Электронны дапаможнік для навучэнцаў ( на беларускай мове )

1. Школьная геаметрыя: разнастайнасць ідэй і метадаў 8 клас Электронны дапаможнік для навучэнцаў(на беларускай мове) Факультатыўныя заняткі

2. Змест Тэма 1. Многавугольнікі: садружнасць геаметрычных метадаў. Пачаткі метаду падобнасці • 1. Тэарэма Піфагора і адлегласці • 2. Уласцівасці бісектрысы вугла. Датычная да акружнасці • 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм • 4. Прамавугольнік. Ромб. Квадрат • 5. Трапецыя • 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы плошчы • 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці Тэма 2. Каардынатны і вектарны метады – акно ў свет сучаснай матэматыкі • 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі • 9. Ураўненні прамой і акружнасці • 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў • 11. Складанне і адніманне вектараў • 12. Множанне вектара на лік • 13. Прымета калінеарнасці двух вектараў. Раскладанне вектара па двух некалінеарных вектарах • 14. Скалярны здабытак двух вектараў • 15. Выкарыстанне вектарнага і каардынатнага метадаў пры рашэнні задач Тэма 3. Трыганаметрычны метад: рашэнне прамавугольных трохвугольнікаў • 16. Каардынаты і трыганаметрычныя функцыі • 17. Галоўнае ў дадзенай тэме – формулы, якія звязваюць стораны і вуглы прамавугольнага трохвугольніка • 18. Развіццё трыганаметрычнага метаду патрабуе новых формул: асноўная трыганаметрычная тоеснасць, формулы прывядзення • 19. Выкарыстанне трыганаметрычнага метаду пры рашэнні прамавугольных трохвугольнікаў (асноўныя выпадкі) • 20. Выкарыстанне трыганаметрычнага метаду пры рашэнні больш складаных задач • 21. Геаметрычны сэнс скалярнага здабытку двух вектараў

3. 1. Тэарэма Піфагора і адлегласці • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

4. Тэарэма Піфагора і адлегласці: тэарэтычны матэрыял

5. Тэарэмы Даўжыня перпендыкуляра ОА, праведзенага з пункта О да прамой а, ёсць адлегласць ад пункта О да прамой а. Калі даўжыня адрэзка ОА (О а, А а) ёсць адлегласць ад пункта О да прамой а, то ОА а. Вынік Адлегласць паміж дзвюма паралельнымі прамымі роўная даўжыні агульнага перпендыкуляра да гэтых прамых, канцы якога ляжаць на дадзеных прамых. O a A A1 O a A1 A Тэарэма Піфагора і адлегласці: тэарэтычны матэрыял

6. Задача. Пункт О аддалены ад пунктаў А і В на адлегласць, роўную 2. На якую адлегласць пункт О аддалены ад прамой АВ, калі АВ=1? Рашэнне. Няхай ОА=ОВ=2, АВ=1. Адлегласць ад пункта А да прамой АВ ёсць даўжыня вышыні ОМ раўнабедранага трохвугольніка ОАВ. Маем: 1) вышыня ОМ раўнабедранага трохвугольніка ОАВ з’яўляецца яго медыянай, таму ; 2) па тэарэме Піфагора Адказ: O A M B Тэарэма Піфагора і адлегласці:прыклады рашэння задач

7. а) Хорда роўная радыусу R акружнасці. На якой адлегласці хорда знаходзіцца ад цэнтра? б) Катэты прамавугольнага трохвугольніка роўныя а і b. Знайдзіце адлегласць ад вяршыні вугла да гіпатэнузы. в) У раўнабедраным трохвугольніку бакавая старана роўна а, аснова роўна b. Знайдзіце адлегласць ад кожнай з вяршынь трохвугольніка да прамой, на якой ляжыць процілеглая старана. г) У прамавугольным трохвугольніку катэт роўны а. Знайдзіце адлегласць ад цэнтра апісанай акружнасці да невядомага катэта. (Апісаная акружнасць – акружнасць, якая праходзіць праз усе вяршыні трохвугольніка.) а) Канцы адрэзка размешчаны па розныя бакі ад прамой а і аддалены ад яе на 5 см і 7см. На якую адлегласць аддалена ад гэтай прамой сярэдзіна адрэзка? б) Рашыце папярэднюю задачу пры умове, што канцы адрэзка размешчаны па адзін бок ад прамой а. Дакажыце, што сума адлегласцей ад пункта, узятага на аснове раўнабедранага трохвугольніка, да прамых, што ўтрымліваюць яго бакавыя стораны, роўная даўжыні вышыні, праведзенай да бакавой стараны. Тэарэма Піфагора і адлегласці:заданні для самастойнай работы

8. 2. Уласцівасці бісектрысы вугла. Датычная да акружнасці • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

9. Тэарэмы Калі пункт належыць бісектрысе вугла, то ён роўнааддалены ад старон гэтага вугла. Калі ўнутраны пункт вугла роўнааддалены ад яго старон, то ён належыць бісектрысе гэтага вугла. Азначэнне Датычнай да акружнасці называецца прамая, якая з акружнасцю мае адзіны агульны пункт. У гэтым выпадку кажуць таксама, што акружнасць датыкаеццада прамой. Агульны пункт называецца пунктам дотыку. Вынікі Калі прамая перпендыкулярная да радыуса ў канцы яго, што ляжыць на акружнасці, то прамая датыкаецца да акружнасці. Калі прамая датыкаецца да акружнасці, то яна перпендыкулярная да радыуса, праведзнага ў пункт дотыку. O A B 2. Уласцівасці бісектрысы вугла. Датычная да акружнасці: тэарэтычны матэрыял

