Системы счисления

1. Системы счисления

2. сотни десятки единицы Позиционные системы Позиционная система: значение цифры определяется ее позицией в записи числа. Десятичная система:первоначально – счет на пальцахизобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Основание (количество цифр): 10 разряды 2 1 0 3 7 8 = 3·102 + 7·101 + 8·100 300 70 8 • Другие позиционные системы: • двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) • двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) • двадцатеричная (1 франк = 20 су) • шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

3. 2 2 2 2 2 18 8 4 1 9 4 2 0 1 1 0 Перевод целых чисел Двоичная система: Алфавит: 0, 1Основание (количество цифр): 2 10  2 19 19 = 100112 система счисления 1 2  10 4 3 2 1 0 разряды 100112 = 1·24 +0·23+0·22+1·21+1·20 = 16 + 2 + 1 = 19

4. Примеры:

5. Метод подбора 77 10  2 наибольшая степень двойки, которая меньше или равна заданному числу 77 13 5 1 1 64 8 4 + 1 13 5 1 77 = 64 + + 8 + … + 4 + … Разложение по степеням двойки: 77 = 26 + 23 + 22 + 20 77 = 126 + 025 + 024 +123 +122 +021 + 1 20 6 5 4 3 2 1 0 разряды 77 = 10011012

6. Примеры:

7. Примеры:

8. 0 2 Арифметические операции сложение вычитание 0+0=0 0+1=1 1+0=1 1+1=102 1 + 1 + 1 = 112 0-0=0 1-1=0 1-0=1 102-1=1 перенос заем        0 1 1 102 0 102 1 0 1 1 02 + 1 1 1 0 1 12 1 0 0 0 1 0 12 – 1 1 0 1 12 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 2

9. Примеры:

10. Примеры:

11. Примеры:

12. Примеры:

13. ! Каждая шестнадцатеричная цифра может быть записана как четыре двоичных (тетрада)! Перевод в двоичную систему 10 • трудоемко • 2 действия 16 2 16 = 24 7F1A16= 0111 1111 0001 10102 { { { { 7 F1A

14. Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на тетрады, начиная справа: 0001 0010 1110 11112 Шаг 2. Каждую тетраду записать одной шестнадцатеричной цифрой: 0001 0010 1110 11112 1 2 E F Ответ: 10010111011112 = 12EF16

15. ! Каждая восьмеричная цифра может быть записана как три двоичных (триада)! Перевод в двоичную и обратно 10 • трудоемко • 2 действия 8 2 8 = 23 17258 = 001 111 010 1012 { { { { 1 7 2 5

16. Перевод из двоичной системы 10010111011112 Шаг 1. Разбить на триады, начиная справа: 001 001 011 101 1112 Шаг 2. Каждую триаду записать одной восьмеричной цифрой: 001 001 011 101 1112 1 1 3 5 7 Ответ: 10010111011112 = 113578

17. Перевод в восьмеричную и обратно трудоемко 10 16 8 2 Шаг 1. Перевести в двоичную систему: 3DEA16= 11 1101 1110 10102 Шаг 2. Разбить на триады: 0111101111010102 Шаг 3. Триада – одна восьмеричная цифра: 3DEA16= 367528

18. Примеры:

19. Примеры:

20. Примеры:

21. Примеры:

22. Примеры:

23. Примеры:

24. Примеры:

25. Примеры:

26. Примеры:

27. Примеры:

28. Примеры: • А5. Женя и Саша играют в игру с числами. Женя записывает четырехзначное шестнадцатеричное число, в котором нет цифр, больших, чем 5. Саша строит из него новое шестнадцатеричное число по следующим правилам. • Вычисляются два шестнадцатеричных числа – сумма двух первых разрядов Жениного числа и сумма двух последних разрядов Жениного числа. • Полученные два шестнадцатеричных числа записываются друг за другом в порядке возрастания (без разделителей). • Пример. Женино число: 5532. Поразрядные суммы: A, 5. Сашин результат: 5A. • Определите, какое из предложенных чисел может получиться у Саши при каком-то Женином числе. • 1) 210 2) 59 3) 5B 4) A4

29. Примеры:

30. Примеры: B4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААО 3. ААААУ 4. АААОА …… Укажите номер слова ОАОАО.

