Алгебра логики

1. Алгебра логики

2. Логика — это наука о формах и способах мышления.

3. Основными формами абстрактного мышления являются : 1.Понятие 2.Высказывание 3.Умозаключение

4. Понятие • Понятие — это форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта. • Примеры: прямоугольник, проливной дождь, компьютер

5. Какие известные вам понятия определяются следующими предложениями: 1)      группа слов, которая выражает законченную мысль; 2)      расстояние, преодолеваемое за единицу времени; 3)      часть прямой, ограниченная с двух сторон; 4)      многоугольник с наименьшим числом сторон; 5)      последовательность команд, которую выполняет компьютер в процессе обработки данных; 6)   система хранения файлов и организации каталогов.

6. А = В Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна. •       тождество пример: А= «столица Франции» В= « Париж»      

7. А В В А Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна. • подчинение пример: А=«журналы» В=«Информатика в школе» исключение пример: А=«комплектующие компьютера» В=«школьные принадлежности» ·    

8. Отношения между объемами понятий.Диаграммы Эйлера-Венна. • пересечение пример: А=«сотрудники» В = «академики» • соподчинение пример: А=«мальчики» и В=«девочки» С=«школьники» А В С А В

9. По аналогии с приведенными в таблице примерами для каждого типа отношений между понятиями придумайте 2-3 собственных примера.

10. Высказывание • Высказывание — это форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, признаках или их отношениях. • Высказывание может быть либо истинно, либо ложно. • Примеры: Буква «а» - гласная. Дважды два – четыре.

11. Какие из предложений являются высказываниями? Определите их истинность. • Какой длины эта лента? • Прослушайте сообщение. • Делайте утреннюю зарядку. • Париж – столица Англии. • Без труда не вытащишь и рыбку из пруда. • Назовите устройство ввода информации.

12. Умозаключение • Умозаключение — это форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений (посылок) может быть получено новое суждение (заключение). Пример: дано высказывание: «Все углы равнобедренного треугольника равны». Получить высказывание «Этот треугольник равносторонний» путем умозаключений. Ответ: пусть основанием треугольника является сторона с. Тогда а=в. Так как в треугольнике все углы равны, следовательно, основанием может быть любая другая сторона, например, а. Тогда в=с. Следовательно а=в=с. Треугольник равносторонний.

13. Алгебра высказываний

14. Высказывание может быть: • простым; • составным. Высказывание называется простым (элементарным), если никакая его часть сама не является высказыванием. (Миша – школьник). Высказывание, состоящее из простых высказываний, называются составным (сложным). (Миша – школьник и отличник).

15. Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль. Ее символическое обозначение – латинская буква (А, В, С и т.д.) А = {Аристотель - основоположник логики} В = {На яблонях растут бананы}. Истинному высказыванию ставится в соответствие 1, ложному — 0. Таким образом, А = 1, В = 0.

16. Логическая функция – составное высказывание, содержащее несколько простых мыслей, соединенных логическими операциями. Ее символическое обозначение – F(A,B)

17. Какие из следующих предложений являются истинными, а какие ложными высказываниями? 1) Город Париж — столица Франции. 2) Число 2 является делителем числа 7. 3) 3 + 5 = 2 * 4. 4) 2 + 6 > 10. 5) Сканер — это устройство, которое может напечатать на бумаге то, что изображено на экране компьютера. 6) II + VI > VIII. 7) Сумма чисел 2 и 6 больше числа 8. 8) Мышка — устройство ввода информации.

18. Логические операции алгебры высказываний

19. Логическая операция КОНЪЮНКЦИЯ: • в естественном языке соответствует союзу и; • обозначение: &; • в языках программирования обозначение: and; • иное название: логическое умножение.

20. Логическая операция ДИЗЪЮНКЦИЯ: • в естественном языке соответствует союзу или; • обозначение: V ; • в языках программирования обозначение: or; • иное название: логическое сложение.

21. Логическая операция ИНВЕРСИЯ: • в естественном языке соответствует словам "Неверно, что... " и частице не; • обозначение: ¯A; • в языках программирования обозначение: not; • иное название: отрицание.

22. Логическая операция ИМПЛИКАЦИЯ: • в естественном языке соответствует обороту Если ..., то ...; • обозначение:→, ; • иное название: логическое следование.

23. Логическая операция ЭКВИВАЛЕНЦИЯ: • в естественном языке соответствует оборотам речи тогда и только тогда и в том и только в том случае; • обозначение: ,~ ; • иное название: равнозначность.

24. Приоритеты логических операций • действия в скобках; • инверсия; • конъюнкция &; • дизъюнкция V; • импликация ; • эквиваленция .

25. Логическое выражение Логическое выражение – это составное высказывание, выраженное в виде формулы логических переменных и логических операций. Значением логического выражения могут быть только ИСТИНА или ЛОЖЬ.

