第七章 线性变换

1. 第七章 线性变换 • 学时：22学时。 • 教学手段： • 讲授和讨论相结合，学生课堂练习，演练习题与辅导答疑相结合。 • 基本内容和教学目的： • 基本内容：线性变换的定义、线性变换的运算、线性变换的矩阵；特征值与特征向量；对角矩阵；线性变换的值域与核；不变子空间；若当标准形；最小多项式。 • 教学目的： • 1、理解线性变换的定义与运算。 • 2．掌握线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念。 • 3．了解线性变换的值域与核、不变子空间。 • 4．熟悉若当标准形、最小多项式。 • 本章的重点和难点： • 重点：线性变换的定义与运算，线性变换的矩阵、特征值与特征向量的概念； • 难点：若当标准形、最小多项式。

2. §7.1 线性变换的定义

3. 一. 线性变换的定义及实例 定义1映射 A ：V→V称为线性空间V上的一个变换；V上的变换A 称为线性变换，如果 对任意的α,β∈V, 对任意的k∈P, 1) A (α+β)= A (α)+ A (β)； 2) A (kα)= k A (α). • 本教材一般用花体拉丁字母A ，B，···表示线性变换； • 称如上条件1), 2)为“线性变换保持向量加法和数乘不变”； • 注意与同构映射 f：V→W（V，W为线性空间）的异同之处。

4. 例1S θ：V2→V2 , S θ(α) =α/ (α按逆时针方向旋转θ度得α/ )，（即二维平面上的旋转变换）。 设α,α的坐标分别是 (x, y), ( x/, y/ ), 则. 可以证明， S θ是二维平面V2 上的一个线性变换。证明： 对任意的α,β∈V2 , 设α+β=γ（如图）

5. α/ γ/ β/ kβ/ α γ θ β kβ S θ(α+β) = S θ(γ) =γ/=α/ +β/= S θ(α) + S θ(β) ，S θ(kβ) = kβ/= k S θ(β) . 故S θ是V2 上的线性变换.

6. ζ ke α

9. 例6设V是数域P上的线性空间，k∈P, 定义V上的变换为α→kα (对任意的α∈V )，可以证明该变换为线性变换，称为由数k确定的数乘变换，并用K 表示. 当k = 1时，即为恒等变换，当k = 0时，即为零变换.证明： K 显然是V上的变换. 现仅证其为线性变换. 对任意的α,β∈V , a∈P,K (α+β) = k(α+β) = kα+kβ= K(α)+ K(β)；K (aα) = k (aα) = (ka)α= a(kα) = a K (α).故 K 是V上的线性变换. □

10. 二. 线性变换的基本性质 • A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β)； 2 A (0) = 0, A (－α) = － A (α)； 3. A ( k1α1+ ···+ krαr ) = k1A (α1) +···+kr A (αr)； （保持线性关系不变） 4. α1, ···, αr线性相关，则A α1, ···, A αr线性相关. • 反之，则不一定. 例如零变换 A （α）= 0（α≠0）. 证明： 1. A (aα+ bβ) = A (aα)+ A (bβ) = a A (α)+ b A (β).

11. 2. A (0) = A (0α) = 0 A (α) = 0. A (－α) = A ((－1)α) = (－1) A (α) =－A (α). • 据1，易证该等式成立. • 据题设，存在不全为0的数k1, ···, kr∈P, 使得 k1α1+ ··· + krαr= 0 → 据3. , 2.可知 A ( k1α1+ ··· + krαr ) = k1A (α1) + ··· + kr A (αr) = A (0) = 0， 即A α1, ···, A αr线性相关. • 性质3说明：设β= k1α1+ ··· + krαr → A (β) = A ( k1α1+ ··· + krαr ) = k1A (α1) + ··· + kr A (αr) , 即β与 A (β)具有相同的线性关系.