10. Задача 1. Няхай дзве бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў пункце О. Дакажыце, што пункт О роўнаадалены ад усіх старон трохвугольніка. Доказ. Няхай бісектрысы l1 і l2 трохвугольніка АВС перасякаюцца ў пункце О. З пункта О правядзём перпендыкуляры ОР1, ОР2 і ОР3 да старон трохвугольніка. Маем: О l1 ОР1= ОР3 , О l2 ОР1= ОР2 адсюльОР1= ОР2 = ОР3. Задача 2. Няхай О – пунктперасячэння бісектрыс трохвугольніка АВС, ОР1, ОР2 і ОР3 – перпендыкуляры, праведзеныя з пункта О да старон трохвугольніка. Пабудуйце акружнасць з цэнтрам О і радыусам ОР1. Дакажыце, што гэта акружнасць датыкаецца да ўсіх старон трохвугольніка (у гэтым выпадку акружнасць называецца ўпісанай у трохвугольнік). Доказ.Так як ОР1= ОР2 = ОР3 (гл. задачу 1), то акружнасць з цэнтрам О і радыусам ОР1 пройдзе праз пункты Р1, Р2 , Р3 ; далей: так як старана АВ перпендыкулярная да радыуса ОР1 у канцы яго Р1, што ляжыць на акружнасці, то старана АВ датыкаецца да акружнасці; аналагічна атрымліваем, што стораны ВС і АС датыкаюцца да акружнасці; такім чынам, пабудаваная акружнасць датыкаецца ўсіх трох старон трохвугольніка (з’яўляецца ўпісанай у трохвугольнік). 2. Уласцівасці бісектрысы вугла. Датычная да акружнасці: прыклады рашэння задач C P3 P2 O l1 l2 A B P1

11. 1. Адрэзкі датычных, праведзеных з аднаго пункта да акружнасці, роўныя. Дакажыце гэта. 2. Да акружнасці праведзены чатыры датычныя, якія, перасякаючыся, утвараюць чатырохвугольнік АВСD. Дакажыце, што сумы процілеглых старон гэтага чатырохвугольніка роўныя. 3. Няхай АВ – дыяметр акружнасці. Праз пункты А і В праведзены датычныя a і b да акружнасці. Дакажыце, што aпаралельна b. 4. Ад аднаго пункта акружнасці з цэнтрам О праведзены дзве роўныя хорды. Карыстаючыся адной толькі лінейкай, можна пабудаваць бісектрысу вугла, утворанага гэтымі хордамі. Як гэта зрабіць? 5. У акружнасці з цэнтрам О праведзена хорда АВ, якая ўтварае з радыусам АО вугал 72°. Праведзена бісектрыса АХ трохвугольніка ОАВ. Дакажыце, што ОХ=АВ. 6. З вяршыні В раўнабедранага трохвугольніка АВС паралельна аснове АС праведзены прамень. Дакажыце, што гэты прамень з’яўляецца бісектрысай знешняга вугла пры вяршыні В. 2. Уласцівасці бісектрысы вугла. Датычная да акружнасці: заданні для самастойнай работы

12. 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

13. 1. Віды чатырохвугольнікаў Чатырохвугольнік называецца выпуклым, калі ён размешчаны ў адной паўплоскасці адносна кожнай прамой, што ўтрымлівае яго старану. Несуседнія стораны чатырохвугольніка называюцца процілеглымі. Паралелаграмамназываецца чатырохвугольнік, у якога процілеглыя стораны папарна паралельныя. Вышынёй паралелаграма называецца перпендыкуляр, праведзны з якога-небудзь пункта адной стараны паралелаграма на прамую, што ўтрымлівае процілеглую старану. Трапецыяй называецца чатырохвугольнік, у якога толькі дзве процілеглыя стараны паралельныя. Паралельныя стораны – асновы трапецыі, дзве другія – бакавыя стораны. Вышынёй трапецыі называецца перпендыкуляр, праведзены з якога-небудзь пункта адной асновы трапецыі на прамую, што ўтрымлівае другую аснову. Прамавугольнікам называецца чатырохвугольнік, у якога ўсе вуглы прамыя (або прамавугольнікам называецца паралелаграм, які мае прамы вугал). Ромбам называецца паралелаграм, у якога ўсе стораны роўныя. Квадратам называецца прамавугольнік, у якога ўсе стораны роўныя (або квадратам называецца ромб, у якога ўсе вуглы прамыя). C B B C C B h2 h F h1 A D E D A A D E 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм:тэарэтычны матэрыял

14. Тэарэмы У паралелаграме: процілеглыя стораны роўныя, процілеглыя вуглы роўныя; дыяганалі ў пункце перасячэння дзеляцца папалам. Чатырохвугольнік з’яўляецца паралелаграмам, калі ў яго: процілеглыя стораны роўныя, або дзве процілеглыя стараны роўныя і паралельныя, або дыяганалі ў пункце перасячэння дзеляцца папалам. 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм: тэарэтычны матэрыял B C О A D

