Prof. Thiago Figueiredo

1. Análise Combinatória Prof. Thiago Figueiredo

2. (Escola Naval) Um tapete de 8 faixas deve ser pintado com cores azul, preta e branca. A quantidade de maneiras que podemos pintar esse tapete de modo que as faixas consecutivas não sejam da mesma cor é: a) 256 b) 384 c) 520 d) 6561 e) 8574

3. Resolução: Logo pelo principio multiplicativo temos que o número de maneiras de pintar o tapete é: 3.2.2.2.2.2.2.2 = 384

4. Resolução: Logo pelo principio multiplicativo temos que o número de maneiras de pintar o tapete é: 3.2.2.2.2.2.2.2 = 384 • 256 b) 384 c) 520 • d) 6561 e) 8574

5. A figura mostra um mapa com 4 regiões. • De quantos modos esse mapa pode ser colorido (cada país com uma cor e países com uma linha fronteira comum não podem ter a mesma cor) se dispomos de b cores diferentes? • Qual o menor valor de b que permite colorir o mapa?

6. Resolução: a) b-1 b-2 b b-3 Portanto, Total = b.(b-1).(b-2).(b-3)

7. Resolução: b) Como, total = b.(b-1).(b-2).(b-3), necessitamos de no mínimo 4 cores. Se b = 4, teremos 24 maneiras de pintar o mapa

8. a)De quantos modos é possível colocar um rei negro e um rei branco em casas não adjacentes de um tabuleiro de xadrez (8x8)? b) Qual seria a resposta se fossem dois reis brancos iguais?

9. Resolução: 1° caso: rei negro ocupa as casas dos vértices: Rei negro: 4 opções Rei Branco: 60 opções

10. Resolução: 2° caso: rei negro ocupa borda mas não vértice: Rei negro: 24 opções Rei Branco: 58 opções

11. Resolução: 3° caso: rei negro ocupa casa interna: Rei negro: 36 opções Rei Branco: 55 opções

12. Resolução: Portanto, Total = 4 . 60 + 24 . 58 + 36 . 55 = 3.612 b) Agora passa a ser metade da anterior e, Portanto: 1.806

13. Quantos elementos têm o conjunto A, subconjunto do conjunto dos números racionais, onde: • 20 b) 50 c) 63 • d) 83 e) 100

14. Resolução: Fixamos os numeradores com os números naturais de 1 a 10, e depois colocamos os denominadores, de forma que numerador e denominador sejam primos entre si, pois caso contrário, simplificaremos e ficamos com uma com um número racional já contado.

15. Resolução: numerador 1 : 10 possibilidades, todos os números de 1 a 10. numerador 2 : 5 possibilidades, eliminamos os pares. numerador 3 : 7 possibilidades, eliminamos os múltiplos de 3. numerador 4 : 5 possibilidades, eliminamos os pares.

16. Resolução: numerador 5 : 8 possibilidades, eliminamos 5 e 10. numerador 6 : 3 possibilidades, eliminamos os pares ou os múltiplos de 3. numerador 7 : 9 possibilidades, eliminamos 7. numerador 8 : 5 possibilidades, eliminamos os pares.

17. Resolução: numerador 9 : 7 possibilidades, eliminamos os múltiplos de 3. numerador 10 : 4 possibilidades, eliminamos os pares ou os múltiplos de 5.

18. Resolução: • 20 b) 50 c) 63 • d) 83 e) 100

19. (ITA 2001)Considere os números de 2 a 6 algarismos distintos formados utilizando-se apenas 1, 2, 4, 5, 7 e 8. Quantos destes números são ímpares e começam com um dígito par? • 375 b) 465 c) 545 • d) 585 e) 625

20. Resolução: 3 . 3 = 9 2 algarismos : 3 algarismos : 3 . 4 . 3 = 36 4 algarismos : 3 . 4 . 3 . 3 = 108 5 algarismos : 3 . 4 . 3 . 2 . 3 = 216 6 algarismos : 3 . 4 . 3 . 2 . 1 . 3 = 216

21. Resolução: • 375 b) 465 c) 545 • d) 585 e) 625

22. (ITA 2003)O número de divisores de 17.640 que , por sua vez, são divisores por 3 é: • 24 b) 36 c) 48 • d) 54 e) 96

23. Resolução: Para a escolha do expoente: temos 4 possibilidades (0 ou 1 ou 2 ou 3) do 2: do 3: temos só 2 possibilidades pois o número deve ser divisível por 3 (1ou 2) temos, 2 possibilidades (0 ou 1) do 5: temos, 3 possibilidades (0 ou 1 ou 2) do 7:

24. Resolução: Número de “divisores positivos” que são divisíveis por 3 é: 4 . 2 . 3 . 2 = 48 O número de divisores é 96 (48 positivos e 48 negativos). • 24 b) 36 c) 48 • d) 54 e) 96

