La preparación en matemáticas de los profesores de enseñanza básica

1. La preparación en matemáticas de los profesores de enseñanza básica Solomon Friedberg Prof. of Mathematics and Chair Department of Mathematics Boston College Chestnut Hill, MA 02467 USA friedber@bc.edu http://www2.bc.edu/~friedber June 2008

2. Esto es (parte de) nuestro trabajo • Enseñar bien matemáticas requiere “pedagogical content knowledge” (Liping Ma). Muchos futuros profesores –incluso en el nivel primario- no tienen ese conocimiento. • Los matemáticos, quienes trabajan con razonamiento matemático todos los días y comprenden profundamente qué es importante en matemáticas, están llamados a compartir ese conocimiento. Esto vale en todos los niveles, incluyendo la enseñanza básica. (No es una tarea simple)

3. Pedagogical content knowledge es necesario, pero no suficiente. Por ejemplo, manejo de curso, y comprensión de asuntos interculturales escapan del dominio matemático, pero son claramente importantes..

4. Hacer frente a la necesidad • Los Matemáticos que no son especialistas en educación matemática, también pueden contribuir, incluso en el nivel básico. • No todos los miembros de un departamento de matemáticas deben hacerlo; no todos son buenos en esto o están interesados. Como ocurre con otra enseñanza, uno necesita conocimiento específico e interés.

5. En Massachusetts: Nuevos Requesitos para Certificación de profesores • Los requesitos anteriores: pasar un test que implica 5 áreas, con matemáticas siendo el 18% del test. La prueba se pasa por un promedio global. • Consecuencias del viejo test: • A) Un profesor puede obtener la certificación sin tener conocimientos de la matemática de primaria. B) Las universidades para preparar profesores de primaria no requieren muchos cursos de matemáticas (un curso en didáctica de las matemáticas en cuatro años de instrucción!).

6. Nuevos requisitos: test de matemáticas separado del test de matemáticas para primaria- a un nivel sofisticado. Suficientes preguntas (cerca de 50) para hacer un test “robusto”-que puedan dar resultados confiables. • Preguntas que enfatizan el pensamiento matemático aplicado a la matemática de aula del nivel básico.

7. La Regulación de Massachusetts “2. Matemáticas. b. Los candidatos deben demostrar que poseen habilidades fundamentales de cálculo y un conocimiento profundo de la matemática de K-8. Ellos deben demostrar que no solo saben como hacer con la matemática de básica, sino que entender y explicar a los estudiantes, en multiples maneras, por qué eso tiene sentido.”

8. Tópicos Matemáticos • i. Números y operaciones (la base de las áreas ii-iv) • ii. Funciones y álgebra • iii. Geometría y medida • iv. Estadística y probabilidades • Descritos en detalle en “Guidelines for the Mathematical Preparation of Elementary Teachers”, Julio 2007.

9. Nuevos cursos para ayudar a los estudiantes a prepararse • Nuevos requisitos para la certificación estatal, para los programas de preparación de profesores de primaria:3-4 cursos a nivel universitario de tópicos matemáticos (9-12 horas semestrales) “dictados por miembros del departamento de matemáticas, posiblemente acompañado por profesores de educación.”

10. Ponderación sugerida para cada tópico • Números and operaciones: 45% • Funciones & álgebra: 25% • Geometría & medida: 20% • Estadística & probabilidad: 10% Describiré la guía más abajo. El documento completo está disponible en el sitio web del Departamento de educción de Mass. El cual lo pueden encontrar en mi página web.

11. Sobretodo Profundidad “Se espera que los candidatos a ser profesores de enseñanza básica alcancen un dominio, así como también una comprensión profunda de aritmética, álgebra, geometría, probabilidad del mismo modo que sus estudiantes esperan de su maestro de K-8. Ellos pueden alcanzar este nivel de conocimientos si y sólo si:

12. Vea la aritmética (y el álgebra) como un pequeño, unificado, coherente, consistente tema donde todo tiene sentido. • Apreciar la importancia de desarrollar claras y explícitas definiciones y acordes al curso, así como usar razonamiento lógico para llegar a conclusiones no ambiguas. • Experiencia y hacer matemática real, lidiando con problemas de varios pasos, desafíos lógicos, y de soluciones no obvias. • Adquirir hábitos de pensamiento matemático: razonando, conjeturando, visualizando, analizando, estimando, explorando, justificando, y constantemente practicando el “¿Por qué?”

13. 5. Desplazarse por varios niveles de abstracción: desde los “palotes” a los números romanos, al valor posicional, a la notación científica; de los números a las variables (una abstracción central del álgebra), a funciones. • Ganar la competencia y la confianza para analizar el pensamiento matemático en sus estudiantes y engancharlos en un productivo discurso matemático.

