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数理統計学 ( 第五回） 統計的推測とは？

数理統計学 ( 第五回） 統計的推測とは？. 浜田知久馬. 確率分布. 数理統計学で確率分布を勉強． 確率分布は便利 確率分布がわかれば , 様々な事象を確率的に記述できる．（同時 , 周辺 , 条件付） 確率分布は母数によって定まる． 母数をどう求めればよいのか？. 推定の問題. ある目的で , ある確率変数 Y をｎ回観測し , 　標本 Y =(Y 1 , Y 2 , ・・・ , Y ｎ ) を得る . ・標本 Y の分布はある分布族に属している . 　「分布を規定する 母数 は未知である」

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数理統計学 ( 第五回） 統計的推測とは？

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Presentation Transcript

  1. 数理統計学(第五回）統計的推測とは？ 浜田知久馬 数理統計学第５回

  2. 確率分布 数理統計学で確率分布を勉強． 確率分布は便利 確率分布がわかれば,様々な事象を確率的に記述できる．（同時,周辺,条件付） 確率分布は母数によって定まる． 母数をどう求めればよいのか？ 数理統計学第５回

  3. 推定の問題 • ある目的で,ある確率変数Yをｎ回観測し, 　標本Y=(Y1, Y2,・・・, Yｎ)を得る. ・標本Yの分布はある分布族に属している. 　「分布を規定する母数は未知である」 • 「標本Yの実現値ｙに基づいて未知母数の真の値がいくらであるか評価,断定する問題を「推定の問題」という. 数理統計学第５回

  4. ダーウィンの植物の丈のデータ（単位インチ）ダーウィンの植物の丈のデータ（単位インチ） ─────────────────────────────── 　Ｎｏ．自家受精 　他家受精 Ｎｏ．自家受精 　他家受精 ─────────────────────────────── 117.37523.5 916.518.25 220.37512 101821.625 32021 1118.25 23.25 42022 121821 518.37519.125 1312.75 22.125 618.62521.5 1415.523 718.62522.125 151812 815.25 20.375 ─────────────────────────────── 　平均　　17.70820.192 標準偏差　 2.0243.617 ─────────────────────────────── 数理統計学第５回

  5. 数理統計学第５回

  6. 母数推定の前提 自家受精群と他家受精群に別々の正規分布をあてはめ ｎ個（ｎ＝１５）の確率変数Ｙｉが互いに独立に同一の正規分布にしたがう Ｙ１,Ｙ２,Ｙ３,・・・，Ｙｎ ～Ｎ（μ,σ２） i.i.d.（independent identically distributed） 数理統計学第５回

  7. 点推定 • ある未知母数 bの真の値を推定したいという問題を考える． 一つの答え方： • 　観測変数 Yの統計量 t(Y) を一つ用意 • 　観測値がデータ yとして得られたら，そのデータを代入して得られる関数値 t(y) が 　　　「母数 bの真の値である」　と断定 • このような方式を「（点）推定」estimation と言う， 数理統計学第５回

  8. 推定と推定量 • 　推定に使う関数 t(Y) を「推定量」 estimator，データを代入して得られる値 t(y) を「推定値」 estimate という． • 推定の問題において，数理統計学が問題にすることは，どんなやり方が良いかである． • どんな推定量が良い推定量？ 数理統計学第５回

  9. 区間推定 • 別の答え方 • 2つの統計量tL(Y), tU(Y)を用意する. • Yの実現値ｙを得たら,それを代入して得られる値tL(ｙ)～tU(ｙ)の範囲に真の値があるとする. • このような形式を「区間推定」 intervalestimationという. 数理統計学第５回

  10. 良い推定量の規準 • 良さを議論するには規準 criterion が必要 • 一つの視点： 定性的，資格条件を限定しておいて，その中である規準量が最大（あるいは最小）となるものを良いものとする． たとえば？ • 定性的条件：不偏性，線形性 • 定量的規準：分散最小性 • 不偏性とは？分散最小性とは？ 数理統計学第５回

