第六章疑难解答

1. 第六章疑难解答 1. 设映射f : XY, AX, BX . 证明 • (1)f(AB)=f(A)f(B); • (2)f(AB)f(A)f(B). 证明 因为 • yf(AB)xAB使f(x)y • (因为xA或xB) yf(A)或yf(B) •  y f(A)f(B), • 所以 f(AB)=f(A)f(B). • (2)因为 • yf(AB)xAB使f(x)y(因为xA且xB) yf(A)且yf(B) y f(A)f(B), • 所以 f(AB)f(A)f(B).

2. 2. 根据函数极限的定义证明 证明 对于任意给定的e 0, 要使 , 只需|x3|e , 取de , 当0|x3|d时, 就有|x3|e , 即 , 所以 3. 设 , 要使f(x)在(, )内连续, 应怎样选择数a ?

3. 解 要使函数连续, 必须使函数在x0处连续. 因为f(0)a, 所以当a0时, f(x)在x0处连续. 因此选取a0时, f(x) 在(, )内连续. 4. 设 , 求f(x)的间断点, 并 说明间断点所属类形.

4. 解 因为函数f(x)在x1处无定义, 所以x1是函数 的一个间断点. 因为 (提示 ), (提示 ), 所以x1是函数的第二类间断点. 又因为 , 所以x0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.

5. 5. 证明 证明 因为 , 且 , , 所以

6. 6. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l, l)上的, 证明: • (1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数; • (2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数. • 证明 (1)设F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 • F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x), • 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数. • 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 • F(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=-F(x), • 所以F(x)为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.

7. (2)设F(x)=f(x)g(x). 如果f(x)和g(x)都是偶函数, 则 • F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)g(x)=F(x), • 所以F(x)为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数. • 如果f(x)和g(x)都是奇函数, 则 • F(-x)=f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x)=F(x), • 所以F(x)为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数. • 如果f(x)是偶函数, 而g(x)是奇函数, 则 • F(-x)=f(-x)g(-x)=f(x)[-g(x)]=-f(x)g(x)=-F(x), • 所以F(x)为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.

8. 7. 对于数列{xn}若x2ka (k), x2k1a (k), 证明: xna (n). • 证明 因为x2ka (k), x2k1a (k), 所以>0, • K1, 当2k>2K1时, 有| x2ka |<; • K2,当2k+1>2K2+1时, 有| x2k+1a |<.. • 取Nmax{2K1, 2K2+1}, 只要n>N, 就有|xna |< . 因此xna (n).

9. 8. 设映射f : XY, AX . 证明: • (1)f-1(f(A))A; • (2)当f是单射时, 有f-1(f(A))=A . • 证明 (1)因为xA f(x)=yf(A) f -1(y)=xf-1(f(A)), • 所以 f-1(f(A))A. • (2)由(1)知f-1(f(A))A. • 另一方面, 对于任意的xf-1(f(A))存在yf(A), 使f-1(y)=xf(x)=y . 因为yf(A)且f是单射, 所以xA. 这就证明了f-1(f(A))A. 因此f-1(f(A))=A .

10. 9. , 证明 . 并举例说明: 如果数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. • 证明 因为 , 所以>0, NN, 当n>N时, 有, 从而 ||un||a|||una| . • 这就证明了 . • 数列{|xn|}有极限, 但数列{xn}未必有极限. 例如 , 但 不存在.