14. Algunas características • La Matemática está basada en definiciones y pensamiento lógico (fracciones, razones, etc.). • Los profesores debieran saber que algunos problemas están mal planteados (por ejemplo, “Si a la mitad de los niños y a un cuarto de las niñas del curso de la profesora López, les gusta la leche, ¿ a cuál fracción del curso de la señora López le gusta la leche?”).

15. Profesores HACIENDO Matemáticas “Hacer matemática real comprende lidiar con problemas de fondo que no tienen solución obvia; los profesores necesitan pasar por esta experiencia, a un nivel que ellos puedan superar. Las tareas debieran incluir actividades ricas y problemas que amplíen la mente, desafíen el intelecto, y desarrollen pensamiento matemático (además de ejercicios que aseguren práctica y competencias sólidas).” Por ejemplo:

16. La suma de enteros consecutivos, suma de impares consecutivos, y su interpretación geométrica; “problemas de planteo” (word problems) que involucren esas sumas. • Problemas que requieren exploración, conjeturas, y perseverancia: A school has 961 lockers and 961 students. The first student opens every locker, the second student changes every second locker, the third student changes every third locker, and so on. Which lockers are open after every student has passed by? Analiza y propone una estrategia para el juego del NIM. Dos jugadores cominezan con 13 lápices y van sacando de a uno o de a dos; el jugador que saca el último pierde.

17. Problemas de planteo de varios pasos que sean desafiantes: • Dos señoras comienzan a caminar con el amanecer, de la villa de cada una a la villa de la otra. Se encuentran al mediodía. La primera señora llega a la villa de la otra a las 4:00PM, mientras que la segunda señora llega a la villa de la primera a las 9:00PM. Ellas caminan a ritmo constante . ¿A qué hora fue el amanecer? • Problemas de planteo que van contra la intuición: • El 99% del peso de los pepinos frescos corresponde a agua. 300 kilos de pepinos son almacenados, hasta el momento que son puestos a disposición del mercado, y se comprueba que en ellos el 98% de su peso es agua. ¿Cuánto pesan ahora los pepinos? • Preguntas abiertas que estimulen la reflexión: Estima el número de peluqueros(as) en Santiago.

18. Números y Operaciones Números y operaciones es la base para toda la matemática de la escuela; conecciones y ejemplos del álgebra y la geometría aparecen frecuentemente y deben ser enfatizadas. Para la completa comprensión de Números y Operaciones, típicamente se requiere mas que un semestre, porque se debe considerar un curso integrado que tenga una secuencia de múltiples líneas y una rica red de relaciones entre aritmética, geometría, y álgebra.

19. Unos pocos conceptos y asuntos que merecen especial atención: • La sutil y poderosa invención llamada valor posicional hace posible toda la matemática moderna, ciencia, e ingeniería. Una comprensión profunda elimina el misterio de los algorítmos de cálculo, decimales, estimaciones, notación científica, —y luego—polinomios. • Enteros, fracciones, decimales, porcentajes, y números mixtos son todos solo simples números; ellos comparten las mismas propiedadses y tienen un lugar en la recta numérica. • La recta númérica tiene una importncia crítica por si misma, tanto como una conexión entre los números y el conteo con las medidas lineales como un medio para interpretar y entender las 4 operaciones. • Sentido de número , matemática mental, y habilidades de estimación son habilidades indispensables.

20. 9 propiedades simples gobiernan toda la aritmética; la propiedad distributiva es el pegamento que une la adición con la multiplicación; las propiedades y los sistemas numéricos anidadosuno dentro de otro (naturales, enteros, racionales, reales) recapitulan a la aritmética en un pequeño, coherente paquete donde todo hace sentido. • Sustracción y división son las “inversas” de la adición y multiplicación, respectivamente, y sus “agentes” son opuestos y reciprocos. Números con signo son a la adición y sustracción como las fracciones son a la multiplicación y división. • Casi todos los números tienen asociados unidades, un punto importante que es frecuentemente pasado por alto en los primeros cursos. Las unidades allanan el camino para aprender fracciones y proveen una guía crucial para resolver problemas—especialmente aquellos que involucran razones. • Toda proporción involucra una tasa constante y es un ejemplo de función lineal.

21. Funciones and Álgebra El Álgebra, alguna vez considerado demasiado avanzado para K–6, es ahora reconocido como un tópico “abre puertas” y emerge en los grados de enseñanza básica. Estudiantes de segundo grado, por ejemplo, deben aprender que la sustracción 8-5 es un problema equivalente a 5+?=8. Porque un objetivo clave de un profesor de básica es preparar a sus estudiantes para el álgebra, y ellos debieran ser competentes y seguros con el pensamiento algebraico, especialmente en el uso de variables y las soluciones de ecuaciones simples. Ellos también debieran basarse en el álgebra implícita que existe en el sistema decimal.

