CÁLCULO

1. CÁLCULO DIFERENCIAL Equipo: *Jose Luis Cervantes Berumen #7 *Carla María Pacheco Hernández #30 *Carolina Escareño Ríos #9 *Cinthia A. Rodríguez Rodríguez #35 *Irving Misael Ibarra Luna #21

2. LÍMITES Un límite es hasta donde podemos llegar, son los valores cercanos a aquel valor en el cual la función se indetermina. Definición: Se dice que el valor de una variable “x” se aproxima o tiende a una constante “a” como límite, cuando la diferencia entre el valor de la variable se hace y llega a ser menor que cualquier cantidad, por pequeña que esta sea. • El límite en una función es la “y” en la gráfica. • Al valor del límite se le conoce como “c”

3. Si al aproximar x lo suficientemente cerca de un número a, tanto del lado izquierdo como del derecho, f(x) se aproxima a un número L, entonces el límite cuando x tiende al número a es L: lím f(x) = L x → a

4. ¿Cómo saber si existe el límite? El primer paso que debemos realizar para conocer si el límite de la función existe o no es sustituir el valor x en la función, esto nos puede dar el límite directo o presentarse alguno de   los siguientes tres casos: I) c0 = ∞ donde c es una constante que al dividirla entre cero resulta no definido, es decir indeterminado o infinito. II) 0c = 0, esto nos da como resultado, al dividir cero sobre una constante, este es el limite.   III) 00 , esto nos indica que el límite puede existir o no existir.

5. Tipos de cálculo de límites: • Límites directos Por ejemplo, para encontrar el límite de 2x - 8 cuando x tiende a 3: Se sustituye el valor al que tiende x en la función: = - 2 El resultado es igual al valor del límite. • Cálculo de Límites mediante factorización La factorización de un polinomio es el proceso que permite expresarlo como producto de otros polinomios. Existen diferentes tipos de realizar esto: Factor común, diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, cuatrinomio cubico perfecto, entre otros. En cuanto a los límites podemos usar el que nos lleve al resultado correcto.

6. Cálculo de Límites mediante tablas Otra manera de encontrar el límite de una función es por medio de una tabla. Esto se aplica cuando al sustituir el valor al que tiende x en la función ésta se indetermina, y además no hay manera de factorizar la función, como es el caso siguiente: Por ello se construye una tabla con valores en t cercanos a 0, los cuales se sustituyen en la función, y se deduce cuál sería el valor que tomaría el límite. Calculo de limites mediante racionalizaciónRacionalizar es quitar la raíz o el radical del numerador o denominador de una fracción.

7. Sea f(x) una función, se define a su derivada f ′(x), como: f ′(x): Para toda x, siempre que el límite exista y se representa por: y′, f ′, o DX y

8. Interpretación geométrica El valor de la derivada en cualquier punto de la curvatura es igual a la pendiente de la recta tangente en ese punto donde: ¡¿DERIVADAS?!

9. ¿Cómo derivar? Derivada de la tangente Derivada de la cotangente Derivada de la secante Derivada de la cosecante Derivada del arcoseno Derivada del arcocoseno Derivada del arcotangente Derivada del arcocotangente Derivada del arcosecante Derivada del arcocosecante Derivada del arcocosecante la función potencial-exponencial Derivada de x Derivada de función afín Derivada de una potencia Derivada de una raíz Derivada de un producto Derivada de un cociente Derivada de la función exponencial Derivada de la función exponencial de base e • Derivada de un logaritmo • Derivada de un logaritmo neperiano • Derivada del seno • Derivada del coseno

10. MAXIMOS Y MINIMOS Los máximos y mínimos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto).

11. MAXIMOS Si f y f' son derivables en a, a es un máximo relativo o local si se cumple: 1)  f '(a) = 0 2) f ''(a) < 0 MINIMO Si f y f' son derivables en a, a es un mínimo relativo o local si se cumple: 1) f '(a) = 0 2)F ''(a) > 0

12. Cálculo de los máximos y mínimos relativos • f(x) = x3 − 3x + 2 1. Hallamos la derivada primera y calculamos sus raíces. f'(x) = 3x2 − 3 = 0 x = −1 x = 1. • 2. Realizamos la 2ª derivada, y calculamos el signo que toman en ella los ceros de derivada primera y si: • f''(x) > 0 Tenemos un mínimo. • f''(x) < 0 Tenemos un máximo. • f''(x) = 6x • f''(−1) = −6 Máximo • f'' (1) = 6 Mínimo • 3. Calculamos la imagen (en la función) de los extremos relativos. • f(−1) = (−1)3 − 3(−1) + 2 = 4 • f(1) = (1)3 − 3(1) + 2 = 0 • Máximo(−1, 4) Mínimo(1, 0)

13. RAZÓN DE CAMBIO Si una cantidad x está en función del tiempo t , la razón de cambio de x con respecto a t está dada por . Si dos o más cantidades se relacionan con una ecuación, la razón de cambio de cada cantidad se obtiene derivando la ecuación dx dt

14. ¿Cómo se resuelve un Problema De razón de cambio? Se traza un dibujo que complete todas las variables y constantes que intervengan en el problema. Se elabora un modelo matemático que relacione las variables. Se deriva el modelo matemático respecto al tiempo, se despeja la incógnita a conocer y se sustituyen los datos dados.

15. Ejemplo: Un cubo de hielo de 10 de volumen, comienza a derretirse a razón de , ¿Cuál es la razón de cambio de la superficie del cubo en ese instante? Solución: Se construye un cubo con arista x cuyo volumen es y la razón con la que se derrite es El signo indica que el volumen del cubo está decreciendo Se deriva el volumen respecto al tiempo: x Se despeja La razón con que disminuye la arista es: x x

16. El área total del cubo es y la razón con que cambia el área es: Pero , entonces: Si el volumen es de ,entonces , por tanto: El área disminuye a razón de

17. GRACIAS 5° ”a”