12. 性质1可修改为如下命题： 5. A 是线性变换的充要条件是： A (aα+ bβ)= a A (α)+ b A (β) 对任意的αβ∈V，a,b ∈ P. 证明： 必要性：即性质1. 充分性：取a = b = 1, 则 A (α+ β)= A (α)+ A (β)； 取a = k, b = 0, 则 A (kα) = A (kα+ 0β) = kA (α)+ 0 A (β) = kA (α)， 故 A 是线性变换. □

13. 7.2 线性变换的运算

14. L ( V ) L(V) = {A │ A : V→V的线性变换} • A : V→V是线性空间V上的一种运动，变化。本节将研究这样的运动、变化之间的运算，联系及进一步的特征性质。 V

15. 一. L(V) 上的加法运算 定义1对任意的A, , B∈L(V), α∈V,规定 (A +B )(α) = A, (α) + B (α) 称为A,与B的和，记为A +B . 命题1对任意的A, , B , C ∈L(V) A +B ∈L(V) , 且具有如下性质： • (A +B ) + C = A +(B + C )； 2. A +B = B + A ； 3.存在O ∈L(V), O +A =A ； • 对任意的A ∈L(V)，存在－A ∈L(V), A +(－A ) =O . • 据4，可定义A －B =A ＋(－B)，故L(V)中有加法的逆运算：减法运算.

16. 证明： 首先要证明A +B ∈L(V)，即证明A +B是V上的变换；且对向量加法和数乘保持不变.

18. 二. L(V)上的乘法运算 定义2对任意的A, , B∈L(V), α∈V,规定 A, B (α) = A, (B (α)) 称A, B是A, 与B 的积，记为A, B . • A, 与B 的乘法即映射的合成. 命题2对任意的A, , B , C ∈L(V) A, B∈L(V), 且具有如下性质： 5. (A, B)C ＝A, (BC ) ； 6. A, (B ＋C ) ＝A, B ＋A, C ； 7. (B ＋C )A,＝B A,＋C A,； 8. EA,＝A,E ＝ A,（为V上的恒等变换）.

19. 证明：首先证明A, B ∈L(V), 即A, B 是上的变换，且保持向量加法，数乘运算不变. 据映射合成即知确为V上的变换.对任意的α,β∈V, k ∈P, A, B (α+β) = A, (B (α+β)) = A, (B (α) +B (β)) = A, (B (α)) +A, (B (β)) = A, B (α) +A, B (β)； A, B (kα) = A, (B (kα)) = A, (kB (α)) = kA, (B (α)) = k A, B (α) . 故 A, B 是V上的线性变换，即A, B ∈L(V). 因一般映射的合成满足结合律，故5.成立. (A, (B ＋ C ))(α) =A, ((B ＋ C )(α)) = A, (B (α) + C (α)) = A, (B (α)) + A, (C (α)) = A, B (α) + A, C (α) = (A, B ＋A, C )(α) → 6.成立. 7. 同上可证明7.成立. 8. 显然成立. □

20. 注: 该命题有以下注意问题

21. 三. L(V)上的数乘运算 定义3设 k∈P, A∈L(V), 对任意的α∈V，规定 (kA)(α) = kA(α) 称kA为k与A 的数量乘法. • 设K 是L(V)中的数乘变换（见前例6，P274例4） → 即K (α) = kα，则(kA)(α) = kA(α) =K A(α) → 即 kA = K A . 所以也可将数乘看成是一种特殊的乘法运算. 本教材即用此定义数乘运算，两种定义方法是一致的. 如上定义2是一种定性描述，而教材定义方式可利用乘法的性质直接推出数乘的性质，使用起来方便.

22. 命题3对任意的k,l∈P, A∈L(V)kA∈L(V), 且具有如下性质： 11. ( k l )A= k (lA ) ； 12. k(A +B ) = kA + kB ； 13. ( k+ l )A = kA+ lA； 14. (kA )B = k(A B ) ； 15. 1A = A . 证明： 仅证11.其它性质类似可证.（ kA∈L(V)证明略） 据kA = K A 可知， ( k l )A = (K L )A = K (L A ) = k (lA ) . (其中用到乘法的结合律成立). □

23. 据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间.据L(V)的加法和数乘及其性质(命题1,3)可知,L(V)关于线性变换的加法和数乘构成数域P上的线性空间. • L(V)上的可逆变换 定义4 变换A : V→V 称为可逆变换，如果存在B : V→V, 使得 A B = BA = E . 这时称B 为A 的逆变换，记为A － 1= B . • B : V→V 即为A : V→V 的逆映射. 命题4 A ∈L(V)，且可逆 A －1∈L(V), 规定: 16. A －n =(A －1)n . • 16. 是一种规定，也可看成是性质. 即将A n中的幂指数扩充到整数范围（n∈Z）. 可以证明幂运算的性质9.10.依然成立.

