Аппроксимация функций (продолжение)

1. Аппроксимация функций(продолжение)

2. Многочлен Лагранжа. Будем искать интерполяционный многочлен в виде линейной комбинации многочленов степени n:

3. При этом потребуем, чтобы каждый многочлен li(x) обращался в нуль во всех узлах интерполяции, за исключением одного (i-го), где он должен быть равен единице.

4. этим условиям приi = 0 отвечает многочлен вида

5. Аналогично ………………………………………………………

6. Подставляя l0 , l1 ,…, lnвL(x) получим • эта формула определяет интерполяционный многочлен Лагранжа.

7. Из формулы для L(x)можно получить выражения для линейной (n = 1) и квадратичной (n = 2) интерполяций:

8. Пример. Вычислить в точке х=0,1 значение функции y=f(x) заданной таблицей

11. Многочлен Ньютона. • рассмотрим случай равноотстоящих значений аргумента, т. е. хi- хi-1 = h = const (i = 1,2,...,n). • Величина h называется шагом.

12. Введем понятие конечных разностей. • Пусть известны значения функции в узлах • Составим разности значений функции: • Эти значения называются первыми разностями (или разностями первого порядка) функции.

13. вторые разности функции: • Аналогично составляются разности порядка k :

14. Конечные разности можно выразить непосредственно через значения функции. Например,

15. Аналогично для любого kможно написать • Эту формулу можно записать и для значения разности в узле xi:

16. Используя конечные разности, можно определить уk

17. Перейдем к построению интерполяционного многочлена Ньютона. Этот многочлен будем искать в следующем виде:

18. График многочлена должен проходить через заданные узлы, • Эти условия используем для нахождения коэффициентов многочлена:

19. Найдем отсюда коэффициенты

20. Общая формула имеет вид

21. Подставляя эти выражения в формулу для N(x) получаем следующий вид интерполяционного многочлена Ньютона:

22. Данную формулу часто записывают в другом виде. • Для этого вводится переменная тогда

23. тогда Полученное выражение называется первым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования вперед.

24. интерполяционный многочлен Ньютона для интерполирования вперед удобен для значений х близких к х0

25. Для правой половины отрезка [х0, хn]. разности лучше вычислять справа налево. • В этом случае

26. тогда Полученная формула называется вторым интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад.

27. Пример. Вычислить в точке х=0,1 значение функции y=f(x) заданной таблицей

29. N (0,1)=