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第五章 不連續機率分配

第五章 不連續機率分配. 目標 在學習完本章之後，你將能夠：. 1. 定義機率分配與隨機變數。 2. 區分不連續與連續機率分配間的差異。 3. 計算不連續分配的平均數、變異數與標準差。. 第五章 不連續機率分配. 目標 在學習完本章之後，你將能夠：. 4. 瞭解二項分配的特徵與使用時機。 5. 瞭解超幾何分配的特徵與使用時機。 6. 瞭解卜瓦松分配的特徵與使用時機。. 隨機變數. 隨機變數 (random variables) 是由一項隨機試驗中出現的結果所決定的。.

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第五章 不連續機率分配

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  1. 第五章 不連續機率分配 目標 在學習完本章之後，你將能夠： 1.定義機率分配與隨機變數。 2.區分不連續與連續機率分配間的差異。 3.計算不連續分配的平均數、變異數與標準差。

  2. 第五章 不連續機率分配 目標 在學習完本章之後，你將能夠： 4.瞭解二項分配的特徵與使用時機。 5.瞭解超幾何分配的特徵與使用時機。 6.瞭解卜瓦松分配的特徵與使用時機。

  3. 隨機變數 • 隨機變數(random variables)是由一項隨機試驗中出現的結果所決定的。 • 機率分配(probability distribution)：列 出一項試驗中所有結果與每一個結果出現的機率。

  4. 機率分配的類型 • 不連續機率分配可假設為只有特定的輸出結果。 • 若機率分配中的隨機變數為連續的，則 此分配即為連續機率分配。

  5. 機率分配的類型 • 不連續機率分配的例子： • 在課堂上學生的人數 • 在一個家庭中孩子的數量 • 上週， Coastal Federal 銀行核准的貸款家庭數量

  6. 機率分配的類型 • 連續機率分配的例子： • 學生通學的距離。 • 經理開車上班所花費的時間。 • 午間休息的時間。 • 某依通電話的通話時間。

  7. 不連續機率分配的特徵 • 不連續機率分配的主要特徵： • 機率總和為 1.00。 • 特定結果的機率介於0到1.00之間。 • 某事件之可能出現的結果為互斥。

  8. 範例 1 • 試投擲一個硬幣三次的隨機試驗。令x為出現人頭的次數。令H為出現人頭的結果以及T為出現數字的結果。

  9. 範例 1 continued • 所有可能出現的結果如下所示： • TTT, TTH, THT, THH, • HTT, HTH, HHT, HHH. • 因此 x的機率值為 (number of heads)出現人頭的次數：0,1,2,3。

  10. 範例 1 continued • 沒有出現人頭的次數只有一次。 • 出現一次人頭的次數有三次。 • 出現兩次人頭的次數有三次。 • 三次均出現人頭的次數為一次。 • 根據隨機變數的定義，x即為一個隨機變數

  11. 不連續機率分配的平均數 • 平均數： • 平均數表示機率分配的代表值。 • 它是隨機變數的長期平均值。 • 也可以稱為期望值(expected value)。 • 它是由所有可能出現的數值與其相對機率所計 算出來的加權平均數

  12. 不連續機率分配的平均數 • 平均數的計算公式： • 其中μ為平均數與P(x)為x的機率值 。

  13. 不連續機率分配的變異數 • 變異數可衡量分配的離散程度。 不連續分配的變異數可以希臘字母 σ2 表示。 • 標準差為 σ2. 的開平方根。

  14. 不連續機率分配的變異數 • 不連續分配的變異數計算公式如下：

  15. College Painters 的老闆Dan Desch，記錄了過去二十週的工作數量， 左表為其每週油漆房屋的數量： 範例 2

  16. 範例 2 continued

  17. 範例 2 continued • 計算每週粉刷房子的平均數量：

  18. 範例 2 continued • 計算每週粉刷房子的變異數：

  19. 二項機率分配 • 二項分配機率的特徵為 • 1.在一項實驗中，每一次試行的結果分為互斥的兩種 • 結果──也就是，成功或失敗。 • 2.隨機變數是在固定試行次數中成功的次數。 • 3.在每次試行時，成功與失敗的機率都是一樣的。 • 4.每一次的試行都是獨立的，這表示一次試行的結果 • 不會影響其他試行的結果。

  20. 二項機率分配 • 為了要建構特定的機率分配，我們使用：(1) n為試行次數；(2) x為每一次試行成功的機率。 (3) π為每次試行成 • 功的次數。

  21. 二項機率分配 • 計算二項分配的公式如下

  22. 範例 3 • Alabama州政府的勞工部門宣稱 目前 • 的失業率為 20% 。現在抽選14位工人為樣 • 本，請計算下列的機率： • 剛好三位工人失業。 • 至少三位工人失業。 • 至少一位工人失業。

  23. 範例 3 continued • 剛好 3 位工人失業的機率： • 至少 3位工人失業的機率：

  24. 範例 3 continued • 至少一位工人失業的機率：

  25. 二項機率分配的平均數與變異數 • 平均數為： 變異數為:

  26. 範例 4 • 根據範例 3，其中 π =.2 與 n=14，因此 • 平均數為： • μ=nπ = 14(.2) = 2.8 • 變異數為：σ2= (14)(.2)(.8) • =2.24

  27. 有限母體 • 有限母體為一個固定數量的個體或事物。例如： • 課堂上學生的數量。 • 在停車場中汽車的數量。 • Blackmoor所蓋的房子數量。

  28. 超幾何機率分配 • 超幾何分配的特徵： • 只會出現兩種可能出現的結果。 • 在每一次試行中成功的機率不相同。 • 其結果來自一個固定試行次數中計算試 成功的數量。

  29. 超幾何機率分配 • 計算超幾何分配的公式為： • 其中 N為母體大小，S為母體中成功的 • 次數，x為n個觀測資料的樣本中成功的 • 次數。

  30. 超幾何機率分配 • 使用超幾何分配的情況： • (1) 在抽樣時採不放回方式且母體為有限母體。 • (2) 如果樣本大小n等於或大於母體大小N的 • 5%，可以使用超幾何分配計算「成功」 • 或是「失敗」的機率。

  31. 範例 5 • 國家航空安全局列出了一張 10條安全規則 • 的清單。假設只有四項規則曾經實際發生 • 過， 安全局要研究另外五項規則。 現在隨機 • 抽選其中三項規則，想瞭解實際發生的機率 • 是多少？

  32. 範例 5 continued

  33. 卜瓦松機率分配 • 當二項分配越傾向於右偏時，將越近似 於卜瓦松分配。 • 二項分配之成功機率 π很小，而n很大 可稱為卜瓦松機率分配。

  34. 卜瓦松機率分配 • 計算卜瓦松機率分配的公式： • 其中 • μ(mu) 是特定區間內事件出現的平均數。 • e是常數2.71828。 • x是事件發生的次數。 • P(x) 是x的機率。

  35. 卜瓦松機率分配 • 成功次數的平均值，μ，可以由nπ計算出來，其中 n 為試驗的總次數而π為成功的機率。

  36. 範例 6 • Sylvania Urgent Care診所的業務為處理小受傷、流行感冒等小病。在晚間 6-10 點的門診中，每小時病人的數量為 4.0 。試計算一個小時剛好二位病人的機率是多少？

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