  11. 精度, 偏り，正確さ 不偏で精密偏りあるけど精密 不偏だけど精密でない偏りありかつ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 精密でない 数理統計学第５回

  12. 点推定の良さの基準 • βの推定量ｂがあるとする. • 推定量の良さの基準で最も一般的なのは平均二乗誤差(Mean Square Error：MSE) • MSE=E[(b－β)2] = E[(b－β)2]＝ E[(b－Ｅ[b]－β＋Ｅ[b])2] = E[(b－Ｅ[b])2]+ E[(Ｅ[b]－β)2] +2(Ｅ[b]－β) E[b－Ｅ[b]] 数理統計学第５回

  13. ＭＳＥ MSE=E[(b－Ｅ[b])2]+ E[(Ｅ[b]－β)2] 　　　　　　Ｖ[b]　　　　　　　　ｂｉａｓ 　　　　推定量の分散　推定量の偏り 両方を同時に最適化できるか？ 分散を0　→　常にｂ＝0　　Ｖ[b]=0 数理統計学第５回

  14. 推定での方法論的課題 どんな推定量が良い推定量？ 定性的条件,例えば 　不偏性＝期待値が未知母数に一致 　線形性＝推定量がYの線形式を 　満たすものの中で ある規準量,例えば分散を最小(最良,有効）にするものを良いとする⇒最良線形不偏推定量 数理統計学第５回

  15. 最良線形不偏推定量を求める方法はあるか？ • 一般的な方法はない. 　存在しないことも多い. • 原理的に良い推定量を導きやすい原理は？ 　・最尤法 　・最小2乗法 　・モーメント法 数理統計学第５回

  16. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 数理統計学第５回

  17. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 不偏推定量の分散の下限についての不等式 (不偏推定量の分散はこれより小さくならない） θを不偏推定量とすると V[θ]≧1/I I：フイッシャーの情報量(Fisher information) 等号が成り立つ場合は,不偏推定量の中で 分散が最小（有効）となる. ＾ ＾ 数理統計学第５回

  18. 証明にあたって利用すること ＾ • 不偏推定量の定義　E[θ（Y)]=θ • 確率密度関数の和は１ 　∫ｆ(ｙ,θ) ｄｙ=1 • E[B]=0のとき, E[A・B]=Cov [A,B] ,V[B]= E[B2] 　　　｛Cov [A,B] = E[A・B]－E[A] E[B]｝ 4) 5）微分と積分の交換可能性 6）　Cov [A,B]≦V[A] V[B] 　　相関係数の絶対値は１を越えない 数理統計学第５回

  19. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 不偏であるためにはθが1単位増加すれば期待値も1増加する 数理統計学第５回

  20. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 積分と微分の交換可能性，傾きの期待値は0 θを動かしても確率密度の和は不変 数理統計学第５回

  21. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 数理統計学第５回

  22. クラメル・ラオ(Cramer-Rao)の不等式 不偏推定量θの分散が, V[θ]＝1/I を満たせば, θは 一様最小分散不偏推定量 (Uniformly Minimum Variance Unbiased estimator, UMVU) である. ＾ ＾ ＾ 数理統計学第５回

  23. 2項分布の場合 数理統計学第５回

  24. 2項分布の場合 数理統計学第５回

  25. 最尤法(Maximum Likelihood method） • 確率（密度）関数を未知母数の関数とみなしたものが,尤度(likelihood) • 確率が最大の母数の値は,観測値Yの関数 　これを未知母数の推定量とする. • 最尤法,得られる推定量が最尤推定量 　確率が最大になるように推定 (MLE：Maximum Likelihood Estimator) 数理統計学第５回

  26. 最小二乗法 • 観測変数Yの値と,モデルから予測される差の2乗和を最小にする母数の値を推定量とする方法 Σ（Yi－β0－β1Xi）2 を最小にするようにβ0とβ1を推定 数理統計学第５回