31. Примеры: В4. Все 5-буквенные слова, составленные из букв А, К, Р, У, записаны в алфавитном порядке. Вот начало списка: 1. ААААА 2. ААААК 3. ААААР 4. ААААУ 5. АААКА …… Укажите номер первого слова, которое начинается с буквы У.

32. Позиционные системы Задача: в какой системе счисления число 58 записывается как «46x»? Определите основание системы счисления X. 58 = 46x • в записи есть цифра 6, поэтому x > 6 • переводим правую часть в десятичную систему • решаем уравнение 1 0 58 = 46x = 4·x1 + 6·x0 = 4·x+ 6 58 = 4·x+ 6 x= 13

33. Позиционные системы Задача: найдите основание системы счисления, в которой выполняется равенство 16x + 33x =52x • в записи есть цифра 5, поэтому x > 5 • переводим в десятичную систему • решаем уравнение 1 0 1 0 16x = x+ 6 52x = 5·x+ 2 33x = 3·x+ 3 4·x+ 9=5·x+2 x= 7

34. Позиционные системы Задача: перечислите через запятую все системы счисления, в которых выполняется неравенство 21x + 32x> 102x • в записи есть цифра 3, поэтому x > 3 • переводим в десятичную систему • решаем неравенство (перебор x = 4, 5, 6, …) 2 1 0 1 0 21x = 2·x+1 102x = x2 +2 32x = 3·x+2 5·x+3 > x2 +2 x= 4,5

35. Примеры:

36. Позиционные системы

37. Примеры:

38. Примеры:

39. Примеры:

40. Примеры:

41. Примеры:

42. Примеры:

43. IP-адреса 0..255 0..255 0..255 0..255 193.162.230.115 IP-адрес: номер сети + номер компьютера в сети w.x.y.z

44. IP-адреса Маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, которое определяет, какая часть IP-адреса компьютера относится к адресу сети, а какая часть IP-адреса определяет адрес компьютера в подсети. В маске подсети старшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса сети, имеют значение 1;младшие биты, отведенные в IP-адресе компьютера для адреса компьютера в подсети, имеют значение 0.Например,маска подсети может иметь вид: 11111111 11111111 11100000 00000000 (255.255.224.0) Это значит, что 19 старших бит в IP-адресе содержит адрес сети 13 младших бит содержат адрес компьютера в сети

45. Примеры: 1111111111111111 11000000 00000000 (255.255.192.0) 11011001 00010011 10000000 10000011 (217.19.128.131)

46. Примеры:

47. IP-адреса Количество различных адресов компьютеров допускаемых маской равно 2N, где N – количество нулевых бит в маске Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны 1. 11111111 11111111 11100000 00000000 (255.255.224.0) 213 -2=8192-2=8190

48. Примеры: В11.В терминологии сетей TCP/IP маской подсети называется 32-разрядное двоичное число, определяющее, какие именно разряды IP-адреса компьютера являются общими для всей подсети - в этих разрядах маски стоит 1. Обычно маски записываются в виде четверки десятичных чисел - по тем же правилам, что и IP-адреса. Для некоторой подсети используется маска 255.255.252.0. Сколько различных адресов компьютеров допускает эта маска? Примечание. На практике два из возможных адресов не используются для адресации узлов сети: адрес сети, в котором все биты, отсекаемые маской, равны 0, и широковещательный адрес, в котором все эти биты равны 1. общее число нулевых битов N = 10 поскольку из них 2 адреса не используются (адрес сети и широковещательный адрес) для узлов сети остается 1024 – 2 = 1022 адреса Ответ: 1022.

49. Примеры: В11. Если маска подсети 255.255.255.240 и IP-адрес компьютера в сети 192.168.156.235, то номер компьютера в сети равен _____? 11111111 11111111 11111111 11110000

50. Троичная уравновешенная система • Задача Баше: • Найти такой набор из 4 гирь, чтобы с их помощью на чашечках равноплечных весов можно было взвесить груз массой от 1 до 40 кг включительно. Гири можно располагать на любой чашке весов.