Векторы

1. Векторы Билет №17

2. Понятие вектора a Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами или векторами.

3. Характеристика вектора • Обозначение: a - вектор |a| - длина вектора • Изображение: вектор – направленный отрезок С D a CD C-начало D-конец

4. Коллинеарные векторы a c b a c Коллинеарные векторы – это векторы, которые лежат на параллельных прямых, либо на одной прямой. b d c || d => a || b b∈c, a ∈c => a || b

5. Сонаправленные векторы Сонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, лежащие по одну сторону от прямой, содержащей их начала. a b a ↑↑ b

6. Противоположнонаправленные векторы a Противоположнонаправленные векторы – это коллинеарные векторы, лежащие по разные стороны от прямой, содержащей их начала. b a ↑↓ b

7. Равные векторы a Равные векторы – это сонаправленные векторы, имеющие равную длину a ↑↑ b a = b <=> |a| = |b| b a = b

8. Противоположные векторы a Противоположные векторы – это противоположнонаправленные векторы, имеющие равную длину b a = -b

9. Нулевые векторы . AA AA = 0

10. Действия с векторамиСложениевекторов Отложить от точки вектор, равный данному – это значит построить направленный отрезок с началом в этой точке, изображающий этот вектор. OA = a a A O

11. Теорема От любой точки можно отложить вектор, равный данному и притом только один. Суммой двух векторов называется вектор, построенный по правилу треугольника

12. Правило треугольника a a A b b O B OA = a AB= b OA + AB = OB

13. Правило параллелограмма a a OA = a B O OB= b b b OADB – пар-м D A OA + AB = OD Если векторы неколлинеарны, то их сумма представляется диагональю построенного на них параллелограмма

14. Сложение сонаправленных векторов a a ↑↑ b a b b OA = a O A B AB= b OA + AB = OB Сложение противоположнонаправленных векторов a a ↑↓ b b a B O A b OA = a AB= b OA + AB = OB

15. Правило многоугольника a a A b O c B b OA = a d C c AB= b D d BC = c CD= d OA + AB + BC + CD = OD

16. Законы сложения векторов • Переместительный (коммутативный) a + b = b + a • Сочетательный (ассоциативный) a + (b + c) = (a + b) +c • Закон поглощения нулевого вектора a + 0 = a

17. Вычитание векторов Правило вычитания векторов B a a AB = a A AC= b b b AB - AC = CB C Разностью двух векторов aи bназывается такой вектор c, который в сумме с вектором b дает вектор a, т. е. c + b = a

18. Умножение вектора на число Произведением вектора a, не равному нулевому, и числа x ≠ 0 называется вектор xa, для которого выполняются два условия: 1) Если x > 0, то xa ↑↑ a Если x < 0, то xa ↑↓ a 2) |xa| = |x| |a| Если a = 0 или x = 0, то xa = 0

19. Свойства • 1 ·a = a для любого a • (-1) ·a = -a для любогоa • Если xa = 0, тоx = 0, либо a = 0 • Если xa = xb, где x ≠ 0, то a = b • Если xa = ya, где a = 0, то x = y