Стохастические регрессоры

1. Стохастические регрессоры Рассмотрим модель yt = a + bxt + et(1) Предположение:ytи xt – стационарные временные ряды, т.е. случайные величины ytимеют одно и то же распределение (аналогично и xt ). 3 случая: • Регрессоры xtи случайные члены etне коррелируют: Cov(xs, et) = 0  s, t = 1, …,n. • Значения регрессоров xtне коррелированы с et(т.е.в данный момент времени), но коррелируют с ошибками в более ранние моменты времени. Пример: yt = a + b1xt + b2yt-1 +et • Значения регрессоров xt коррелированы с ошибками et .

2. Теорема Пусть xtимеет конечное мат.ожидание и дисперсию. Тогда: оценки параметра b по методу наименьших квадратов являются: • в случае 1 – несмещёнными и состоятельными; • в случае 2 –состоятельными, но смещёнными; • в случае 3 – смещёнными и несостоятельными. Замечание 1.Для случая 2 в выборках большого объёма корреляция регрессора со случайным членом стремится к 0 и асимптотически есть несмещённость оценок. Замечание 2.Аналогичное утверждение верно и для множественной регрессии. Причины коррелированности: а) На случайныйчлен и нарегрессоры воздействуют одни и те же факторы; б) Ошибки при измерении регрессоров

3. Причина а): Вместо модели yt = a + bxt + gut + nt xt = l + dut + zt рассматриваем модель yt = a + bxt + et Пример 1. В пункте А производится сырьё двух видов. Сырьё перевозится в пункт В, где на заводе производится полуфабрикат, который продаётся на завод по цене x. На заводе изготавливается конечный продукт, который перевозится в пункт С и реализуется по цене y. Цены на сырьё меняются и образуют временные ряды z1 и z2.

4. Причина б): Пусть мы имеем искажённые, а не истинные значения x xt* = xt + ut Рассматриваем модель yt = bxt + et = b(xt* - ut) + et = bxt* + (et – but)  Cov(xt*, (et – but)) = -bCov(ut, ut)  0.

5. Оценивание моделей авторегрессии с распределёнными лагами Модель: yt = a + bxt + g yt-1 + et(2) подставимyt-1 = a + bxt-1+ g yt-2 + et-1 в (2)  yt = a(1+g) + bxt + bgxt-1 + g2yt-2 + et + g et –1  yt = a/(1-g) + bxt + b(gxt + g2xt-1 + g3xt-2 + … ) + (et + g et –1 + g2 et –2 + … ) Вывод: модель авторегрессии с распределёнными лагами (2) можно свести к модели Койка Плюс: устранена коррелированность регрессора с ошибками Минус: автокорреляция ошибок имеет сложную структуру Далее: применить нелинейный метод наименьших квадратов

6. Нелинейный метод наименьших квадратов • В множестве возможных значений gвыбираем последовательность gh • Для каждого ghвычисляем xth = xt + (gh xt + gh2 xt-1 + gh3 xt-2 + … ) • МНК оцениваем уравнение yt = a1 + bxth+ ut • Выбираем уравнение с наибольшим R2 Получаем g, a, b.

7. Модель адаптивных ожиданий где yt – фактическое значение результативного признака, x*t+1 – ожидаемое значение факторного признака. Предположение: x*t+1-x*t=a(xt-x*t) или x*t+1=axt+(1-a)x*t a – коэффициент ожиданий

8. Утверждение. Модель адаптивных ожиданий сводится к модели авторегрессии. Док-во: 1) 2) 3) Вычитаем Или где

9. Замечание В полученной модели авторегрессии ADL(0,1) имеется корреляция между лаговой переменной yt-1и случайным членом ut. Дальнейший путь решения: 1) сделать обратное преобразование Койка, 2) применить нелинейный МНК

10. Пример. Модель гиперинфляции Кейгана Yt = log (Mt/Pt) M - номинальное количество денег в обращении, P - уровень цен, M/P - реальные денежные остатки, Ytd - спрос на реальные денежные остатки, xw - ожидаемый уровень инфляции Предположение Кейгана: Ytd=  +  xt+1w + t  xt+1w = (xt - xtw)

11. Модель потребления Фридмена • Изучается зависимость между потреблением и доходом индивидуумов • Yt = Ytp + YtT Ytp - постоянный доход, YtT– переменный доход Сt = Сtp + СtT Сtp - постоянное потребление, СtT– переменное потребление • Предположение Фридмена: имеется пропорциональная зависимость между постоянными составляющими (постоянным доходом и постоянным потреблением) Сtp = b Ytp • Метод инструментальных переменных: подбор новых переменных некоррелирующих со случайным членом Левиатан: использовать фактический доход и потребление на другом временном отрезке

12. Модель потребления Фридмена • Модель адаптивных ожиданий Ytp = l Yt + (1- l ) Yt-1p