15. Задача 1. У прамавугольніку ABCD вядомыя стораны: АВ=3, ВС=4. Знайдзіце адлегласць ад вяршыні В да дыяганалі АС. Рашэнне. Няхай ВВ1 – перпендыкуляр, праведзны з вяршыні В да дыяганалі АС. Неабходна знайсці ВВ1. Так як ВВ1 – вышыня прамавугольнага трохвугольніка АВС, то па вядомай формуле выкарыстаем тэарэму Піфагора: трохвугольнік АВС – егіпецкі, таму АС=5; тады Адказ: ВВ1=2,4. Задача 2. Дадзены паралелаграм ABCD. На дыяганалі АС ад вяршынь А і С адкладзены роўныя адрэзкі АМ і СК. Дакажыце, што чатырохвугольнік МВКD – паралелаграм. Рашэнне. Няхай О – пункт перасячэння дыяганалей. Па ўласцівасці паралелаграма АО=ОС, і так як АМ=СК, то ОМ=ОК; так як ОМ=ОК і ОВ=ОD (па ўласцівасці паралелаграма), то ў чатырохвугольніку МВКD дыяганалі ў пункце перасячэння О дзеляцца папалам; на аснове прыметы паралелаграма вынікае, што чатырохвугольнік МВКD – паралелаграм. B K O M A D B C B1 A D 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм: прыклады рашэння задач C

16. Пабудуйце паралелаграм па старане а, рознасці дыяганалей d і вуглу αпаміж дыяганалямі. Бісекірыса вугла А паралелаграма ABCD перасякае старану ВС у яе сярэдзіне. Параўнайце стораны. Дакажыце, што бісектрысы двух вуглоў паралелаграма, якія прылягаюць да адной з яго старон, перпендыкулярныя. Дакажыце, што бісектрысы двух процілеглых вуглоў паралелаграма паралельныя. Якога віда выпуклы чатырохвугольнік, калі ў ім процілеглыя вуглы роўныя? Стораны паралелаграма роўныя 3 см і 7 см; бісектрысы двух вуглоў паралелаграма, што прылягаюць да большай стараны, дзеляць процілеглую старану на тры часткі. Знайдзіце кожную з іх. 3. Віды чатырохвугольнікаў. Паралелаграм: заданні для самастойнай работы

17. 4. Прамавугольнік. Ромб. Квадрат • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

18. Тэарэмы 1. Дыяганалі прамавугольніка роўныя. 2. Дыяганалі ромба перпендыкулярныя і ляжаць на бісектрысах яго вуглоў. 3. Квадрат валодае ўсімі ўласцівасцямі паралелаграма, прамавугольніка і ромба. Калі ў паралелаграме: 1) дыяганалі роўныя, то ён з’яўляецц прамавугольнікам; 2) дыяганаль ляжаць на бісектрысе яго вугла, то ён з’яўляецца ромбам; 3) дыяганалі перпендыкулярныя, то ён з’яўляецца ромбам. 4. Прамавугольнік. Ромб. Квадрат:тэарэтычны матэрыял

19. Задача 1. Няхай О – пункт перасячэння дыяганалей прамавугольнікаABCD, трохвугольнік АВО – роўнастаронні. Знайдзіце старану ВС, калі АВ=а. Рашэнне. 1)Шукаемы адрэзак ВС разгледзім як старану прамавугольнага трохвугольніка АВС, у якім адзін вугал роўны 60°, а другі, значыць, роўны 30°; 2) таму можна выкарыстаць уласцівасць катэта, які ляжыць супраць вугла ў 30°. На аснове гэтай уласцівасці АС=2а; 3) тады ВС можна знайсці па тэарэме Піфагора з трохвугольніка АВС: Адказ: Задача 2. Дакажыце, што калі ў паралелаграме пункт перасячэння дыяганалей роўнааддалены ад усіх яго старон, то такі паралелаграм з’яўляецца ромбам. Рашэнне. 1) Няхай ABCD – паралелаграм, ОМ1=ОМ2=ОМ3=ОМ4 – перпендыкуляры, праведзеныя да яго старон. Дакажам, што ABCD – ромб. Так як ОМ1=ОМ2, то пункт О належыць бісектрысе вугла А; 2) таму АС – бісектрыса вугла А; 3) калі ў паралелаграме дыяганаль з’яўляецца бісектрысай яго вугла, то такі паралелаграм з’яўляецца ромбам. B M3 C M2 O M4 A D M1 4. Прамавугольнік. Ромб. Квадрат: прыклады рашэння задач B C O a 60° 30° A D

20. Дакажыце, што калі вяршыні паралелаграма ляжаць на акружнасці, то ён з’яўляецца прамавугольнікам. Дакажыце, што калі дыяганаль паралелаграма з’яўляецца бісектрысай яго вугла, то паралелаграм з’яўляецца ромбам. Дакажыце, што калі стораны паралелаграма датыкаюцца некаторай акружнасці, то паралелаграм з’яўляецца ромбам. Дакажыце, што сума квадратаў адлегласцей ад адвольнага пункта М да вяршынь прамавугольніка ABCD у два разы больш сумы квадратаў адлегласцей ад пункта М да прамых АВ, ВС, СD і АD. 4. Прамавугольнік. Ромб. Квадрат: заданні для самастойнай работы

21. 5. Трапецыя • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

22. Сярэдняй лініяй трапецыі называецца адрэзак (МК, рыс. 1), які злучае сярэдзіны бакавых старон. Раўнабедранай трапецыяй называецца трапецыя, у якой бакавыя стораны роўныя. Прамавугольнай трапецыяй называецца трапецыя, у якой адна бакавая старана перпендыкулярная да асноў (рыс.2). Тэарэма Сярэдняя лінія трапецыі (рыс. 3) паралельная асновам і роўная іх паўсуме: Вынікі Прамая, праведзеная праз сярэдзіну бакавой стараны трапецыі паралельна асновам, дзеліць другую бакавую старану папалам. У раўнабедранай трапецыі вуглы пры аснове роўныя і дыяганалі роўныя. 3.Калі ў трапецыі вуглы пры аснове роўныя або дыяганалі роўныя, то яна з’яўляецца раўнабедранай. B C M K A D рыс. 1 B C A D рыс. 2 5. Трапецыя:тэарэтычны матэрыял B C M K A E рыс. 3 D