  27. 最小2乗法の模式図 × Y=β0+β1X Ｙ Ｘ Ｘ × × 0 数理統計学第５回 Ｘ

  28. モーメント法 分布のモーメントを,次数の低い方から未知母数の数ｐだけ求め,それを対応する標本モーメントと等しいとおき,母数の推定量を構成する方法を“モーメント法”(momentmethod)という 分布の期待値＝データの平均 E[X]＝μ　：Σｘi／N 分布の２次モーメント＝データの２乗和 E[X2]＝μ2 +σ2 ：Σｘi2／N 数理統計学第５回

  29. 用語 最尤原理（maximum likelihood principle） 最尤法（maximum likelihood method） 最尤推定量（maximum likelihood estimator） 尤度（likelihood) 対数尤度(log likelihood) Fisherの情報量（Fisher's information） 数理統計学第５回

  30. 尤度，最尤推定量，Fisherの情報量 尤度（likelihood) :尤（もっともらし）さの程度 　　　　　　　 を確率で評価した指標 最尤推定量:尤度が最大になるように母数 　　　　 　を推定する原理 Fisherの情報量：最尤推定量の推定精度を 　　　　　　　 測る指標　 数理統計学第５回

  31. 最尤推定の例 コインを10回投げて7回表が出たとする. このような事象が起きる確率は？ 確率分布として 2項分布B(ｎ＝10,π）を仮定すると ｐ＝10Cｙπｙ（1－π）10-ｙ 確率ｐは母数πの関数である.確率を母数の関数と考えたのが尤度（L：likelihood) 確率関数：πを固定したｙの関数 尤度関数： ｙを固定したπの関数 数理統計学第５回

  32. 最らしいπは？ π 確率 1 0.1 0.00001 2 0.2 0.00079 3 0.3 0.00900 4 0.4 0.04247 5 0.5 0.11719 6 0.6 0.21499 7 0.7 0.26683 8 0.8 0.20133 9 0.9 0.05740 数理統計学第５回

  33. 尤度の計算プログラム data q6; do phi=0.10to0.90by0.02; l=10*9*8/(3*2*1)*phi**7*(1-phi)**3; output;end; procgplot; plot l*phi/href=0.7; symbol1i=spline v=none h=4w=4; run; 数理統計学第５回

  34. πの関数の尤度 数理統計学第５回

  35. 最尤推定 尤度(L）を最大にするように母数を求める. 尤度の最大化　⇒　対数尤度の最大化 母数空間の全てのπについてLを計算するか？ 山の頂上では傾き0 対数尤度をπで微分して導関数を求め, 導関数が0になるπを求める. 数理統計学第５回

  36. 西遊記ひたすら西を目指す． 数理統計学第５回

  37. 最尤法ひたすら山の頂上を目指す． 数理統計学第５回

  38. 山の頂上にいるのは？ 数理統計学第５回

  39. 最尤推定量の誘導１ 数理統計学第５回

  40. 最尤推定量の誘導２ 数理統計学第５回

  41. コインを100回投げて70回表が出たときの尤度 数理統計学第５回

  42. 演習問題　ポアソン分布の推測 ポアソン分布の確率関数ｐ(ｘ)は， ｐ(ｘ)＝λｘ・exp(－λ)／ｘ！ となる.λが母数であり，ｘは確率変数の実現値で０、１、２・・・の値をとるものとする． 1)λ＝１のとき，Ｘが１以上の値をとる確率を計算せよ．ヒント　ｅｘｐ（1)=2.718 2)お年玉付年賀状の当たり数がｘ＝5となった.当たり数の分布にポアソン分布を仮定して，このようなデータが得られた場合の尤度と対数尤度を計算せよ． 3)対数尤度を，λで微分せよ．また１次微分関数の値が0になるようにλを求めよ． 数理統計学第５回

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