第 3 章

1. 第 3 章 力学量用算符表达

2. 凡满足下列规则的算符 称为线性算符， ˆ , A 3.1 算符的运算规则 量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如 讨论 量子力学中算符的一般性质: (a)线性算符

3. 其中 和 是任意两个波函数， 与 是两个任意常数（一般为复数）.例如 就是线性算符. 为单位算符 与 两个算符相等 其中, 是任一波函数. 注意 量子力学中的算符并不都是线性算符(例如复 共轭),但刻画可观测量的算符都是线性算符.

4. 对于任意波函数 , 有 (b)算符之和 显然, 算符的求和满足交换律和结合律: 所以, 两个线性算符之和仍为线性算符.

5. 算符 与 之积,记为 ,定义为 任意. 一般说来,算符之积不满足交换律,即 这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处! (c)算符之积

6. 由下列关系式: 概括 量子力学中最基本的对易关系:

7. 对易式(commutator) 定义: 不难证明, 对易式满足下列代数恒等式:

8. 则量子力学中最基本的对易关系可以化成: 角动量对易式 角动量算符: 各分量表为

9. 是一个三阶反对称张量，定义如下： 由代数恒等式, 不难证明 推出 Levi-Civita符号

10. 可以写成 还可以证明: 即角动量各分量的对易式为:

11. 在球坐标系中, 各分量可表示成 定义: 则容易证明:

12. 设 若算符 之逆存在,则 设 与 之逆均存在,则 (d) 逆算符 能够唯一地解出 ,则可以定义算符 之逆 为 并非所有的算符都有逆算符, 例如投影算符就不存在逆.

13. 设给定一函数 , 其各阶导数均存在, 幂级数展开收敛 则可定义算符 的函数 为 可定义 不难看出 算符 的物理意义, 是与体系沿 方向平移 有关的算符. (e)算符的函数 例如

14. 两个(或多个)算符的函数也可类似定义. 令 则 * 定义一个量子体系的任意两个波函数(态) 与 的标积 是指对体系的全部空间坐标进行积分, 是坐标空间体积元.

15. 式中 与 为任意常数. 则可以证明:

16. 算符 的转置算符 定义为 式中 与 是任意两个波函数. (f)转置算符 即

17. 算符 的复共轭算符 定义为 通常算符 的复共轭 ,可如下构成, 即把 的表达 式中所有量换成其复共轭. 算符 的共轭算符的表达式与表象有关. (g)复共轭算符与厄米共轭算符 注意 例如, 在坐标表象中 而在动量表象中

18. 算符 之厄米共轭算符 定义为 由此可得 推出 例如: 可以证明

19. ※ (实)等都是厄米算符. 两个厄米算符之和仍为厄米算符, 但它们的积, 一 般不是厄米算符, 除非 (可对易). (h)厄米算符 满足下列关系的算符 称为厄米算符, 也称为自共轭算符.

20. 在 态下厄米算符 的平均值为 关于厄米算符的重要定理: 定理 体系的任何状态下, 其厄米算符的平均值必为 实数. 证明如下: 逆定理 在任何状态下平均值均为实的算符必为厄米算 符. 实验上可观测量, 当然要求在任何态下平均值都是实数, 因此, 相应的算符必须是厄米算符.

21. 设 为厄米算符, 则在任意态 之下, 推论 以上是关于算符的一般规律和定则, 在接下来的一节中我们将要学习一类特殊的算符-------厄米算符, 及其本征值与本征函数!