26. Решение задач Пример 1. Определите истинность простых высказываний: • А = {Принтер – устройство вывода информации}, • В = {Процессор – устройство хранения информации}, • С = {Монитор – устройство вывода информации}, • D = {Клавиатура – устройство обработки информации}. Пример 2. Определите истинность составного высказывания: ( ¯А &¯B ) & (C VD)

27. Решение • На основании знания устройства компьютера устанавливаем истинность простых высказываний: • А = 1, В = 0, С = 1, D = 0. •         Определим сначала истинность составного высказывания, используя таблицы истинности логических операций: (¯1& ¯0 ) & (1 V 0) = (0&1) & (1 V 0) = 0&1 = 0

28. Пример 2. Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню, и если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку» Решение: проанализируем составное высказывание. Оно состоит из трех простых высказываний: А = Петя поедет в деревню; В = Будет хорошая погода; С = Он пойдет на рыбалку. Тогда логическое выражение примет вид: F=A&(B→C)

29. Пример 3. Какие из высказываний А, В, С должны быть истинны и какие ложны, чтобы было ложно логическое выражение ((AVВ) & В) С.

30. Решение Импликация ложна на единственном наборе (1 0). Значит, С = 0, ((AVВ) & В) = 1.         Конъюнкция истинна на единственном наборе (1 1). Значит, В = 1 и (AVВ) = 1.         Дизъюнкции истинна при наборах (1 0) и (1 1).         Следовательно, существуют два набора, удовлетворяющих условию задачи: (А = 0, В = 1, С = 0) и (А = 1, В = 1, С = 0).

31. Пример 4.Среди следующих высказываний укажите составные; выделите в них простые, обозначив каждое их них буквой; запишите с помощью логических операций каждое составное высказывание. 1)      Число 376 четное и трехзначное. 2)      Неверно, что Солнце движется вокруг Земли. 3)      Земля имеет форму шара. 4)      На уроке математики старшеклассники отвечали на вопросы учителя и писали самостоятельную работу. 5)      Если сумма цифр числа делится на 3, то число делится на 3. 6)      Число 15 делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма цифр числа 15 делится на 3.

32. Пример 5. Найдите значения логических выражений:     а) (1V1)V(1V0);     б) ((1V0)V1)V1;     в) (0V1)V(1V0);     г) (0&1)&1;     д) 1&(1&1)&1;     е) ((1V0)&(1&1))&(0V1);     ж) ((1&0)V(1&0))V1;     з) ((1&1)V0)&(0V1);     и) ((0&0)V0)&(1V1).  

33. Пример 6. Даны два высказывания: А = {2 * 2 = 4}, В = {2 * 2 = 5}. Очевидно, что А = 1, В = 0. Какие из высказываний а)—е) истинны? а)¯A; б) ¯B ; в) А & В; г) AVВ; д) АВ; е) АВ.  

34. Пример 7. Составьте и запишите сложные высказывания из простых с использованием логических операций. • А является max(А, В, С); • Если Х делится на 2, то оно четное. • Хотя бы одно из чисел К, L, М положительно. • Все числа Х, У, Z равны 12. • Хотя бы одно из чисел А, В, С отрицательно.

35. Таблицы истинности

36. Таблица истинности Таблицу, показывающую, какие значения принимает составное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицейистинности составного высказывания.

37. Для составления таблицы истинности необходимо: • Выяснить кол-во строк в таблице: 2n, где n – кол-во переменных; • Выяснить кол-во столбцов = кол-во переменных + кол-во логических операций; • Установить последовательность выполнения логических операций; • Построить таблицу, указывая названия столбцов; • Заполнить таблицу истинности.

38. Решение примеров Пример 1. Для формулы A&(BV ¯B &¯C) построить таблицу истинности алгебраически и с использованием электронных таблиц.

40. Логические законы и правила преобразования логических выражений

41. 1. Закон двойного отрицания _ _ А = A

42. 2. Переместительный (коммутативный) закон: — для логического сложения: АVB = BVA — для логического умножения: A&B = B&A

43. 3. Сочетательный (ассоциативный) закон: — для логического сложения: (AVB)VC = AV(BVC) — для логического умножения: (A&B)&C = A&(B&C)

44. 4. Распределительный (дистрибутивный) закон: — для логического сложения: (AVB)&C = (A&C)V(B&C) — для логического умножения: (A&B)VC = (AVC)&(BVC)

45. 5. Закон общей инверсии (законы де Моргана): _____ _ _ A V B = A & B _____ _ _ A & B = AV B ______ __ (А→ B) = A & B __ A → B = A V B

46. 6. Закон идемпотентности — для логического сложения: AVA = A — для логического умножения: A&A = A

47. 7. Законы исключения констант: — для логического сложения: AV1 = 1; AV0 = A — для логического умножения: A & 1 = A; A & 0 = 0

48. 8. Закон противоречия: _ A & A = 0

49. 9. Закон исключения третьего: _ AVA = 1

50. 10. Закон поглощения:   — для логического сложения: AV(A&B) = A   — для логического умножения: A&(AVB) = A