25. (ITA 2007)Determine quantos números de 3 algarismos podem ser formados com os algarismos 1,2,3,4,5,6, e 7 satisfazendo à seguinte regra: O número não pode ter algarismos repetidos, exceto quando iniciar com 1 ou 2, caso em que o 7 (e apenas o 7 ) pode aparecer mais de uma vez. Assinale o resultado obtido: • 204 b) 206 c) 208 • d) 210 e) 212

26. Resolução: Do enunciado, ou os números tem 3 algarismos distintos, ou o número é 177, ou o número é 277. Assim: 3 algarismos distintos: 7 . 6 . 5 = 210 Portanto, total = 210 +2 = 212 números • 204 b) 206 c) 208 • d) 210 e) 212

27. Um ministro brasileiro organiza uma recepção. Metade dos convidados são estrangeiros cuja língua oficial não é o português e, por delicadeza, cada um deles diz “Bom Dia” a cada um dos outros na língua oficial de quem a se dirige. O ministro responde “Seja Bem Vindo” a cada um dos convidados. Sabendo que no total forma ditos 78 bons dias em português o número de convidados na recepção foi:

28. 9 b) 10 c) 11 • d) 12 e) 13 Resolução: Brasileiros - Brasileiros = n . (n – 1) n . n Estrangeiros - Brasileiros= 2 . n Convidados - Ministro =

29. Resolução:

30. Resolução: • 9 b) 10 c) 11 • d) 12 e) 13

31. Há 4 livros de Matemática, 2 livros diferentes de Química e 5 livros diferentes de Física. De quantas maneiras podemos arrumar esses livros numa prateleira, de modo que os livros de Física fiquem todos separados? • 1.814.400 d) 5.760 • b) 21 e) 34.560 • c) 86.400

32. Resolução: Colocamos em fila os livros de Matemática e de Química deixando os espaços para colocarmos os livros de Física: _M_M_M_M_Q_Q_

33. Resolução: Como os livros de uma mesma disciplinas são diferentes, então devemos multiplicar pelas permutações: Permutações dos livros de Matemática e de Química: P6: 6! = 720 Permutações dos livros de Física: P5: 5! = 120

34. Resolução: • 1.814.400 d) 5.760 • b) 21 e) 34.560 • c) 86.400

35. Um campeonato é disputado por 10 clubes em rodadas de 5 jogos cada. De quantos modos é possível selecionar os jogos da primeira rodada? • 315 b) 925 c) 720 • d) 36.228.800 e) 120

36. Resolução: Selecionar os jogos da primeira rodada é dividir os 10 clubes em 5 grupos de 2. Mas isso pode ser feito, permutando os 10 clubes e dividindo por 5! . (2!)5 .

37. Resolução: • 315 b) 945 c) 720 • d) 36.228.800 e) 120

38. Quantos dados diferentes podemos formar gravando números de 1 a 6 sobre as faces indistinguíveis de um cubo de madeira? Resolução: Façamos de conta que as faces são diferentes e sendo assim: P6 = 6! = 720.

39. Resolução:

40. Resolução: Mas as faces são indistinguíveis e então, por exemplo, 1 na face de cima e 6 na de baixo e igual a 1 na de baixo e 6 na de cima.

41. (ITA 2007) Dentre 4 moças e 5 rapazes deve-se formar uma comissão de 5 pessoas com, pelo menos, 1 moça e 1 rapaz. De quantas formas distintas tal comissão poderá ser formada? Resolução: Do enunciado, para ter, pelo menos uma moça e um rapaz, a comissão formada só não pode ter cinco rapazes. Assim:

42. Resolução:

43. (ITA 2004) Considere 12 pontos distintos no plano, 5 dos quais estão numa mesma reta . Qualquer outra reta do plano contém no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos? • 210 b) 315 c) 410 • d) 415 e) 521

44. Resolução:

45. Resolução: • 210 b) 315 c) 410 • d) 415 e) 521

46. (ITA 2002) Quantos anagramas com 4 letras distintas podemos formar com as 10 primeiras letras do alfabeto e que contenham 2 das letras a,b e c? • 1.692 b) 1.572 c) 1.520 • d) 1.512 e) 1392

47. Resolução: Para escolhermos 4 letras, sem importar a ordem, de modo que contenham duas das letras a, b e c, temos: Como os anagramas são as permutações das 4 letras escolhidas, o número de anagramas é:

48. Resolução: • 1.692 b) 1.572 c) 1.520 • d) 1.512 e) 1392

49. Em uma urna há fichas numeradas de 1 a 10. De quantos modos se podem retirar 3 fichas de modo que a soma dessas fichas não seja menor que 9? • 116 b) 120 c) 87 • d) 88 e) 89

50. Resolução: O número de modos de retirar 3 fichas é: São 4 os grupos de 3 fichas cuja a soma é inferior a 9: