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图论常见模型与思想

图论常见模型与思想. 何亮 roba269@gmail.com. 强连通分量相关. 概念：有向图的强连通分量 (SCC) 是指，对于强连通分量里面的任意两个点 u,v ，都存在从 u 到 v 的路和从 v 到 u 的路 算法：复杂度均为 O(V+E) Kosaraju ( 两次 dfs) Tarjan / Gabow ( 一次 dfs). Tarjan. 对图进行 DFS ，每个 SCC 都是 DFS 树的一个子树。在搜索时用堆栈维护当前正在处理的结点，栈顶的若干元素即组成一个 SCC 。 类似求割点的过程，定义 Low[u] = min(dfn[u],

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图论常见模型与思想

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  1. 图论常见模型与思想 何亮 roba269@gmail.com

  2. 强连通分量相关 • 概念：有向图的强连通分量(SCC)是指，对于强连通分量里面的任意两个点u,v，都存在从u到v的路和从v到u的路 • 算法：复杂度均为O(V+E) • Kosaraju (两次dfs) • Tarjan / Gabow (一次dfs)

  3. Tarjan • 对图进行DFS，每个SCC都是DFS树的一个子树。在搜索时用堆栈维护当前正在处理的结点，栈顶的若干元素即组成一个SCC。 • 类似求割点的过程，定义 Low[u] = min(dfn[u], low[v], {(u,v)为树边} dfn[v], {(u,v)为后向边} ) • 若对某点u有 dfn[u] = low[u]，说明以u为根的子树上的点为一个SCC

  4. tarjan(u) { DFN[u]=Low[u]=++Index // 为u设定dfn和Low初值 Stack.push(u) // 将节点u压入栈中 for each (u, v) in E // 枚举每一条边 if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过(树边) tarjan(v) // 继续向下找 Low[u] = min(Low[u], Low[v]) else if (v in S) // 如果节点u还在栈内(后向边) Low[u] = min(Low[u], DFN[v]) if (DFN[u] == Low[u]) // 节点u是SCC的根 repeat v = S.pop // 将v退栈，为该SCC中一个顶点 print v until (u== v) }

  5. 强连通分量相关 • 关键点： • 一个强连通分量内部的所有点，在某种意义上是“等价”的。 • 图中的边存在某种意义上的“传递性”。 • 通过缩点操作可以把复杂的一般有向图转化为DAG，使得问题简化

  6. 例题分析 • Popular Cows (USACO Fall 03) • POJ 2186 • N头奶牛，给出若干个欢迎关系A B，表示A欢迎B，欢迎关系是单向的，但是是可以传递的。另外每个奶牛都是欢迎他自己的。求出被所有的奶牛欢迎的奶牛的数目。 • 奶牛数目N≤10000 • 直接的欢迎关系数目M≤50000

  7. 例题分析 • 如果A欢迎B，就连一条从A到B的有向边 • 容易发现，在同一个强连通分量里的点具有同样的“受欢迎程度”：能够到达它们的点集是相同的，从它们出发能够到达的点集也是相同的。 • 我们求出原图的强连通分量，然后收缩……

  8. 例题分析 • 容易发现，新图中唯一的出度为0的点即为所求。 • 因为新图不含有环，这样的点一定存在。 • 如果出度为0的点不唯一则无解。 • 时间复杂度 O(E)

  9. 例题分析 • WTommy’s Trouble(TOJ2233/TOI 1135) • WTommy需要向所有人通知某件事情，因为人数众多，他想出了一个省力的方法：他只通知队中的某些人，然后让这些人去通知所有他们认识的人，这些新被通知的人又去通知更多的人……直到最后队中的所有人都被通知到。 • 给定最初时WTommy通知每个人所需的花费，现在他想求出一种方案，使得花费最少，并且保证最终所有人都能被通知到。

  10. 例题分析 Input 4 3 30 20 10 40 1 2 2 1 2 3 Output : 60 1 ≤ N ≤ 10000, 0 ≤ M ≤ 200000

  11. 例题分析 • 同一个强连通分量里，只要有一人被通知即可 • 缩点后得到的DAG中，如果一个点被通知，则它的所有后继结点都会被通知。故只需通知入度为0的点 • 在入度为0的每个点所表示的连通分量中，通知花费最少的那个人，即为最优解 • O(E)

  12. 例题分析 • NOIP 2009 最优贸易(Trade) • C 国有 n 个大城市和 m 条道路（单向或双向），每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。水晶球在各地有不同的价格。某商人准备从1走到n（任何城市可以经过多次），在某个城市买入，并在另一城市卖出，收益即为价格之差。他最多只买入和卖出1次，求最大收益。

