代数学

代数学 印度与阿拉伯数学

印度与阿拉伯数学 4.1 印度数学 1921—1922年间．印度河流域莫亨佐·达罗、哈拉帕等古代城市遗址的考古挖掘，揭示了一个悠久的文明，史称“哈拉帕文化”或“印度河流域文化”．这一文明的创造者是印度土著居民达罗毗荼人，其历史可以追溯到公元前3000年左右．如果说希腊数学与其哲学密切相关，那么古代印度数学则更多地受到其宗教的影响．雅利安人建立的婆罗门教(公元4世纪后改革为印度教)，以及稍后(公元前6世纪)兴起的佛教、耆那教等，形成了古代印度数学发展的浓厚的宗教氛围．印度数学的发展可以划分为3个重要时期，首先是雅利安人入侵以前的达罗毗荼人时期(约公元前3000一前1400)，史称河谷文化；随后是吠陀时期(约公元前10世纪一前3世纪)；其次是悉檀多时期(5世纪一12世纪)．

4.1.1古代《绳法经》 印度数学最早有可考文字记录的是吠陀时代，其数学材料混杂在婆罗门教的经典《吠陀》当中，年代很不确定．吠陀即梵文veda，原意为知识、光明。《吠陀》内容包括对诸神的颂歌、巫术的咒语和祭祀的法规等，这些材料最初由祭司们口头传诵，后来记录在棕榈叶或树皮上．这些《吠陀》中关于庙宇、祭坛的设计与测量的部分《测绳的法规》(Sulva sūtrus)，即《绳法经》，大约为公元前8世纪至公元前2世纪的作品．其中有一些几何内容和建筑中的代数计算问题．如勾股定理、矩形对角线的性质等。给出了圆周率、根号2的近似值。耆那教的经典由宗教原理、数学原理、算术和天文等几部分构成。其中出现了许多计算公式，如圆的周长、弧长等。

4.1.2“巴克沙利手稿” 关于公元前2世纪至公元后3世纪的印度数学；可参考资料也很少，所幸于1881年在今巴基斯坦西北地区一座叫巴克沙利(Bakhashali)的村庄，发现了这一时期的书写在桦树皮上的所谓“巴克沙利手稿”．其数学内容十分丰富，涉及到分数、平方根、数列、收支与利润计算、比例算法、级数求和、代数方程等，其代数方程包括一次方程、联立方程组、二次方程．特别值得注意的是手稿中使用了一些数学符号 : （1）减号：“12-7”记成“12 7+”．（2）零号：用点表示0 ，后来逐渐演变为圆圈。

巴克沙利手稿中出现了完整的十进制数码： 有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的数“0”．瓜廖尔数系为：用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素，可以与其他数一起运算．

印度数码在公元8世纪传入阿拉伯国家，后又通过阿拉伯人传至 欧洲．零号的传播则要晚，不过至迟在13世纪初，斐波那契《算经》中已有包括零号在内的完整印度数码的介绍．印度数码和十进位值制记数法被欧洲人普遍接受之后，在欧洲近代科学的进步中扮演了重要的角色． 4.1.3 “悉檀多时期的印度数学” 悉檀多(梵文siddhanta，原为佛教因明术语，可意译为“宗”，或“体系”)时代是印度数学的繁荣鼎盛时期，其数学内容主要是算术与代数，出现了一些著名的数学家，如阿利耶波多(AryabhataⅠ，476一约550)、婆罗摩笈多(Brahmagupta，598—665)、马哈维拉(Mahavira，9世纪)和婆什迦罗(BhaskaraⅡ，1114一约1185)等．

（一）阿耶波多 阿耶波多是现今所知有确切生年的最早的印度数学家，他只有一本天文数学著作《阿耶波多历数书》(499)传世．该书最突出的地方在于对希腊三角学的改进和一次不定方程的解法。阿耶波多把半弦与全弦所对弧的一半相对应(见图)，成为今天的习惯，同时他以半径的作为度量弧的单位，实际是弧度制度量的开始．他还给出了第一象限内间隔为3º45’的正弦差值表．阿耶波多最大贡献是建立了丢番图方程求解的所谓“库塔卡”(kuttaka，原意“粉碎”)方法，采用辗转相除法的演算程序，接近于连分数算法．

(二)婆罗摩笈多 婆罗摩笈多的两部天文著作《婆罗摩修正体系》(628)和《肯德卡迪亚格》(约665)，都含有大量的数学内容，其代数成就十分可贵． ●比较完整地叙述了零的运算法则 ●利用二次插值法构造了间隔为15°的正弦函数表 ●获得了边长为的四边形的面积公式（有误）：实际上这一公式只适用于圆内接四边形，婆罗摩笈多未意识到这一点，后来马哈维拉，由这一公式出发将三角形视为有一边为零的四边形，得到了海伦公式。

