Modulus VS Cryptographix
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Modulus VS Cryptographix. L’arithmétique modulaire au service du chiffrement affine. Congrès Dédra-MATH-isons. Les Applications de la cryptographie. Intro / Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique. À l’ « Époque » :. Messages militaires & Diplomatiques.

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Presentation Transcript
Congr s d dra math isons

Modulus VS Cryptographix

L’arithmétique modulaire au service du chiffrement affine

Congrès Dédra-MATH-isons


Les applications de la cryptographie
Les Applications de la cryptographie

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

  • À l’ « Époque » :

Messages militaires

& Diplomatiques

  • De nos jours :

Transactions bancaires

E-commerce


Le vocabulaire du cryptologue
Le Vocabulaire du Cryptologue

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Cryptanalyste

Chiffrement

Déchiffrement

Cryptogramme

Texte clair

Destinataire

Clé

Expéditeur


Et les math matiques l dedans

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Et les Mathématiques là dedans ?

AD

1  4

BE

2  5

25  28

+3

+3

+3

Décalage de 3 lettres

2

A B C D … X Y Z

1 2 3 4 … 24 25 26


Le plan que nous allons suivre
Le plan que nous allons suivre :

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

1.Notions élémentaires de congruence arithmétique

2.Chiffrement par substitution monoalphabétique

3.Chiffrement par substitution polyalphabétique


Congr s d dra math isons

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Notions élémentaires

de congruence

arithmétique


A congru b modulo m
a congru à b modulo m

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Soit m  0, a, b  

a-b est divisible par m.

4-9=-5

-5-3=-8


R sidu
Résidu

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

  • a   ,  ! b   :

    • ab(modm)

    • 0b<m

      b = reste de la division de a par m

  • b est le résidu

  • b=a(modm)

47=3.15+2

puisque 47-2=45


Un nouvel ensemble
Un nouvel ensemble

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Travaillons en mod3

3

-4

0

1

2

-3

7

3

43

8

-2

39

53


Classe de r sidus

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Classe de résidus

Dans 3=0,1,2:

2 + 1 =2+1=3= 0

2 . 2 = 2.2=4=1


Inversibilit d un l ment dans z m
Inversibilité d’un élément dans Zm

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Dans 6

5 -1= 5

Car 5 . 5 = 1

2 -1n’existe pas !

Car PGCD(2,6)=2

xest inversible dans Zm

x et m sont premiers entre eux.

PGCD(x,m)= 1

ax+bm=1


Quel est l inverse de 31 dans 98
Quelest l’inverse de 31 dans 98?

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

31 et 98 sont-ils

premiers entre eux?

98=3.31+5

31=6.5+1

=>PGCD(31,98)=1

Cherchons l’inverse

a.31+b.98=1

(1) 31=6.5+1

(2) 98=3.31+5

(1)-6.(2)

31-6.98=1-18.31

19.31-6.98=1

19=31-1(mod98)


M premier
m premier

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Si m est un nombre premier, tous les éléments de m (hormis 0) ont un inverse pour la multiplication dans m.

Alphabet à 29 caractères


Congr s d dra math isons

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Chiffrement par substitution

monoalphabétique


Formule g n rale de codage

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Formule générale de codage

(x)=(ax+b) mod 29

Conditions:


Exemple de chiffrement

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Exemple de chiffrement

« Je ne suis pas intelligent, je suis incroyablement curieux. »

(x)=c=(2x+3) mod 29.

j

9

21

21

v

vl_al_kotk_edk_tamlzztplam._vl_kotk_tahicwdfzl,lam_hoiulou


D chiffrement

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Déchiffrement

?