22. Los siguientes conceptos y asuntos ameritan una atención especial: • El álgebra generaliza a la aritmética. Expresiones racionales ilustran la importancia de entender los números racionales. • El concepto de variable es la piedra angular del álgebra, es crítico para traducir problemas de la vida real en matemáticas, y es un gran obstáculo para mucha gente. • El concepto de función no es solo un obstáculo, sino que frecuentemente una experiencia traumática. Uno debe aliviar esto gentilmente vía funciones lineales usando “funciones como máquinas” en el curriculum elemental. Pero los profesores no se debieran poner nerviosos con problemas del tipo: • Exprese el área del círculo en función de su perímetro.

23. La comprensión de relaciones funcionales puede ser nutrida con "gráficos cualitativos", por ejemplo: • José comenzó a caminar a la escuela, se detuvo a conversar, luego, corrió de vuelta a casa para recibir colación, y luego corrió hacia la escuela. Haga un gráfico esquemático de la distancia de su casa versus el tiempo. • Dada la forma de un vaso y el agua que fluye hacia él a una velocidad constante, haga un gráfico esquemático de la altura del agua en el vaso vs tiempo. • Dado un gráfico de la velocidad de un vehículo vs el tiempo, esbozar el gráfico de la distancia recorrida vs el tiempo. Dada la distancia recorrida dibuja la velocidad • Una ecuación lineal (sin término constante) es una colección infinita de prpporciones cuya constante de proporcionalidad es la “pendiente” de la ecuación: • “La multiplicación cruzada” es solo un “ayuda memoria”, no un principio matemático, el cual debiera ser usado solo por aquellos que pueden explicar por qué funciona.

24. La íntima relación entre álgebra, geometría, y aritmética (e.g., números triangulares, Teorema de Pitagoras, funciones lineales) son importantes, y la habilidad de moverse fluidamente y con seguridad entre ecuaciones, tablas, y gráficos es primordial . Esto requiere una definición propia de gráfico como el conjunto de todos los puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación(o una inecuación) en dos variables. • Patrones (regularidades) son transversales (aritmético/numérico, geométrico, lingüístico, musical/rítmico) pero los profesores necesitan ayuda para entender por qué son importantes. Por ejemplo, las tablas de sumas y de multiplicación, contienen varios interesantes patrones que alivian la carga de la memorización. Los profesores también tienen que evitar los problemas mal planteados relativos a patrones que frecuentemente aparecen en los libros de texto. • Expresar algebraicamente un “problema de planteo” o gráficamente o icónicamente; Traducción de información verbal a lenguaje simbólico; y solución de problemas en general son todos sutiles y difíciles.

25. Geometría y Medida La Geometría adolece tanto de una sobre-abundancia de definiciones (tanto es así que algunos curriculums parecen una gran lección de vocabulario) como de una imprecisión en algunas de las definiciones más importantes (notablemente en congruencia y semejanza). Los profesores debieran darse cuenta que el vocabulario es necesario para describir los conceptos espaciales intuitivos, y que la presición es esencial en ese vocabulario. Pero el propósito del vocabulario es hacer posible el razonamientomatemático acerca de objetos espaciales, y debieran dominar la precisión para guiar a sus estudiantes mediante actividades de acuerdo al nivel, que enfaticen el razonamiento y el desarrollo de la intuición espacial, sin empantanarse en la terminología. Esta tarea no es fácil y se basa en la propia bien desarrollada intuición espacial del profesor.

26. Medición es fundamental, enlazando Geometría con Números & Operaciones y Álgebra: • Una recta numérica aparece en toda regla, termómetro, escala, velocímetro—y en cada eje de un gráfico multidimensional. • El modelo de área para la multiplicación provee una entrada para longitud, perimetro, área, volumen, y área superficial: • Partiendo solamente con el área del rectángulo, obtenga la fórmula del área del triángulo rectángulo, un triángulo no rectángulo, un paralelogramo, y un trapezoide. • Derive la fórmula del volumen de un prisma rectangular. Use esto para encontrar el volumen de un prisma triangular. • Si triplicas la arista de un cubo, ¿qué sucede con el área superficial? ¿con el volumen?

27. Unidades y conversiones de unidades son el corazón de la medición; las operaciones de multiplicación y división son excelente lugar para discutir unidades compuestas. • La multifacética relación entre geometría, medición, aritmética, y álgebra debiera ser explorada y explotada. Un ejemplo clave es el Teorema de Pitágoras y su aplicación para medir distancia en el plano: • Corta 4 triángulos rectángulos idénticos, con lados a, b, e hipotenusa c. Dispóngalos para formar una nueva figura geométrica y usa el conocimiento de áreas para probar que a^2+b^2=c^2. • En una hoja de papel milimetrado dibuja ejes coordenados y dibuja los puntos que satisfacen la ecuación x^2+y^2=1 . ¿Qué figura es? Explica por qué.