23. Задача. У раўнабедранай трапецыі ABCD M і N – сярэдзіны адпаведна асноў AD і BC. Дакажыце, што адрэзак MN з’яўляецца вышынёй трапецыі. Рашэнне. Правядзём NA1║AB, ND1║CD. Маем: 1) так як ABNA1 і NCDD1 – паралелаграмы, то A1N=AB і D1N=DC; 2) па умове AB=DC, таму A1N=D1N і таму ∆A1ND1 – раўнабедраны; 3) так як AM=MD (па ўмове) і AA1=BN=NC=DD1, то A1M =MD1; 4) таму NM – медыяна раўнабедранага ∆A1ND1; 5) па уласцівасці медыяны раўнабедранага трохвугольніка, праведзенай да асновы, NMA1D1; 6) атрымліваецца, што NMAD і NM BC, г. зн. NM – вышыня трапецыі ABCD. N B C A D M A1 A2 5. Трапецыя:прыклады рашэння задач

24. Сярэдняя лінія трапецыі дзеліцца дзвюма яе дыяганалямі на тры роўныя часткі. Знайдзіце адносіну асноў трапецыі. У прамавугольнай трапецыі ABCD вуглы А і В прамыя, АВ=2, ВС=1, AD=4. Дакажыце, што дыяганалі трапецыі перпендыкулярныя. У раўнабедранай трапецыі востры вугал роўны 45°, вышыня роўна h, сярэдняя лінія роўна m. Знайдзіце асновы трапецыі. Прамавугольная трапецыя дзеліцца дыяганаллю на два трохвугольнікі: роўнастаронні са стараной а і прамавугольны. Знайдзіце сярэднюю лінію трапецыі. Вяршыні трапецыі ляжаць на акружнасці. Дакажыце, што гэта трапецыя раўнабедраная. 5. Трапецыя:заданні для самастойнай работы

25. 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

26. Роўнавялікімі фігурамі называюцца дзве фігуры, якія маюць роўныя плошчы. Тэарэмы Плошча паралелаграма роўна здабытку яго асновы на вышыню, праведзеную да гэтай асновы (рыс. 1). Плошча ромба роўна палове здабытку яго дыяганалей (рыс. 2). Плошча трохвугольніка роўна палове здабытку яго стараны на вышыню, праведзеную да гэтай стараны (рыс.3). Плошча трапецыі роўна палове здабытку вышыні на суму асноў (рыс. 4). Пры рашэнні розных задач часта карысна выкарыстоўваць плошчу фігуры – метад плошчаў. Пры гэтым імкнуцца выразіць плошчу адной і той жа фігуры рознымі спосабамі. 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы плошчы: тэарэтычны матэрыял рыс. 1 рыс. 2 рыс. 3 рыс. 4

27. Рашэнне.1)Няхай А1, В1, С1 – сярэдзіны старон трохвугольніка АВС, О – пункт, у якім перасякаюцца сярэдзінныя перпендыкуляры да старон. Неабходна выразіць плошчу Q шасцівугольніка А1В2С1А2В1С2 праз плошчу S трохвугольніка АВС; 2) заўважым, што адрэзкі, што злучаюць пункт О з сярэдзінамі яго старон, разбіваюць дадзены шасцівугольнік на тры паралелаграмы: ОА1С2В1, ОВ1А2С1, ОС1В2А1 (процілеглыя стораны гэтых чатырохвугольнікаў паралельныя, так як яны перпендыкулярны да некаторай стараны дадзенага трохвугольніка); 3) таму: ∆ОА1С1=∆В2С1А1, ∆ОВ1С1 =∆А2С1В1 , ∆ ОА1В1 =∆С2В1А1; Задача 1. З сярэдзіны кожнай стараны востравугольнага трохвугольніка праведзены перпендыкуляры на дзве другія стараны. Знайдзіце плошчу Q абмежаванага імі шасцівугольніка, калі плошча трохвугольніка роўна S. C C2 B1 A1 O A2 B2 A B C1 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы плошчы:прыклады рашэння задач 4) адсюль вынікае, што плошча шасцівугольніка у два разы больш плошчы трохвугольніка А1В1С1. Апошняя ж роўна чвэрці S (у трохвугольніку А1В1С1 старана А1В1 роўна палове стараны АВ, а вышыня, праведзеная да А1В1, роўна палове вышыні дадзенага трохвугольніка); 5) тады шукаемая плошча Q=2SА1В1С1= Адказ: Q=0,5S

28. Рашэнне.1) Абазначым шукаемую старану квадрата праз x. Двойчы выразім плошчу квадратаА1В1С1D1. З аднаго боку, яна роўна x2, з другога боку – яе можна атрымаць, калі адняць ад плошчы трохвугольніка АВС плошчы трохвугольнікаў АВ1А1, В1ВС1 і С1D1С; 2) маем: 0,5bh-0,5(b-x)x-0,5x(h-x)=x2, Адказ: Задача 2. Дадзены востравугольны трохвугольнік з асновай bі вышынёй h, праведзенай да гэтай асновы. У гэты трохвугольнік упісаны квадрат, дзве вяршыні якога ляжаць на аснове, а дзве другія – на астальных старанах. Знайдзіце плошчу квадрата. B x C1 B1 h x A C A1 b D1 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы плошчы:прыклады рашэння задач

