第二章离散时间信号与系统的变换域分析

序列的Z变换 序列的傅里叶变换离散时间系统变换域分析希尔伯特（Hilbert）变换第二章离散时间信号与系统的变换域分析第二章第1讲

抽样信号 双边Ｚ变换令：单边Ｚ变换拉氏变换与Ｚ变换： §1 序列的Z变换 • Z变换的定义第二章第1讲

Z变换的定义 例1：求序列 x(n)= an u(n) 的Z变换。 Z平面解：  为保证收敛，则收敛域若 a = 1, 则第二章第1讲

Z平面  收敛域为保证收敛，则 Z变换的定义例2：求序列 x(n)= -an u(-n-1)的Z变换。解：第二章第1讲

Z平面   |z|<3时，第一项收敛于，对应于左边序列。收敛域 |z|>1/3时，第二项收敛于，对应于右边序列。当时：零点：0，极点：3，1/3 Z变换的定义例3：求序列 x(n)= (1/3)|n| 的Z变换。解：第二章第1讲

其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即： 对于任意给定的序列，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为的收敛域。对于不同的序列，可求得相应的收敛域。 Z变换的收敛域 • Z变换的收敛域根据级数收敛的阿贝尔定理第二章第1讲

越大收敛越快。 所以，收敛域在圆外。 Z变换的收敛域 • 收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛。 • 有限长序列的收敛域为整个Z平面, 可能除开z=0, z=。 • 右边有限长序列： X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0 • 左边有限长序列： X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+···· |z|< • 如果是右边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， |z|>也位于收敛域内。第二章第1讲

收敛域 收敛域双边序列的收敛域收敛域右边序列的收敛域左边序列的收敛域 Z变换的收敛域 • 如果是左边序列，并且|z|=位于收敛域内，那么， 0<|z|<的全部 z值也位于收敛域内。所以，收敛域在圆内。 • 如果是双边序列，收敛域由圆环组成。第二章第1讲

式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。逆Z变换 • 逆Z变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。 • 逆Z变换的三种基本方法围线积分法部分分式展开法长除法（幂级数展开法） • 围线积分法第二章第1讲

若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分。根据留数定理，等于围线C内全部极点留数之和，即: 如果还满足在有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有: 是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点逆Z变换第二章第1讲

如果为单阶极点，按留数定理: 如果为阶极点，则其留数为: 逆Z变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化。例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多。第二章第1讲

已知某序列的Z变换为: 求原序列x(n) 由于收敛域为，可知该序列必定是因果序列。并且当时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得: 逆Z变换例1: 解: 第二章第1讲

已知序列的Z变换为： 求原序列x(n) ∵ 所给收敛域为环域 ∴ 原序列必为双边序列 1/a a 收敛域逆Z变换例2：解： |z|=|1/a| 围线C |z|=|a| 在收敛域内作包围原定的围线C 第二章第1讲

当时，只有一个单阶极点z=a, 其围线积分为：逆Z变换当n<0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ，因此有: 第二章第1讲

用部分分式展开法求反Z变换， 通常为有理分式。则其逆Z变换为：逆Z变换 • 部分分式展开法 1、单极点若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：第二章第1讲

逆Z变换 说明：1、X(z)较简单时可按算术展开求各系数Ak(k=0,1…,N) 。 2、X(z)较复杂时可按留数定理求各系数Ak(k=0,1…,N)，此时为了方便通常利用X(z)/z的形式求取：第二章第1讲

当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：式中Bk(k=0,1…,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得。Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：逆Z变换 2、高阶极点第二章第1讲

例：已知，求X(z)的原序列。 将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式由求系数Ak的公式求得因为X(z)的收敛域为，为因果序列，从而求得逆Z变换解：第二章第1讲

若把X(z)展开成z-1的幂级数之和，则该级数的各系数就是序列 x(n) 的值。在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂级数，分子分母多项式应按升幂排列展开；对于右边序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列进行展开。逆Z变换 • 长除法（幂级数展开法） • 典型例题第二章第1讲

用长除法求 的逆Z变换。由收敛域知，这是一右边序列。用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。即：逆Z变换例: 解：第二章第1讲

用长除法求 的逆Z变换 ∵收敛域为环域， ∴x(n)必为双边序列。对左边序列对右边序列 ∴右边序列为: ∴左边序列为: 综上可得: 逆Z变换例: 解：第二章第1讲