24. 证明： 证A －1∈L(V), 即证A －1是V上的变换，且保持向量的加法和数乘运算不变. A －1显然是V上的变换，关键证其为线性变换. A －1(α+β) = A －1(A A －1(α) + A A －1(β)) = A －1(A (A －1(α))+ A (A －1(β))) = A －1(A (A －1(α) + A －1(β))) = (A －1A )(A －1(α) + A －1(β)) = A －1(α) + A －1(β). A －1( kα) =A －1(k(A A －1)(α)) =A －1(k(A (A －1(α)))) = A －1(A (kA －1(α)))= (A －1A )(kA －1(α)) = kA －1(α). 故 A －1∈L(V), □

25. 五. 线性变换的多项式

26. 注: 该性质的证明略，注意问题如下:

27. 例1 α(≠0)∈R3, Пα是把向量ζ射到α上的内射影变换，则

28. 分析: 性质1), 2)即7.1节例2.这里仅需证明3),4),5) Пα(ζ) ζ α Пx(ζ) x R x(x)

30. 例21） 线性空间P[λ]n中，求微商是线性变换(P274例5), 显然 D n = 0. 2） 线性空间P[λ]n中，变元的平移变换 S a： P[λ]n→ P[λ]n，a∈P, S a( f (λ)) = f (λ+ a). 易验证S a是线性变换. 据泰勒展开式

31. 以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.以上实例说明，线性变换的一些关系可以通过线性变换之间的运算来表示,从而揭示线性变换的一些内在联系及特征性质.

32. 7.3 线性变换的矩阵

33. 一. 引入概念 • 设V是数域P上n维线性空间，ε1, ε2, ···, εn是V的一组基，A ∈L(V)，则对任意的ξ（∈V）， ξ= x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn , 且其中系数是唯一确定的，称为向量ξ在基ε1, ε2, ···, εn下的坐标. 由于 A ξ= A （ x1ε1+x2ε2+ ···+xnεn） = x1 A （ε1）+x2A （ε2）+ ···+xn A （εn）. → 故A ξ完全由A （ε1）,A （ε2）, ···, A （εn） → 有必要研究基ε1, ε2, ···, εn与其象 A （ε1）, A （ε2）, ···, A （εn）之间的相互联系.从而得到如下结论：

34. 定理1设 ε1, ε2, ···, εn是V 的基 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在唯一的A ∈L(V) , 使得 A εi=αi, i =1, 2, ···, n . • 分析证明思路：1) 存在性： 对任意的α1,α2,···,αn∈V, 存在A ∈L(V) , 使得 A εi=αi, i =1, 2, ···, n (即 P282，2.). 2) 唯一性：若另存在B∈L(V) ,Bεi=αi, i =1, 2, ···, n →A =B (即 P281，1.).

37. 定理意义分析:

39. ξ=x1ε1 + x2ε2 + ··· +xnεn A ξ=x1Aε1 + x2 Aε2 + ··· +xnAεn (2) 设ε1 ,ε2 , ···,εn是V的基，对任意的ξ∈V， A ∈L(V), 由此看出 研究A 的特征，关键在于研究εi与Aεi 的关系, 这里εi, Aεi∈V，i =1,2,···,n

41. A L(V) A Pn×n V的基ε1 ,ε2 ,···,εn下

44. 定理1的意义就在于证明了 是满射，从而是双射.这就为引入如下概念奠定了理论基础.

45. V εm+1 , ···,εn A A W ε1,ε2 , ···, εn · 0

48. 二 的性质

49. L(V)≌Pn×n, 且保持加，减，乘，数乘，可逆性.