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反证法

反证法. 江门市杜阮华侨中学 杨清孟. 回顾基本不等式： (a>0,b>0) 的证明. 证明 : 要证 ; 只需证 ; 只需证 ; 只需证 ; 因为 ; 成立 所以 成立. 证明 : 因为 ; 所以 所以 所以 成立. 分析法. 综合法. 直 接 证 明. 推理、接近、直到. 推理、接近、直到. 综合法 :. 综合法一种 由因导果 的证明方法。. 从 条件 出发， 利用定义、公 理、定理等. 要证明的结论. 分析法 :.

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Presentation Transcript

  1. 反证法 江门市杜阮华侨中学 杨清孟

  2. 回顾基本不等式： (a>0,b>0)的证明. 证明:要证; 只需证; 只需证; 只需证; 因为; 成立 所以 成立 证明: 因为; 所以 所以 所以 成立 分析法 综合法

  3. 直 接 证 明 推理、接近、直到 推理、接近、直到 综合法: 综合法一种由因导果的证明方法。 从条件出发， 利用定义、公 理、定理等 要证明的结论 分析法: 分析法一种执果索因的证明方法。 从要证明的结 论出发 已知的数学 定义、公理、 定理

  4. 路边苦李 小故事 从前有个人叫小王，7岁那年的某一天和小朋友在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小朋友们都跑去摘，只有小王站着没动。他说：“李子是苦的,我不吃。” 直接证明 那么李子究竟是不是苦的? 小朋友摘来一尝，李子果然是苦的,没法吃。 间接证明 小朋友问小王:“这就怪了!你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊?” 小王说:“如果李子是甜的,树长在路边,李子早就没了！李子现在还有那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!” 常用的间接证明方法是:反证法

  5. 从以上例子使我们明白到要证明一个结论成立,除了直接证明的方法,还可以用间接证明的方法去证明,那么在数学结论的证明过程中什么时候才用反证法?反证法的有关概念?从以上例子使我们明白到要证明一个结论成立,除了直接证明的方法,还可以用间接证明的方法去证明,那么在数学结论的证明过程中什么时候才用反证法?反证法的有关概念? 问 题 证明：在一个三角形中至少 有一个角不小于60°. 已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60°

  6. 假设 的三个内角A，B，C都小于60°， 所以 ∠ A60°，∠B 60°， ∠C 60° < < < 三角形内角和等于180° 这与相矛盾. 假设 ∴不能成立，所求证的结论成立. 已知：∠A， ∠ B， ∠ C是△ABC的内角. 求证： ∠ A， ∠ B， ∠ C中至少有一个 不小于60° 证明： ∴ ∠A+∠B+∠C<180°

  7. 归缪矛盾： （1）与已知条件矛盾；（2）与公理、定理、定义矛盾；（3）自相矛盾。 注意：反证法引出矛盾没有固定的模式，需要认真观察、分析，洞察矛盾。 反证法：　　　　　　　　　　　　　假设命题结论不成立（即命题结论的反面成立），经过正确的推理,引出矛盾，因此说明假设错误,从而证明原命题成立,这样的的证明方法叫反证法。 一、反证法的一般步骤： （1）反设：假设命题结论不成立（即假设结论的反面成立）； （2）归缪：从假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）下结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立。

  8. 二、应用反证法的情形： ⑴直接证明困难; ⑵需分成很多类进行讨论． ⑶结论为“至少”、“至多”、“有无穷多个”-类命题； ⑷结论为 “唯一”类命题； 反证法的思维方法：正难则反 三、反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用 的互为否定的表述形式是有必要的， 例如：

  9. 准确地作出反设是反证法证题的前提。 不是 一个也没有 不都是 至少有两个 不大于 至多有(n-1)个 不小于 至少有(n+1)个 存在某x不 成立 非p且非q 存在某x 成立 非p或非q

  10. 假设 不是无理数 练习 1、写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”.(1)证明: 是无理数.(2)互补的两个角不能都大于90°.(3)△ABC中,最多有一个钝角 假设互补的两个角都大于90°. 假设△ABC中,至少有两个钝角

  11. (4)证明:13个人中至少有两个人的生日在同一个月(4)证明:13个人中至少有两个人的生日在同一个月 假设13个人中任何两人都不是同一个月生日 (5)证明:垂直于同一条直线的两个平面互相平行 假设垂直于同一条直线的两个平面不平行

  12. 练习 2、“已知: △ABC中,AB=AC.求证:∠B<90°”.下面写出了用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤.(1)所以∠B+∠C+∠A>180°.这与三角形内角和定理相矛盾.(2)所以∠B<90°. (3)假设∠B≥90°.(4)那么,由AB=AC,得∠B=∠C≥90°.即∠B+∠C≥180°.这四个步骤正确的顺序应是( )A.(1)(2)(3)(4) B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2) D.(4)(3)(2)(1) C

  13. 例1：

  14. 思考？ A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎。则C必定是在撒谎，　为什么？ 分析:假设C没有撒谎, 则C话为真. -- -那么A话为假且B话为假; 由A话为假, 知B话为真. 这与B话为假矛盾. 那么假设C没有撒谎不成立; 则C必定是在撒谎.

  15. 练习:用反证法证明： 如果a>b>0，那么

  16. P66例3 求证： 是无理数。

  17. 堂上练习 1、写出下列命题，用反证法证明的第一步 （1）已知a=b，则a2=b2 （2）三角形最小的角小于或等于600 （3）两条直线相交，只有一个交点 （4）在同一平面内，若一条直线和两条平行线 中的一条相交，那么和另一条也相交 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能 都是锐角三角形

  18. 证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个证明：假设以任意三个点为顶点的三角形都是锐角三角形。记四个 点为A、B、C、D。考虑点D在 之内或之外两种情况。 (1)如果点D在 之内，根据假设， A 都为锐角三角形 所以 D C B 演练反馈 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 这与一个周角为360°矛盾。

  19. A D (1)如果点D在 之外，根据假设， C B 演练反馈 2、平面内有四个点，没有三点共线， 证明：以任意三个点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形 都是锐角三角形，即 这与四边形内角和矛盾。 所以，综上所述，假设不成立，从而题目结论成立。 即这些三角形不可能都为锐角三角形。

  20. 总结提炼 1.用反证法证明命题的一般步骤是什么? ①反设 ②归谬 ③结论 2.用反证法证题,矛盾的主要类型有哪些? 用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自相矛盾等．

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