求的逆Z变换。 由收敛域知原序列应为因果序列。的幂级数展开式为故有，即：用代入上式，因逆Z变换例: 解：第二章第1讲

第二章第1讲

序列的移位 • 序列乘指数序列（尺度性） Z变换的性质与定理 • 线性性返回返回第二章第1讲

序列的反褶 • 序列的共轭 • Z域微分性 Z变换的性质与定理返回第二章第1讲

初值定理 若x(n)为因果序列，它的初值为： • 终值定理若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有： • 卷积定理 Z变换的性质与定理返回第二章第1讲

序列相乘（复卷积定理） • Parseval定理 Z变换的性质与定理返回第二章第1讲

重抽样序列的Z变换 对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)。两者之间的关系为： Z变换的性质与定理第二章第1讲

求序列 的z变换，并确定其收敛域。典型例题查看性质 • 例 1 解：线性性第二章第1讲

求的z变换和收敛域。 典型例题查看性质 • 例 2 解：序列的移位性第二章第1讲

典型例题 查看性质 • 例3 解： X(z)对z进行微分： Z域微分性逆Z变换第二章第1讲

用卷积定理求 典型例题查看性质 • 例4 解：卷积定理逆Z变换第二章第1讲

用复卷积定理求 典型例题查看性质 • 例5 解：复卷积定理第二章第1讲

在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：典型例题查看性质可见，只有一个极点v2=b在围线C内。由留数定理求得：第二章第1讲

Z变换与拉氏变换的关系: 这一关系实际上是通过将S平面的函数映射到了Z平面。若将Z平面用极坐标表示，S平面用直角坐标表示，代入，得：上述关系表明： z的模 r 仅与 s 的实部相对应，z的幅角则仅与 s 的虚部对应。映射关系： Z变换与拉氏变换的关系 • S平面到Z平面的映射第二章第1讲

(S平面实轴映射到Z平面的正实轴) (S平面原点映射到z=1点) 由于是的周期函数，S平面每增加一个宽为2 /T 的水平条带时，对应于Z平面从- 到+ 旋转了一周。这样就有： (当由- /T 增加到+ /T 时,对应于由- 增加到+ ) 即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图示： Z变换与拉氏变换的关系第二章第1讲

抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的S→Z平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有或定义：Z平面的角变量，称为数字频率，单位为弧度。 Z变换与拉氏变换的关系 • 抽样序列的Z变换表示第二章第1讲

序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用{}作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用{}对模拟信号进行展开相似。序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析。它是用{}作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用{}对模拟信号进行展开相似。 §2 序列的傅立叶变换 • 序列傅立叶变换的定义第二章第1讲

x(n)的傅立叶变换定义如下: 是的连续函数。但由于其中M为整数，故有可见还是的周期函数，周期为2 。 §2 序列的傅立叶变换 1．序列傅立叶正变换第二章第1讲

序列的傅立叶变换式： 序列的Z变换定义式：比较后可见：序列的傅立叶变换是Z变换在时的Z变换，即Z变换在的单位圆上的特殊情况。序列傅立叶变换的定义 2．序列傅立叶变换与Z变换的关系第二章第1讲

序列傅立叶变换的定义 由于单位圆上的Z变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变换也就是序列的频谱。由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。第二章第1讲

一般为的复变函数，可表示为: 其中，分别为的实部和虚部；通常称为序列的幅频特性或幅度谱，而称为相位谱，并且有：显然都是的连续函数和周期为 2 的周期函数。序列傅立叶变换的定义第二章第1讲

某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。如、某些周期序列，见后例。即序列绝对可和序列傅立叶变换的定义 3．序列的傅立叶反变换该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非必要条件 4．序列的傅立叶变换的收敛条件有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在。见后例。第二章第1讲

序列傅立叶变换的定义 5．常用序列的傅立叶变换第二章第1讲

已知，求它的傅立叶变换。 其幅度谱和相位谱分别为：典型例题 • 例1 解：第二章第1讲

已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。 显然序列不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。典型例题 • 例2 解： Parseval定理第二章第1讲

证明复指数序列的傅立叶变换为： 根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数的性质，有：推论若序列为复指数和的形式：典型例题 • 例3 证：第二章第1讲

求余弦序列的傅立叶变换 可见：序列的傅立叶变换表现为在处的冲击，强度为，并以2 为周期进行周期延拓。典型例题 • 例4 解：利用上例结论第二章第1讲

因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立。下面所列出的性质都可直接由Z变换令得到，可自行证明。序列傅立叶变换的性质第二章第1讲

序列傅立叶变换的性质 • 线性性 • 序列的移位 • 频域的相移 • 序列的反褶第二章第1讲

第二章 离散时间信号与系统的 变换域分析