(三)马哈维拉 7世纪以后，印度数学出现了沉寂，到9世纪才又呈现出繁荣．如果说7世纪以前印度的数学成就总是与天文学交织在一起，那么9世纪以后发生了改变．耆那教徒马哈维拉的《计算方法纲要》(The Ganita-Sāra-Sangraha)可以说是一部系统的数学专著，全书有9个部分：(1)算术术语，(2)算术运算，(3)分数运算，(4)各种计算问题，(5)三率法(即比例)问题，(6)混合运算，(7)面积计算，(8)土方工程计算，(9)测影计算． ●给出了一般性的组合数公式 ●给出椭圆周长近似公式：

(四)婆什迦罗 婆什迦罗是印度古代和中世纪最伟大的数学家和天文学家，长期在乌贾因负责天文台工作．他有两本代表印度古代数学最高水平的著作《莉拉沃蒂》(Līlāvatī)和《算法本源》，天文著作有《天球》和《天文系统之冠》．《莉拉沃蒂》共有13章：第1章给出算学中的名词术语；第2章是关于整数、分数的运算，包括加、减、乘、除、平方、开平方、立方、开立方等；第3章论各种计算法则和技巧；第4章关于利率等方面的应用题；第5 章数列计算问题，主要是等差数列和等比数列；第6章关于平面图形的度量计算；第7至10章关于立体几何的度量计算；第11章为测量问题；第12章是代数问题，包括不定方程；第13章是一些组合问题． ●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式 ●能够认识并广泛使用无理数

4.2 阿拉伯数学 “阿拉伯数学”并非单指阿拉伯国家的数学，而是指8—15世纪阿拉伯帝国统治下整个中亚和西亚地区的数学，包括希腊人、波斯人和基督徒等所写的阿拉伯文数学著作．在世界文明史上，阿拉伯人在保存和传播希腊、印度甚至中国的文化，最终为近代欧洲的文艺复兴准备学术前提方面作出了巨大贡献．他们掀起了著名的翻译运动：在曼苏尔哈里发时期，婆罗摩笈多等印度天算家的著作在766年左右已传入巴格达，并译成阿拉伯文；8世纪末到9世纪初的兰希哈里发时期，包括《几何原本》和《大汇编》在内的希腊天文数学经典先后被译成阿拉伯文；9世纪最著名翻译家伊本·科拉(Tabit ibn Qorra，836—901)翻译了欧几里得、阿波罗尼奥斯、阿基米德、托勒玫、狄奥多修斯等人的著作；到10世纪丢番图、海伦等人著作也被译成阿拉伯文。

4.2.1 阿拉伯的代数 (一)花拉子米(代数学) 阿拉伯数学的突出成就首先表现在代数学方面．花拉子米(Mohammed ibn Mūsā-Khowarizmi，约783--850)是中世纪对欧洲数学影响最大的阿拉伯数学家，他的《还原与对消计算概要》(约820年前后)一书在12世纪被译成拉丁文，在欧洲产生巨大影响．阿拉伯语“al-jabr”，意为还原移项；“wa’l-muqabala”即对消之意．传入欧洲后，到14世纪“al-jabr”演变为拉丁语“algebra”，也就成了今天的英文“algebra”(代数)，因此花拉子米的上述著作通常就称为《代数学》．书中用代数方式处理了线性方程组与二次方程，第一次给出了一元二次方程的一般代数解法及几何证明，同时又引进了移项、同类项合并等代数运算等等，这一切为作为“解方程的科学”的代数学开拓了道路．

《代数学》约1140年被英国人罗伯特(Robert of Chester)译成拉丁文，作为标准的数学课本在欧洲使用了数百年，引导了16世纪意大利代数方程求解方面的突破. 《代数学》分六章叙述6种类型的一、二次方程求解问题． ▲第1章讨论“平方等于根”的方程，即型方程； ▲第2章讨论“平方等于数”的方程，即型方程； ▲第3章讨论“根等于数”的方程，即一次方程； ▲第4、5、6章是关于三项二次方程求解问题，分别讨论三种类型的二次方程：都给出了相应的求根公式．

花拉子米还指出，任何二次方程都可以通过“还原”与“对消”(即移项与合并同类项)的步骤化成他所讨论的六种类型方程．由此可见，《代数学》关于方程的讨论已超越传统的算术方式，具有明显的代数特征。花拉子米的另一本书《印度计算法》(Algoritmi de numero indorum)也是数学史上十分有价值的数学著作，其中系统介绍了印度数码和十进制记数法，以及相应的计算方法．正是花拉子米的这本书使它们在阿拉伯世界流行起来，更值得称道的是，它后来被译成拉丁文在欧洲传播，所以欧洲一直称这种数码为阿拉伯数码．该书书名全译应为“花拉子米的印度计算法”，其中Algoritmi是花拉子米的拉丁译名，现代术语“算法”(Algorithm)即源于此．

