第四章不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质

第四章不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质

第一节　不定积分的概念与性质 一、不定积分概念二、不定积分的性质三、基本积分公式

定义4.1设函数 y = f (x)在某区间上有定义， 一、不定积分概念 1.原函数使如果存在函数F (x)，对于该区间上任一点x， F (x)= f (x) 或dF(x) = f (x)dx ，则称函数F (x) 是已知函数f(x) 在该区间上的一个原函数.

例如，因为在区间( ,  ) 内有(x3) = 3x2，所以x3是3x2在区间( ,  ) 内一个原函数，又因为(x3+1)= 3x2， ( x3 + C ) = 3x2 (C 为任意常数)，所以x3+ 1， x3 +C 都是3x2 在区间( ,  ) 内的原函数. (1)对任意常数C，函数族F(x)+C也是f(x)的原函数。 (2)函数f(x)的任意两个原函数之间仅差一个常数。一、不定积分概念若函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则：

一、不定积分概念 一般地，若F(x) 是f (x) 在某区间上的一个原函数，则函数族F(x) +C(C 为任意常数)都是f (x) 在该区间上的原函数. 结论：F(x) + C 是 f (x)在该区间上的全部原函数.

其中符号称为积分号， 一、不定积分概念 2.不定积分定义 4.2若F(x) 是f (x) 在区间I 上的一个原函数，则F(x) + C (C为任意常数)称为f (x) 在该区间上的不定积分，即 f(x) 称为被积函数， x 称为积分变量， f (x) dx 称为被积表达式，或称被积分式， C 称为积分常数.

一、不定积分概念 例1求下列不定积分解：（1）被积函数因为所以得（2）被积函数因为所以得

一、不定积分概念 例2求不定积分解：注意到所以得由此得

一、不定积分概念 例3求不定积分解当 x > 0 时，所以当 x < 0 时，所以合并以上两种情况，当 x  0 时，得

一、不定积分概念 例4.设曲线通过点(2,5), 且在x处的切线斜率k=2x 求此曲线的方程. 解: 所求曲线过点 ( 2 , 5 ) , 故有因此所求曲线为

一、不定积分概念 不定积分的几何意义则称y = F (x) 的图形是 f(x) 的积分曲线. 若y = F (x) 是f (x) 的一个原函数，因为不定积分所以它对应的图形是一族积分曲线，称它为积分曲线族. 是f (x) 的原函数的一般表达式，

一、不定积分概念 积分曲线族y = F (x) +C 的特点是：可由其中某一条(例如，曲线y = F(x) ) (1)积分曲线族中任意一条曲线，沿 y 轴平行移动|C|单位而得到. 当C > 0 时，向上移动；当C < 0 时，向下移动； (2)由于[F (x) +C] = F (x) =f (x)，即横坐标相同点x 处，每条积分曲线上相应点的切线斜率相等，从而使相应点的切线相互平行(如图)．都等于f (x)，

y y = f (x)+C y = f (x) x O 一、不定积分概念

二、不定积分的性质 性质1 求不定积分与求导数或求微分互为可逆运算

二、不定积分的性质 性质2 被积函数中的不为零的常数因子可以提到积分号外， (k 为不等于零的常数) 证　类似性质 1 的证法，

二、不定积分的性质 性质 3两个函数和的不定积分等于各个函数不定积分的和，性质 1 可推广到有限多个函数代数和的情况，即性质 1 称为分项积分.

三、基本积分公式

三、基本积分公式 例5、求不定积分解：

三、基本积分公式 例6、求解：例7、求解：

三、基本积分公式 例8、求解：例9 求解：

第四章不定积分 § 4.2 换元积分法

第二节　换元积分法 一、第一类换元积分法(或称凑微分法) 二、第二类换元积分法

一、第一换元法(或称凑微分法） 引例 (因为d(3x) = 3dx). 令u = 3x，则上式变为

一、第一换元法(或称凑微分法） 那么，也就是说上述结果正确.

一、第一换元法(或称凑微分法） 第一换元法且u = j(x) 为可微函数，则 ① 证　已知F (x) = f(x)， u = j(x)，则所以

一、第一换元法(或称凑微分法） 用上式求不定积分的方法称为第一换元法或称凑微分法．第一类换元积分法的实质是复合函数求导公式的逆用。

一、第一换元法(或称凑微分法） 例1 求令于是解：

一、第一换元法(或称凑微分法） 例2 求解：设

一、第一换元法(或称凑微分法） 例 3 求解

例 4　求 一、第一换元法(或称凑微分法）解：上式与基本积分表中相似，令，

例 5　求 (a >0 常数). 一、第一换元法(或称凑微分法）解　上式与基本积分表

例 6　求 一、第一换元法(或称凑微分法）解凑微分，即则

一、第一换元法(或称凑微分法） (a > 0 常数). 例7　求解

一、第一换元法(或称凑微分法） 例8求解:

一、第一换元法(或称凑微分法） 解法2

一、第一换元法(或称凑微分法） 解法 2 同样可证或

一、第一换元法(或称凑微分法） 例9　求解

二、第二类换元积分法 引例　求解　为了去掉被积函数中的根号，于是有则 dx = 2tdt，

二、第二类换元积分法 回代变量，得

二、第二类换元积分法 第二类换元法设函数f (x) 连续，函数x = j (t) 单调可微，且j (t)  0，

二、第二类换元积分法 例10　求解：被积函数含根式为了去掉根号，于是有

解 ≤ ≤ 二、第二类换元积分法三角代换例11　求则 dx = acost dt，于是有

二、第二类换元积分法 a 把变量 t换为 x . 为简便起见，画一个直角三角形，称它为辅助三角形，如图. t 于是有

二、第二类换元积分法 例12　求解则 dx = asec2 tdt，于是有

二、第二类换元积分法 作辅助三角形， x t a 其中 C = C1 - lna .

二、第二类换元积分法 例13 解　令 x = a sec t，则 dx = a sec t tan t dt，于是有

x t a 二、第二类换元积分法作辅助三角形，其中 C = C1 – lna .

二、第二类换元积分法 作三角代换x = a sin t 或 x = a cos t；作三角代换x = a tan t 或 x = a cott；作三角代换x = a sec t 或x = a csc t.

第四章 不定积分 § 4.1 不定积分的概念与性质