28. La relación entre perímetro y área suele ser una fuente de confusión : • Un rectángulo tiene perímetro P y área A. • Para un valor fijo de P, ¿Cuáles son los posibles valores de A ? • Para un valor fijo de A, ¿Cuáles son los posibles valores de P ? • Círculos, esferas, y muévase un poquito más allá de la medición lineal. • Mida varios círculos y determine la razón entre el perímetro de la circunferencia y su diámetro. • Explique por qué lás fómulas de volumen del cilindro, el cono y la esfera tienen sentido.

29. Dominar unos pocos tópicos claves en geometría les servirá mucho a los profesores de enseñanza básica: • Visualización de objetos y movimiento en dos y tres dimensiones. • Construcciones con regla y compás. • Propiedades de rectas paralelas, especialmente la relación entre los ángulos en la transversal (el “postulado de las paralelas”). • Una bien desarrollada intuición visual es más importante que memorizar textualmente reglas acerca de ángulos alternos internos y cosas de esas.

30. Propiedades de triángulos y otros polígonos. La definición de polígono es un asunto sútil, incluyendo su objeto dual como una curva y una superficie. Ejercicios sobre triángulos y la relación de los ángulos debiera la imensa utilidad de trazar líneas auxiliares, e.g.: • El hecho que el triángulo es rígido y no otros polígonos es frecuentemente pasado por alto en el curriculum de básica. • Prueba que la medida de los ángulos interiores de un triángulo suman 180°. • Encuentra la suma de los ángulos interiores of an n-ágono. • Transformaciones: rotación, traslación, reflexión, y homotecias • ¿Cuál es el efecto de las transformaciones en el área y el volumen? • Precisar definiciones de congruencia y semejanza, usando transformaciones, que se aplica a todas las figuras (no solo a polígonos). • Triángulos semejantes y su relación con funciones lineales, proporciones, y razones.

31. Estadística & Probabilidades Estadística y probabilidad en el curriculum de K–6 son simples y en su mayoría descriptiva, y en el reciente Curriculum Focal Points del NCTM, se reconoce su papel secundario frente al segundo ciclo básico y la enseñanza media. Sin embargo, los profesores deben entender los conceptos básicos, incluido un mínimo de estadística inferencial, y estar dispuesto a discutirlos con los estudiantes.

32. Estadística descriptiva, gráficos, y como ellos son usados para resumir información que son díficiles de digerir en detalle. Rectas de mejor ajuste debieran ser discutidas, si bien no derivadas rigurosamente. • Medidas de tendencia central (media, mediana, y moda) y medidas de dispersión (rango, desviación estándar, etc.). Los profesores debieran entender estas medidas, en que se diferencian, y cómo se usan apropiadamente: • Por ejemplo, solo la moda funciona para datos cualitativos, pero se comporta mal (discontinuo) con datos de medidas.

33. Permutaciones, combinaciones, y sus aplicaciones en el cálculo de probabilidades. • ¿De cuántas formas diferentes pueden ser reordenadas la letras de la palabra “educador”? ¿La misma técnica funciona con la palabra “Mississippi”? Explique. • ¿Cuál es la probabilidad de obtener un póquer de aces en una mano de cinco cartas? • Espacio muestral, eventos simples/compuestos, eventos independientes/dependientes, probabilidad condicional. • Una moneda no cargada sale cara las cuatro veces que se lanza. ¿Cuál es la probabilidad de sello en el siguiente lanzamiento? • Su oponente saca dos manos de póquer de aces seguidas, ¿Qué puede inferir?

34. Culminación del curso • Además, Massachusetts recomienda incluir un cuarto curso para futuros profesores si es posible, y se invita a las universidades a diseñar cursos de culminación que enlacen la matemática con la ciencia y la ingeniería.

35. Resumen: La Visión de Massachusetts • Éxito en STEM (sciece, technology, engineering and mathematics) requiere profesores de primaria bien preparados en matemáticas . • Los matemáticos puden y deben contribuir a esta preparación, enseñando cursos apropiados de conenido matemático. • Los matemáticos pueden ser efectivos haciendo esto sin ser “educadores matemáticos ” especialistas.

36. NOTA Las Directrices aprobadas por la Junta de Educación de Massachusetts han tenido el efecto de aumentar la participación de matemáticos y las interacciones con los educadores de matemáticas. Se han celebrado reuniones con los Presidentes de las universidades para discutir la mejor manera de satisfacerlas.

37. Mirada hacia el futuro: evaluar los programas de formación docente • Analizar lo apropiado y riguroso de las matemáticas que se entregan a los aspirantes a profesores de enseñanza básica en las universidades en EEUU. • Recolectar programas y textos de estudio a lo largo y ancho del país. • construir rúbricas para elaborar el curso tipo Este paso está bajo aciva consideración en EEUU.