组的转动惯量等于各质点 的转动惯量之和, 故连续体的转动 惯量可用积分计算.
设 为空间物体 V的密度函数,求 V对 z轴的转动惯量. 在该物体位于( x , y , z ) 处取一微元, 其体积记为 dV,质量为 从而 到 z轴的距离为 对 z轴的转动惯量为 因此该物体 对 z 轴 的转动惯量:
类似可得: 对 x轴的转动惯量 对 y轴的转动惯量 对原点的转动惯量 一般说来,若 V中的点 ( x , y , z ) 到转动轴 l的距离为 则转动惯量为
对坐标平面的转动惯量分别为 对 xy平面的转动惯量 对 yz平面的转动惯量 对 xz平面的转动惯量
面密度为 如果物体 D是平面薄片, 则转动惯量的表达式是二重积分. 一般说来,若 D中的点 ( x , y ) 到转动轴 l的距离为 则转动惯量为
例4 求密度均匀的圆环 D对于垂直于圆环面 中心轴的转动惯量 解 设圆环 D为 密度为ρ,则 D中任一点 于是转动惯量 ( x , y ) 与转轴的距离为
例. 求半径为 a 的均匀半圆薄片对其直径 的转动惯量. 解: 建立坐标系如图, 设薄片的密度为ρ,则 半圆薄片的质量
例6. 设某球体的密度与球心的距离成正比,求它对于切平面的转动惯量 解 建立坐标系如图, 设球体为 密度为 k为比例常数. 切平面方程为 z = R , 则球体对于该切平面的转动惯量为
四、引力 的物体 V对物体外质量为 1 的 求密度为 的单位质点 A的引力 设 A点的坐标为 在该物体位于( x , y , z )处取一 微元,其体积记为 dV,质量为 对质点 A的引力为
其中 k为引力常数, 该引力在坐标轴上的投影为 于是所求力在坐标轴上的投影分别为
例7. 求密度 ρ的均匀球体 V: 对位于点 的单位质量质点的引力. 解:利用对称性知引力分量