（三）奥马·海亚姆与三次方程 波斯人奥马·海亚姆(Omar Khayyam，1048?—1131)是11世纪最著名且最富成就的数学家、天文学家和诗人。他在代数学方面的成就集中反映于他的《还原与对消问题的论证》(简称《代数学》)一书中，其中有开平方、开立方算法，但该书对代数学发展最杰出的贡献是用圆锥曲线解三次方程．奥马·海亚姆首先将不高于三次的代数方程分为25类(系数为正数)，找到14类三次方程，对每类三次方程给出相应一种几何解法。例如解，首先将其化为 (这里，按照希腊人的数学传统，是线段，正方形，为长方体)。

方程的解就是抛物线 与半圆交点横坐标x．他首先画出正焦弦为c的抛物线，再画出直径为d的半圆过它们的交点作垂线PS，则QS长度就是方程的解．这一创造，使代数与几何的联系更加密切．

4.2.2阿拉伯的三角学与几何学 由于数理天文学的需要，阿拉伯人继承并推进了希腊的三角术，其学术主要来源于印度的《苏利耶历数全书》等天文历表，以及希腊托勒玫的《大汇编》、梅尼劳斯的《球面论》(Sphaerica)等古典著作．对希腊三角学加以系统化的工作是由9世纪天文学家阿尔·巴塔尼(al-Batta ni，858?--929)作出的，而且他也是中世纪对欧洲影响最大的天文学家．其《天文论著》(又名《星的科学》)被普拉托译成拉丁文后，在欧洲广为流传，哥白尼、第谷、开普勒、伽利略等人都利用和参考了它的成果．

在该书中阿尔·巴塔尼创立了系统的三角学术语，如正弦、余弦、正切、余切．他称正弦为ji va，拉丁语译作sinus，后来演变为英语sine；称正切为umbraversa，意即反阴影；余切为umbrarecta，意即直阴影．后来演变拉丁语分别为tangent和cotangent，首见于丹麦数学家芬克(1561—1656)的《圆的几何》(1583)一书中．而正割、余割是阿拉伯另一天文学家艾布·瓦法(Abu'l-Wafa，940—997?)最先引入的．

艾布·瓦法和比鲁尼等人进一步丰富了三角学公式．艾布·瓦法曾在巴格达天文台工作，其重要的天文学著作《天文学大全》继承并发展了托勒玫的《大汇编》。其中除一些精细的三角函数表外，还证明了与两角和、差、倍角和半角的正弦公式等价的关于弦的一些定理，证明了平面和球面三角形的正弦定理．比鲁尼曾经得到马蒙(Ma'mun)哈里发的支持，在乌尔根奇建造天文台并从事天文观测，是一位有146多部著作的多产学者，其《马苏德规律》一书，在三角学方面有一些创造性的工作．他给出一种测量地球半径的方法。

比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的值．比鲁尼还证明了正弦公式、和差化积公式、倍角公式和半角公式，后来阿尔·卡西利用这些公式计算了sinl’的值．如果说希腊以来，三角术仅是天文学的附属的话，那么这种情况在纳西尔·丁那里发生了一些改变．他的天文学著作《伊儿汗天文表》(1271)是历法史上的重要著作，其中测算出岁差51〞／每年，其《天文宝库》则对托勒玫的宇宙体系加以评注，并提出新的宇宙模型。他的《论完全四边形》是一部脱离天文学的系统的三角学专著．该书系统阐述了平面三角学，明确给出正弦定理．讨论球面完全四边形，对球面三角形进行分类，指出球面直角三角形的6种边角关系(C为直角)：

并讨论了解平面和球面斜三角形的一些方法，引入极三角形的概念以解斜三角形．他指出在球面三角形中，由三边可以求三角，反之，由三角可以求三边，这是球面三角与平面三角相区别的一个重要标志．纳西尔·丁的《论完全四边形》对15世纪欧洲三角学的发展起着非常重要的作用．与希腊人三角术的几何性质相比，阿拉伯人的三角术与印度人一样是算术性的．例如由正弦值求余弦值时，他们利用恒等式作代数运算而求解，而不是利用几何关系来推算，这是一种进步．

与阿拉伯人的代数成就和三角学成就相比，阿拉伯人在几何方面的工作主要是对希腊几何的翻译与保存，并传给了欧洲，但希腊几何学对阿拉伯数学的严格性也产生一定的作用，并激发出思想的火花．最重要的例子是他们在评注《几何原本》的过程中，对第五公设引起了注意，不少人试图证明这条公设，如焦赫里(ai-Jawhari，约830)、塔比·伊本，库拉(Thabit ibn Qurra，约826---901)、伊本。海塞姆(Ibn al-Haytham,965—1040?)、奥马，海亚姆以及纳西尔·丁等人。阿拉伯人关于第五公设的这种兴趣与尝试，诱发了后世欧洲学者在这方面的兴趣，对非欧几何的诞生产生了一定的影响．

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