29. Няхай ABCD – трапецыя (AD║BC), О – пункт перасячэння дыяганалей. Дакажыце, што трохвугольнікі АВО і CDО – роўнавялікія. Няхай О – пункт перасячэння адрэзкаў АС і BD. Дакажыце, што SАВО= SCDО тады і толькі тады, калі BC║AD. Знайдзіце плошчу чатырохвугольніка, дыяганалі якога перпендыкулярныя і роўныя 6 см і 8 см. Указанне. Разглядзіце дадзены чатырохвугольнік як чатырохвугольнік, які складаецца з двух трохвугольнікаў. Рашыце задачу 3, разглядзеўшы дадзены чатырохвугольнік як чатырохвугольнік, які складаецца з чатырох прамавугольных трохвугольнікаў. Рашыце задачу 3 інакш: замяніце дадзены чатырохвугольнік роўнавялікім прамавугольнікам. Разглядзіце розныя варыянты такой замены. Рашыце задачу 3 інакш: ці нельга выкарыстаць прамавугольнік, стораны якога паралельныя дыяганалям дадзенага чатырохвугольніка? Рашыце задачу 3 інакш: ці нельга дадзены чатырохвугольнік замяніць роўнавялікім трохвугольнікам? Разглядзіце розныя варыянты такой замены. 6. Новыя выкарыстанні метаду плошчаў: асноўныя формулы плошчы: заданні для самастойнай работы

30. 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

31. Два трохвугольнікі называюцца падобнымі, калі ў іх адпаведныя вуглы роўныя і адпаведныя стораны прапарцыянальныя. Абазначэнне: ∆АВС~∆ А1В1С1. (Рыс. 1) Тэарэмы (рыс. 2) 1. (Абагуленая тэарэма Фалеса) Калі стораны вугла перасечаны паралельнымі прамымі, то адносіна двух адрэзкаў, што ляжаць на адной старане, роўна адносіне адпаведных адрэзкаў, што ляжаць на другой старане. 2. (Адваротная тэарэма) Калі адносіна любых двух адрэзкаў, што ляжаць на адной старане вугла, роўна адносіне адпаведных адрэзкаў, што ляжаць на другой яго старане, то прамыя, праведзеныя праз адпаведныя канцы адрэзкаў, паралельны. Вынікі Прамая, паралельная некаторай старане трохвугольніка, адсякае ад яго трохвугольнік, падобны дадзенаму. Калі адзін трохвугольнік падобны другому, а другі роўны трэцяму трохвугольніку, то першы трохвугольнік падобны трэцяму. C1 B1 A1 O A B C 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці:тэарэтычны матэрыял B C B1 A A1 рыс. 1 C1 рыс. 2

32. Тэарэмы 1-я прымета падобнасці трохвугольнікаў 1. Калі дзве стараны аднаго трохвугольніка прапарцыянальны двум старанам другога трохвугольніка і вуглы паміж імі роўныя, то трохвугольнікі падобныя. 2-я прымета падобнасці трохвугольнікаў 2. Калі два вуглы аднаго трохвугольніка роўныя двум вуглам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі падобныя. 3-я прымета падобнасці трохвугольнікаў 3. Калі стораны аднаго трохвугольніка прапарцыянальны старанам другога, то трохвугольнікі падобныя. Метад падобнасцізаключаецца ў тым, што часта ў фігуры можна знайсці або пабудаваць трохвугольнікі, падобнасць якіх можна даказаць, карыстаючыся ўмовай задачы. Затым з падобнасці трохвугольнікаў можна вывесці роўнасць вуглоў, прапарцыянальнасць адрэзкаў і атрымаць некаторыя новыя ўласцівасці разглядаемай фігуры. 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці:тэарэтычны матэрыял B C A B1 A1 C1

33. Задача 1. Дакажыце, што ў прамавугольным трохвугольніку Доказ. 1)Дакажам формулу метадам падобнасці – пры дапамозе падобнасці трохвугольнікаў: ∆АСС1~∆АВС ( А – агульны, АСС1= АВС); 2) з падобнасці трохвугольнікаў атрымліваем: Задача 2. Дакажыце, што ў прамавугольным трохвугольніку квадрат вышыні, праведзенай да гіпатэнузы, роўны здабытку адрэзкаў, на якія гіпатэнуза дзеліцца вышынёй. Доказ. 1) Выкарыстаем метад падобнасці. ∆АСС1~∆СВС1 па двух вуглах; 2) з падобнасці трохвугольнікаў атрымліваем: 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці: прыклады рашэння задач C a b hc B A C1 c C a b hc B A c C1

34. У раўнабедраным ∆АВС АВ=ВС=a, АС=b. Вышыня, праведзеная да асновы, роўна hb. Знайдзіце вышыню, праведзеную да бакавой стараны. У ∆АВС АВ=с, ВС=а, DE║АС, ВD=ЕС (рыс. 1). Знайдзіце ВD. У ∆АВС (рыс.2) змешчаны ромб AMNP, М АВ, N ВС, Р АС. Знайдзіце старану ромба, калі АВ=с, АС= b. У ∆АВС (рыс.3) змешчаны квадрат MNPQ,М АС, N АВ, Р ВС, Q АС. Знайдзіце старану квадрата, калі старана АС=bі вышыня ВВ1=hb. Пабудуйце ∆АВС, ведаючы вуглы А і С і вышыню hb. У раўнабедраным трохвугольніку праведзена вышыня да бакавой стараны. З пункта, што ляжыць на яго аснове, таксама праведзены перпендыкуляры да прамых, што ўтрымліваюць бакавыя стораны. Знайдзіце падобныя трохвугольнікі і дакажыце, што сума даўжынь гэтых перпендыкуляраў роўна даўжыні дадзенай вышыні. 7. Парад матэматычных метадаў: абагуленая тэарэма Фалеса і новы геаметрычны метад – метад падобнасці:заданні для самастойнай работы B x D E рыс. 1 x A C B c-x x M N рыс. 2 x A x P C B B2 P рыс. 3 N A M B1 Q C