  13. 例题分析 • 如下图，五城市水晶球价格分别为 4，3，5，6，1 。则最高的方案是14545。在第一次到5时买入，第二次到4时卖出，收益为6 – 1 = 5

  14. 例题分析 • 若图中无环，则可以DP求解： • 设v[i]表示i点的物品价格。令dp[i]表示从i到N的路径中的最高价格。若从i点买入，则收益为dp[i]-v[i]。最终结果即为max(dp[i]-v[i]) • 状态转移方程： • dp[i] = max(v[i], max{dp[j], 当ij有边时}) • 注意：应排除不能到达N的点

  15. 例题分析 • 若图中有环…… • 在同一SCC里的全部点的“连通性”是等价的：能够到达它们的点集是相同的，从它们出发能够到达的点集也是相同的。 • 若从此SCC买入，则一定买价格最低的点 • 若从此SCC卖出，则一定买价格最高的点

  16. 例题分析 • 最终解法： • 对原图求SCC并缩点，设新点i中最高价格点为H[i]，最低价格点为L[i]。在新的DAG图上有DP： • dp[i] = max(H[i], max{dp[j], 当ij有边时}) • 最终结果为max{dp[i] – L[i]} • 注意：应排除不能到达N的点

  17. 例题分析 • Poly-time Reductions(Hefei 2008) • 给定一个有向图G，求一个包含最少边的有向图G’，使G和G’的传递闭包相同。 • 图的传递闭包是指，若存在边AB, BC，则必存在边AC • N <= 100, M <= 10000

  18. Input 3 3 1 2 2 3 1 3 Output 2 Input 4 6 1 2 2 1 2 3 3 2 3 4 4 3 Output 4 例题分析

  19. 例题分析 • 求强连通分量，缩点…… • 在同一强连通分量内部，最少需要几条边？ • 不同分量之间的边，有哪一种是不必要的？

  20. 例题分析 • 先求传递闭包 • 对于边(u,v)，若存在一点k，使得uk且kv，则边(u,v)是不必要的 • 易得一个O(n^3)的算法 • 证明？

  21. 路径覆盖相关 • 经典模型：给定一有向无环图，要求用最少的不相交路径把所有点覆盖上 • 解法：把原图中的每个点i拆为两个，分别属于X集和Y集。对于原图中的有向边(i，j)，在新图中添加边(Xi, Yj)，得到一个二分图。最小路径覆盖数 = 原图顶点数 –新图最大匹配数 • “拆点”思路广泛应用于此类问题

  22. 路径覆盖相关 • 简单解释： • 原图的路径覆盖和新图的匹配间有对应关系：每条覆盖边都是匹配中的一条边，且只有路径的最后一个点没有被匹配上。 • 路径要求不能相交，恰好对应于匹配中两匹配边不能有公共端点。 • 于是求最大匹配后，不能被匹配上的点，即是路径的最后一个点。有多少个不能被匹配的点，就有多少条路径存在。路径数=原点数－匹配边数。因此我们使匹配边数最大，即是使路径数最小。

  23. 例题分析 • Hanoi Tower Troubles Again! (OIBH Contest) • ZOJ 1239 • 题目大意：给定柱子数N，按编号从小到大放球，要求：如果该球不在最底数，则该球和它下面一个球的编号之和必须为完全平方数。 • 问对于给定的N，最多能放多少球上去。 • N<=50

  24. 例题分析

  25. 例题分析 • 考虑一下相关的问题： • 给k个球，问最少需要多少个柱子才能把它们都放上? • 如果能解出上述问题，则二分k值即可求解原问题。 • 继续类比……球→??, 柱子→??

  26. 例题分析 • 如果a+b是完全平方数(a<b)，那么我们连一条有向边(a,b)…… • 于是，问题变成了求DAG的最小路径覆盖。 • 因为连边时保证a<b，所以无环 • 路径→柱子 • 路径不相交→同一个球不能用两次 • ……

  27. 例题分析 • POJ Monthly / POJ 3216 • 题目大意：城市有Q个城区，有些城区之间有路连接，经过这些路所需时间已知。现在有M个维修任务要进行，已知每个任务的地点、deadline和完成每个任务所需时间。维修工可以从任何一个城区开始，完成任务后可以到另一个城区继续。问至少要派出多少个维修工才能及时任务。(Q<=20, M<=200)

  28. Sample Input 1 2 0 1 1 10 1 5 10 Sample Output 2 例题分析

  29. 例题分析 • Floyd预处理所有点对间最短路径dis[][] • 设有任务a,b，如果在完成任务a后还来得及走到b处继续，即deadline[a] + cost + dis[a][b] <= deadline[b]，则连一条有向边(a,b)…

