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第二十一章 重积分

第二十一章 重积分. 二重积分的概念 直角坐标系下重积分的计算 格林 (Green) 公式 重积分的变量变换 三重积分 重积分的应用. 第二十章 重积分. 一、二重积分的概念. 高. 柱体体积 = 底面积 ×. 一、问题的提出. １．曲顶柱体的体积. 特点 ：平顶. 柱体体积 = ？. 特点 ：曲顶. 曲顶柱体. 求曲顶柱体的体积采用 “ 分割、求和、取极限 ”的方法，如下动画演示．. 播放. 步骤如下：. 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，. 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积，. 曲顶柱体的体积.

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第二十一章 重积分

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Presentation Transcript

  1. 第二十一章 重积分 • 二重积分的概念 • 直角坐标系下重积分的计算 • 格林(Green)公式 • 重积分的变量变换 • 三重积分 • 重积分的应用

  2. 第二十章 重积分 一、二重积分的概念

  3. 高 柱体体积=底面积× 一、问题的提出 １．曲顶柱体的体积 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. 曲顶柱体

  4. 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示． 播放

  5. 步骤如下： 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 曲顶柱体的体积

  6. ２．求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量

  7. 二、二重积分的概念

  8. 面积元素 被积表达式 积分区域 积分变量 被积函数 积分和

  9. 对二重积分定义的说明 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．

  10. D 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D， 则面积元素为 故二重积分可写为

  11. 当 为常数时， 三、二重积分的性质 （二重积分与定积分有类似的性质） 性质１ 性质２

  12. 若 为D的面积， 对区域具有可加性 性质３ 性质４ 性质５ 若在D上 则有 特殊地

  13. 性质６ （二重积分估值不等式） 性质７ （二重积分中值定理）

  14. 解

  15. 解

  16. 解

  17. 解

  18. 四、小结 二重积分的定义 （和式的极限） 二重积分的几何意义 （曲顶柱体的体积） 二重积分的性质 作业: P217: 1, 2, 3, 4, 5.

  19. 思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.

  20. 思考题解答 定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．

  21. 练 习 题

  22. 练习题答案

  23. 第二十章 重积分 二、直角坐标系下重积分的计算

  24. 其中函数 、 在区间 上连续. 如果积分区域为： ［X－型］

  25. 应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法, 得

  26. 如果积分区域为： ［Y－型］

  27. X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点. 若区域如图， 则必须分割. 在分割后的三个区域上分别使用积分公式

  28. 解 积分区域如图

  29. 解 积分区域如图

  30. 解 原式

  31. 解

  32. 解

  33. 解

  34. 解 曲面围成的立体如图.

  35. 二、小结 二重积分在直角坐标下的计算公式 ［X－型］ ［Y－型］ （在积分中要正确选择积分次序） 作业: P222: 1, 2, 3, 4.

  36. 思考题

  37. 思考题解答

  38. 练 习 题

  39. 练习题答案

  40. 第二十章 重积分 三、格林(Green)公式

  41. D D 一、区域连通性的分类 设D为平面区域, 如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区域. 单连通区域 复连通区域

  42. G G G 设空间区域G, 如果G内任一闭曲面所围成的区域全属于G, 则称G是空间二维单连通域; 如果G内任一闭曲线总可以张一片完全属于G的曲面, 则称G为空间一维单连通区域. 一维单连通 二维单连通 一维不连通 二维单连通 一维单连通 二维不连通

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