35. 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

36. Тэарэма Адлегласць паміж пунктамі А(х1; у1) і В(х2;у2) знаходзіцца па формуле АВ2=(х2-х1)2+(у2-у1)2. Дадзеную формулу звычайна называюць формулай адлегласці.Яна, так як і тэарэма Піфагора, з’яўляецца адной з цэнтральных формул элементарнай геаметрыі. Па сутнасці, формула адлегласці з’яўляецца ні чым іншым, як тэарэмай Піфагора, выражанай у каардынатнай форме. Вынік Няхай С(х, у) – сярэдзіна адрэзка АВ, А(х1; у1), В(х2;у2). Тады y y Ay A(x1; y1) A2 A C2 C B2 B O A1 C1 B1 x By C B(x2; y2) O Aх Bх x 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі:тэарэтычны матэрыял

37. Сістэма каардынат дапамагае перавесці геаметрычныя задачы на мову алгебры, звесці іх да рашэння розных ураўненняў. Коратка сутнасць каардынатнага метаду заключаецца ў тым, што спачатку ўмова задачы пераводзіцца на каардынатную мову, затым, выкарыстоўваючы тыя ці іншыя формулы каардынатнай геаметрыі, атрымліваюць некаторыя новыя ўласцівасці вывучаемай фігуры. Такі метад рашэння задач называецца каардынатным метадам. Пры рашэнні задач гэтым метадам часта карыснай з’яўляецца наступная схема: будуецца чарцёж; выбіраецца зручнае размяшчэнне восей сістэмы каардынат; запісваюцца каардынаты дадзеных пунктаў (ураўненні прамых, акружнасцей і іншых ліній); запісваюцца ўмова і выснова задачы на каардынатнай мове; выконваецца пераход ад ўмовы задачы да высновы. 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі:тэарэтычны матэрыял

38. Задача 1.Каардынаты пункта В супрацьлеглыя аднайменным каардынатам пункта А. Дакажыце, што пачатак каардынат з’яўляецца сярэдзінай адрэзка АВ. Рашэнне. Няхай a і b – адвольныя каардынаты пункта А. Тады па ўмове каардынаты пункта В роўны -a і-b. Такім чынам, А(a; b), В(-a;-b). Знойдзем каардынаты сярэдзіны адрэзка АВ: гэта азначае, што сярэдзінай адрэзка АВз’яўляецца пункт з кардынатамі 0 і 0, дакладней – пачатак каардынат. y A(1;5) B(6;1) O X x Y 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі: прыклады рашэння задач Задача 2. Дадзены пункты А(1;5) і В(6;1). На кардынатных восях знайдзіце пункты, роўнааддаленыя ад пунктаў А і В. Рашэнне. 1) Выкарыстаем метад каардынат. Няхай пункт Х ляжыць на восі абсцыс і роўнааддалены ад пунктаў А і В. Пункт Х мае каардынаты выгляду (а;0). Неабходна знайсці каардынату а; 2) па ўмове ХА=ХВ. Запішам гэту роўнасць у каардынатах (дакладней роўнасць ХА2=ХВ2): ХА2=(а-1)2+(0-5)2=а2-2а+26, ХВ2=(а-6)2+(0-1)2=а2-12а+37, а2-2а+26=а2-12а+37,10а=11, а=1,1; 3) у выніку знайшлі каардынаты пункта Х: Х(1,1; 0); 4) аналагічна знаходзім каардынаты пункта Y(0; b), роўнааддаленага ад пунктаў А і В , які ляжыць на восі ардынат: YА2=(0-1)2+(b-5)2=b2-10а+26, YB2=(0-6)2+(b-1)2=b2-2а+37, b2-10а+26= b2-2а+37, 8b=-11, 5) такім чынам, пункт Y мае каардынаты 0 і Адказ: Х(1,1; 0), Y(0; ).

39. Дадзены прамавугольнік АВСD і адвольны пункт М. Дакажыце, што АМ2+СМ2=ВМ2+DМ2. Няхай дадзены адрэзак з канцамі А(1;1), В(5;7) і пункт Т(х;у), які дзеліць гэты адрэзак у адносіне 1:2 лічачы ад канца А. Знайдзіце х і у. Пункт В аддалены ад пачатку О каардынат на такую ж адлегласць, што і пункт А. Знайдзіце ОВ, калі А(3;4). Ці можна знайсці каардынаты пункта В? З дапамогай каардынат дакажыце, што сума квадратаў дыяганалей паралелаграма роўна суме квадратаў яго старон. Знайдзіце каардынаты пункта С, калі вядома, што ён ляжыць на восі абсцыс і роўнааддалены ад пунктаў А(1;5) і В(6;1). Знайдзіце каардынаты пункта В, калі вядома, што ён ляжыць на восі ардынат і аддалены ад пункта А(3;0) на адлегласць, роўную 5. Дадзены чатырохвугольнік АВСD, Е – сярэдзіна АС, М – сярэдзіна ВD. Дакажыце роўнасць АВ2+ВС2+СD2+AD2=АС2+BD2+4ЕМ2. 8. Першыя выкарыстанні каардынатнага метаду: асноўныя формулы каардынатнай геаметрыі:заданні для самастойнай работы

40. 9. Ураўненні прамой і акружнасці • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

