A kondicionális törvényei

1. A kondicionális törvényei Modus ponens avagy leválasztási szabály (MP): “Ha A, akkor B”-ből és A-ból következik B. Formálisan: A  B, A  B Modus tollens (MT):“Ha A, akkor B”-ből és “Nem B”-ből következik “NemA”. Azaz: A  B, B  A Kontrapozíció elve: A  B  B  A (Vigyázni az előidejűségre! NB. az előidejűség is implikatúra.) Még egy fontos törvény: A  (B  C)  (A  B)  C Egy következtetési szabály: A  B, B  C  A  C ( Láncszabály)

2. Kitérő a szigorú kondicionálisról A kondicionálissal a „Ha A, akkor B” feltételes állításokat így értelmezzük: Nem igaz, hogy A és nem B. Mi volna, ha ennél erősebb értelmezést választanánk? Lehetetlen, hogy A és nem B. Ezt nevezik szigorú kondicionálisnak. (Így értelmezte a sztoikusoktól kezdve Petrus Hispanuson keresztül a 19. századig majdnem mindenki.) Az előző dián szereplő szabályok mindegyike érvényben marad. Különbség abban van, hogy „Ha A, akkor B” hamisságából ebben az esetben nem következik sem A igazsága, sem B hamissága. Az igazságtáblázat felől nézve: Amikor a materiális kondicionális hamis, akkor a szigorú is hamis. De a szigorú kondicionális hamis lehet mind a három olyan sorban, amelyben a materiális igaz.

3. Fitch-szabályok a kondicionálishoz A kondicionális kiküszöbölési szabálya a modus ponens. Azaz ha egy bizonyításban szerepel egy “AB” alakú és egy A alakú lépés, akkor szabad B-vel folytatni ( Elim). A kondicionális többi törvénye származtatott szabály, azaz a többi szabályunk segítségével be tudjuk pl. bizonyítani, hogy ha egy bizonyításban szerepel “AB” és “B”, akkor el tudunk jutni “A”-hoz. Ehhez (MT) már az eddigi szabályaink is elegendőek. Próbáljuk ki! A Intro szabály egy bizonyítási módszer formalizálása lesz.

4. Feltételes bizonyítás Bizonyítsuk be , hogy (1) ha n páratlan szám, akkor a négyzete néggyel osztva 1-et ad maradékul! Tegyük fel, hogy n páratlan szám. Akkor n = 2m + 1 (ahol m egész szám). De akkor a négyzete 4m2 + 4m + 1 = 4m(m + 1) + 1. Tehát eggyel nagyobb egy néggyel osztható számnál. Mit csináltunk? Be akartuk bizonyítani az (1) kondicionálist. Feltételeztük az előtagját, és ebből levezettük az utótagot. Tehát formálisan: ha van egy részbizonyításunk, amely (kizárólag) az A premisszát tartalmazza, és bebizonyítja B-t, akkor folytathatjuk a bizonyítást “AB”- vel. (Intro). Ezzel be tudjuk bizonyítani a kondicionális láncszabályát: “AB”-nek és “BC”-nek következménye “A  C”, valamint a kontrapozíció törvényét és a “(AB)”-re vonatkozó összefüggéseket.

5. A bikondicionális szabályai • Lényegében a kondicionális szabályaiból származnak (a bikondicionális két kondicionális konjunkciója). • Elim: ha van egy “AB” (vagy “BA”) alakú meg egy A alakú lépésünk, folytathatjuk B-vel a bizonyítást. • Intro: “AB” (azaz „A és B ugyanakkor igaz”) bizonyításához két kondicionálist kell bizonyítani. • Kell egy részbizonyítás, amely A-ból levezeti B-t, és egy másik, amely B-ből levezeti A-t. • Vezessük le a kettős negáció törvényét: „AA”! • Azt, hogy A, B és C ugyanakkor igaz, hogyan lehet bizonyítani? • Asszociatív-e a bikondicionális? • Azt jelenti-e “(A  B)  C” (akárhogy zárójelezzük is), hogy A, B és C ugyanakkor igaz? • Hf: 8.18-25 - a megoldásokat a mate.andras53@gmail.com címre küldjék!! Igen! Nem!!!