  30. 例题分析 • 由建图的过程知，这个有向图中一定不会出现环…… • 于是问题转化为DAG的最小路径覆盖 • 经典问题，(点数-最大匹配数)即为最终结果。

  31. Dilworth定理 • NOIP 1999 导弹拦截 • 导弹拦截系统有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高于前一发的高度。 • 给定依次飞来的导弹高度，问(1)一套系统最多拦截多少导弹 (2)拦截所有导弹最少需要几套系统

  32. Dilworth定理 • 第一问是简单的最长不上升子序列O(nlogn) • 第二问 • 解法一：最小路径覆盖 (复杂度过高) • 解法二：……贪心?

  33. Dilworth定理 • 偏序关系：定义在集合X上的二元关系≤，对X中任意元素a,b,c满足三条性质： • 1. 自反性：a≤a • 2. 反对称性：若a≤b且b≤a，则a=b • 3. 传递性：若a≤b且b≤c，则a≤c • 对于X中任意两元素a,b，若有a≤b或b≤a，则称a和b是可比的，否则为不可比。

  34. Dilworth定理 • 一个链C是X的一个子集，它的任意两个元素都可比。 • 一个反链A是X的一个子集，它的任意两个元素都不能进行比较。 • Dilworth定理： 最大反链的大小 = 最少可划分成的链的数目

  35. Dilworth定理 • 若在拦截导弹a以后还能拦截导弹b，则认为存在关系a≤b（易得此为偏序关系） • 问题一：求最大链 • 问题二：求最少划分成多少个链。由Dilworth定理，等价于求最大的反链 • 在此处，最大的反链，即最长上升子序列 • O(nlogn)

  36. Dilworth定理 • 思考： • 能用dilworth定理解决的问题一定能用路径覆盖解决吗？ • 反之是否成立？什么情况下只能用匹配来做？

  37. Dilworth定理 • HDU 3335 Divisibility • 给定n个数(n<=1000)，要求从中选出一些数，满足条件：若选择了a，就不能选择任何a的约数和倍数。问最多能选出多少数 • 例如有三个数1,2,3，最多可以选出两个: 2,3

  38. Dilworth定理 • (a是b的倍数)这是一个偏序关系，则此题要求的即为最大反链的大小 • 此题中反链难以直接计算，利用Dilworth定理，等价于计算最少可划分为的链数 • 于是我们回到最小路径覆盖，用二分匹配求解即可

  39. 例题分析 • TJOI 2009 细菌培养 • 生物实验室的培养皿中有N只细菌，每只细菌i有三个属性值Ai,Bi,Ci，若细菌i和j发生接触，并且细菌i的三项属性值都大于或等于细菌j时，i就可以把j吞噬掉。由于某些神秘的原因，每只细菌最多只能吞噬K只细菌。问培养皿中最少会剩下多少只细菌？

  40. Input: 3 1 10 20 30 10 20 30 10 20 30 Output: 1 Input 4 2 100 100 100 50 50 50 40 50 60 10 100 200 Output 2 例题分析

  41. 广义的路径覆盖 • 不考虑三个属性完全相等的情况，如果当i可以吃掉j时连有向边ij，那么可以得到一个DAG • 若K=1，则此问题即为DAG的最小路径覆盖 • 若K>1 ?

  42. 广义的路径覆盖 • 类比K=1的情况，不同之处在于，每个左边的点可以匹配多个右边的点，于是—— • 把每个点i拆成两个点i和i’ • 若i能吃掉j，连边(ij’)，容量为1 • 从源点到每个左侧点i连边，容量为K • 从每个右侧点i’到汇点连边，容量为1 • 求最大流F，则n-F即为所求

  43. 广义的路径覆盖 • 对于属性完全相同的细菌，因为是完全等价，我们可以任意设定一个顺序，例如，以在输入数据中出现的先后顺序为序，只允许排前面的细菌吃掉排后面的细菌。

  44. SPOJ TOURS • 有N个城市M条单向道路，道路有长度权值。要求设计出若干条环线，使得每个城市都属于（且仅属于）一条环线。每条环线最少包含两个城市，且经过每个城市最多一次。要求所有环线的总长度之和最小。N <= 200

  45. Input: 5 8 1 2 4 2 1 7 1 3 10 3 2 10 3 4 10 4 5 10 5 3 10 5 4 3 Output: 40 两条环线： 1 – 3 – 2 – 1 5 – 4 – 5 SPOJ TOURS

  46. 广义的路径覆盖 • 思考： • 环覆盖？ • 与路径覆盖有何区别与联系？可否借用类似的思路？

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