41. Ураўненне прамой. Няхай дадзены сістэма каардынат хОу, некаторая прамая а і адвольны пункт М(х;у) гэтай прамой. Уявім, што пункт М рухаецца і апісвае прамую а. Пры перамяшчэнні пункта М яго каардынаты, зразумела, змяняюцца, але яны будуць звязаны адной і той жа роўнасцю. Гэту роўнасць і назавём ураўненнем прамой. 1. Агульнае ўраўненне прамой мае выгляд Ах+Ву+С=0 (А≠0 або В≠0). 2. Калі А=0 (В≠0), то агульнае ўраўненне прамой мае выгляд у=п і ўяўляе прамую, паралельную восі абсцыс; калі В=0 (А≠0), то агульнае ураўненне прамой мае выгляд х=m і ўяўляе прамую, паралельную восі ардынат. 3. Ураўненне прамой з вуглавым каэфіцыентам мае выгляд у=kх+b. Вуглавыя каэфіцыенты k прамых роўныя тады і толькі тады, калі прамыя паралельныя. Ураўненне акружнасці. Няхай пункт А(х1; у1) – цэнтр акружнасці, М(х; у) – адвольны пункт гэтай акружнасці. Уявім, што пункт М апісвае акружнасць. Каардынаты пункта М будуць змяняцца, але будуць звязаны некаторай роўнасцю, якая называецца ўраўненнем акружнасці. Няхай R – радыус акружнасці, тады ўраўненне акружнасці мае выгляд (х-х1)2+(у-у1)2=R2. Калі цэнтр акружнасці супадае з пачаткам каардынат, то ўраўненне акружнасці мае больш просты выгляд: х2+у2=R2. y M(x; y) A a B O x 9. Ураўненні прамой і акружнасці:тэарэтычны матэрыял y M(x; y) A(x1; y1) O x

42. Задача 1.Дакажыце, што акружнасць х2+у2=9 і прамая у=0,5х+1 перасякаюцца. Рашэнне. Выкарыстаем метад каардынат. Знойдзем каардынаты агульных пунктаў акружнасці х2+у2=9 і прамой у=0,5х+1. Няхай пункт М(m; n) з’яўляецца агульным пунктам дадзеных акружнасці і прамой. Тады справядлівы роўнасці m2+n2=9 і n=0,5m+1. Падставім значэнне n з другой роўнасці ў першую: m2+(0,5m+1)2=9, 5m2 +4m-32=0, m1=0,2(-2-2 )≈-2,96, m2=0,2(-2+2 )≈2,16; тады n1=0,5·0,2(-2-2 )+1=0,2(4- )≈-0,48, n2=0,5·0,2(-2+2 )+1= =0,2(4+ )≈2,08. Адказ: М1(0,2(-2-2 ); 0,2(4- )), М2(0,2(-2+2 ); 0,2 (4+ )). Задача 2. Катэты а і b прамавугольнага трохвугольніка ляжаць адпаведна на восях х і у. Запішыце ураўненне акружнасці, апісанай каля гэтага трохвугольніка (гэта акружнасць праходзіць праз усе вяршыні трохвугольніка). Рашэнне. Мы ведаем, што медыяна СМ прамавугольнага трохвугольніка, праведзеная да гіпатэнузы, роўна палове гіпатэнузы. Таму МА=МВ=МС і пункт М з’яўляецца цэнтрам шукаемай акружнасці. Так як М(0,5а; 0,5b) і то атрымаем наступнае ўраўненне апісанай акружнасці: y M2 x O M1 y A b M a C B x 9. Ураўненні прамой і акружнасці:прыклады рашэння задач

43. а) Запішыце ўраўненне сярэдзіннага перпендыкуляра да адрэзка АВ, калі: 1) А(1;2), В(2;0), 2) А(-2;4), В(0;0). б) Запішыце ўраўненне прамой, якая праходзіць праз пункты: 1) А(1;2), В(5;4), 2) А(2;4), В(10;8). 2. а) Дадзены ўраўненні прамых: 1) 2х-у+5=0; 2) -2х+у+5=0. Знайдзіце каардынаты пунктаў перасячэння гэтых прамых з восямі каардынат. б) Дадзены ўраўненні двух прамых. Неабходна высветліць, перасякаюцца гэтыя прамыя ці яны паралельныя. У выпадку перасячэння знайдзіце каардынаты іх агульнага пункта: 1) 5х+4у+3=0, х+у-1=0; 2)2х-4у+3=0, х-у-1=0. в) Знайдзіце каардынаты пункта Т, калі ён роўнааддалены ад пунктаў А(0;1), В(3;7) і ляжыць на прамой х-у-9=0. 3. а) Запішыце ўраўненне акружнасці з цэнтрам А і радыусам R, калі 1) А(1;5), R=3; 2) А(-3;4), R=2. б) Знайдзіце каардынаты цэнтра акружнасці і яе радыус, калі вядома ўраўненне акружнасці: 1) х2+(у-6)2=36; 2) (х-4)2+у2=7. 4. Акружнасць праходзіць праз пункт А(-1;-1), пункт С(-4;3) – цэнтр гэтай акружнасці. Высветліце, ці прайдзе дадзеная акружнасць праз пачатак каардынат. 9. Ураўненні прамой і акружнасці: заданні для самастойнай работы