c=(x)=(ax+b) mod 29

x=s-1(c)= a-1 (c-b) mod 29


D chiffrement1

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Déchiffrement

zd_hoitcktml_lkm_oa_qtzdta_jlndom

(x)=c=(2x+3) mod 29

x=s-1(c)= 2-1 (c-3) mod 29

x=s-1(c)= 15 (c-3) mod 29

z

25

330

11

l

La curiosité est un vilain défaut


Cryptanalyse

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Cryptanalyse

E

,

M

_

_e,ipjudlunm,mln,pb,ru_eub,kmoepn

_e_ipjudlune_eln_pb_ru_eub_keoepn

la_ipjudlune_eln_pb_rulaub_keoapn

lavipjudsute_est_pb_rulaub_keoapt

la_iujidsite_est_un_vilain_keoaut

la curiosité est un vilain défaut


Pour trouver la cl

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Pour trouver la clé

?

?

c=(x)=(ax+b) mod 29

27=(a.26+b)mod29

12=(a.4+b)mod29


Congr s d dra math isons

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Chiffrement par substitution

polyalphabétique


Chiffrement
Chiffrement

C = (AxM + B) mod29, où

C est la matrice du message codé

M est la matrice du message clair

A est la matrice clé de multiplication

B est la matrice clé d’addition

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique


La matrice du message clair
La matrice du message clair

« Il faut détruire Carthage. »

«IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E. _ »

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

A

M =


Les matrices cl s
Les matrices clés

Conditions préalables sur le genre :

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

C = Ax M + B

[ ?x? ] = [ ?x? ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ ?x? ] = [ ?xl ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ ?x? ] = [ lxl ] x [ lxm ] + [ ?x? ]

[ ?x? ] = [ lxl ] x [ lxm ] + [ lxm ]

[ lxm ] = [ lxl ] x [ lxm ] + [ lxm ]


Matrice cl de multiplication a
Matrice clé de multiplicationA

Deux possibilités :

Matrice quelconque [ 3x3 ]

Matrice [ 3x3 ] représentée par un mot de 9 lettres

déterminant de A ≠ 0

Soit A =

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Genre de la matrice : [ 3x3 ]


Matrice cl d addition b
Matrice clé d’addition B

Deux possibilités :

Duplication m fois d’une matrice [ 3x1 ] représentée par un mot clé de 3 lettres (Vigenère)

Matrice quelconque de genre [ 3x9 ] (Vernam)

Soit B =

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Genre de la matrice : [ 3x9 ]

« KEY »

dupliquée 9 fois


La matrice du message cod
La matrice du message codé

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

C = (Ax M + B)mod29

(

x

)mod 29

+

=

« .MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA »


Codage multiple

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

Codage multiple

« IL_/FAU/T_D/ETR/UIR/E_C/ART/HAG/E.A »

« .MM/QJZ/_X,/SIT/LYS/JIZ/HEH/ILP/RIA »


D chiffrement2
Déchiffrement

Opération utilisée pour le codage :

C = (AxM + B) mod 29

Opération utilisée pour le décodage :

C – B = AxM

(A-1 (C – B)) mod 29 = M

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

?


Matrice du cryptogramme
Matrice du cryptogramme

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

(A-1 (C – B)) mod 29 = M

EGQ/PXZ/QKQ/PIS/UBC/.XR/RMO/HDW

C =


Les matrices cl s1
Les matrices clés

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

(A-1 (C – B)) mod 29 = M

A-1 =

A-1=


La matrice du message clair1
La matrice du message clair

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

(A-1 (C – B)) mod 29 = M

(

(

x

))mod 29

-

=

« CAR/THA/GE_/EST/_DE/TRU/ITE/.AA »


Cryptanalyse1
Cryptanalyse

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

  • Analyse fréquentielle… ?

    • Une lettre n’a pas qu’une correspondante

    • Multiplication des inconnues

      Mauvaise méthode

  • Attaque à texte clair

    • Découverte d’équations avec les éléments des clés comme inconnues


Conclusion
Conclusion

Intro/ Congruence/ Chiffrement monoalphabétique/ Chiffrement polyalphabétique

C = (Ax M + B)mod29