44. 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

45. Азначэнні Накіраваным адрэзкам АВ,або вектарам АВ,называецца адрэзак АВ, для якога канец А лічыцца першым, а канец В – другім. Пункт А называецца пачаткам вектара, пункт В – яго канцом. Даўжынёй (модулем, абсалютнай велічынёй) вектара АВ называецца даўжыня адрэзка АВ. (Абазначэнне: |AB|.) Нулявым вектарамназываецца вектар, у якога пачатак і канец супадаюць. (Абазначэнне: 0.) Калінеарнымі (паралельнымі) вектарамі называюцца два вектары, якія ляжаць на паралельных прамых (у прыватным выпадку гэтыя прамыя могуць супадаць). Роўнымі вектарамі называюцца два вектары, якія калінеарны, маюць аднолькавую даўжыню і аднолькава накіраваны. Усе нулявыя вектары лічацца роўнымі. Процілеглымі вектарамі называюцца два вектары а і –а, калі адзін з іх роўны вектару АВ, а другі – вектару ВА. Калі пачатак А мае каардынаты х1 і у1, а канец В – каардынаты х2 і у2, то лікі х2-х1 і у2-у1 называюцца каардынатамі вектара АВ. Вуглом паміж вектарамі АВ і АС называецца вугал ВАС. Калі вектары маюць розныя пачаткі, то для пабудавання вугла паміж імі іх неабходна адкласці ад аднаго пункта. 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў:тэарэтычны матэрыял В а А а В А -а

46. Тэарэмы Аб адкладванні вектара 1. Для любога вектара а і пункта А існуе, і пры тым адзіны, вектар АВ, роўны вектару а. Першая ўласцівасць роўных вектараў 2. Калі АВ=СD, то чатырохвугольнік АСDВ – паралелаграм. Прымета роўнасці двух вектараў 3. Калі чатырохвугольнік АСDВ – паралелаграм, то АВ=СD. Другая ўласцівасць роўных вектараў 4. Калі АВ=СD, то гэтыя вектары маюць роўныя аднайменныя каардынаты. Каардынатная прымета роўнасці двух вектараў 5. Калі аднайменныя каардынаты ў двух вектараў роўныя, то гэтыя вектары роўныя. Аб даўжыні вектара 6. Даўжыня вектара АВ з каардынатамі х і у знаходзіцца па формуле |AB|= 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў:тэарэтычны матэрыял

47. Задача.Дадзена: АВ(3;у), |AB|=5. Знайдзіце у. Рашэнне. 1) Павінна выконвацца роўнасць 2) адсюль 9+у2=25 у2=16, у=±4; 3) умове задачы задавальняюць два значэнні каардынаты у. Адпаведна атрымліваем два вектары: АВ1(3;4), АВ2(3;-4). Адказ: АВ1(3;4), АВ2(3;-4). 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў:прыклады рашэння задач

48. 1. а) Знайдзіце каардынаты вектара АВ, калі: 1) А(2;5), В(4;3); 2) А(2;5), В(2;5). б) Знайдзіце даўжыні вектараў з папярэдняга задання. в) Знайдзіце каардынаты канца вектара, калі каардынаты вектара і яго пачатку адпаведна роўныя: 1) АВ(2;-2), А(2;5); 2) АВ(0;0), А(2;5). г) Знайдзіце каардынаты пачатку вектара, калі каардынаты вектара і яго канца адпаведна роўныя: 1) АВ(2;-2), В(4;3); 2) АВ(0;0), В(2;5). д) Вектары a(x;y)і b(-x;-y) маюць процілеглыя каардынаты. Параўнайце даўжыні гэтых вектараў. 2. а) Няхай АВСD – паралелаграм; А(0;0), В(1;3), D(5; 0). Знайдзіце каардынаты вяршыні С. б) Ва ўмовах папярэдняй задачы знайдзіце каардынаты пункта О – пункта перасячэння дыяганалей паралелаграма. в) Няхай АВСD – паралелаграм, Q – пункт перасячэння яго дыяганалей; А(0;0), В(1;4), Q(3;2). Знайдзіце каардынаты вяршынь С і D. 3. Вядома, што |AB|=5, А(4;0), прамень АВ утварае з дадатнай паўвоссю восі х вугал 45°. Знайдзіце каардынаты вектара АВ. Колькі рашэнняў мае задача? 10. Знаёмімся з новым матэматычным метадам: паняцце вектара, роўнасць вектараў: заданні для самастойнай работы

49. 11. Складанне і адніманне вектараў • Тэарэтычны матэрыял • Прыклады рашэння задач • Заданні для самастойнай работы Выбраць другую тэму

50. Сума двух вектараў Дадзены два вектары АВ і СD. Ад канца вектара АВ адкладзём вектар ВХ, роўны вектару СD. Пабудуем вектар АХ. Вектар АХ называецца сумай вектараў АВ і СD. Запісываюць: АВ+СD=АХ. Як бачна з дадзенага азначэння, складанне двух вектараў звялося да пабудовы трохвугольніка АВХ. Таму складанне двух вектараў такім спосабам называюць правілам трохвугольніка. Тэарэмы 1. (Складанне вектараў па правілу паралелаграма) Для пабудовы сумы АВ+СD ад пункта А адкладзём вектар АЕ=СD. Пабудуем чацвёртую вяршыню Х паралелаграма АВХЕ. Дыяганаль АХ гэтага паралелаграма з’яўляецца сумай вектараў АВ і СD: АВ+СD=АХ. 2. a+b=b+a. 3. (a+b)+c=a+(b+c). 4. a+0=a. 5. a+(-a)=0. 6. Пры складанні двух вектараў іх аднайменныя каардынаты складваюцца. 7. Калі каардынаты вектара cатрымліваюцца як сумы аднайменных каардынат вектараў a і b, то c=a+b. 11. Складанне і адніманне вектараў:тэарэтычны матэрыял С В D А Х D Х С Е В А