מתמטיקה ב' לכלכלנים

1. מתמטיקה ב' לכלכלנים שיעור 4 – כלל השרשרת, פונקציות סתומות, משפט אוילר ופולינום טיילור. תיאוריה

2. כלל השרשרת הגענו לחלק הקשה ביותר של הפרק הנוכחי. לפנינו הוכחה חשובה שעלינו להכיר. נפתח אפוא במוטיבציה: לאחר ההוכחה נוכל לפתור את כל בעיות הקירוב הרב ממדיות, נראה לראשונה דוגמאות מעשיות, ונהיה רחוקים רק תת-נושא אחד מסיום אחד מארבעת נושאי הקורס!

3. כלל השרשרת - תזכורת כלל השרשרת החד-ממדי (או – נגזרת של הרכבה) שימש אותנו רבות בקורס הקודם. הגדרה(מתמטיקה א'): תהי g פונקציה גזירה בנקודה x0 ותהי f פונקציה גזירה בנקודה g(x0) אזי: ובכלל זה השתמשנו לחישוב:

4. כלל השרשרת שאיפתנו היא לבצע חישוב כזה ללא הצבה לשם כך עומד לרשותנו המשפט הבא: משפט: אם הנגזרות החלקיות בנקודה של הפונקציה קיימות ורציפות וכן הפונקציות רציפות בנקודה t0. אזי מתקיים שהנגזרת שווה: בנקודה t0.

5. כלל השרשרת נתחיל בהמחשה חישובית: נחשב באמצעות כלל השרשרת:

6. כלל השרשרת כלל השרשרת הרב-ממדי הוא כלי חזק לחישוב שיפוע של פונקציה רב ממדית לאורך מסילה. והוא בא לענות על בעיה דומה. המחשה סיפורית: תל"ג = גודל האוכלוסיה כפול תל"ג לנפש נסמן – גודל האוכלוסיהf(t), תל"ג לנפש g(t), תל"ג h(g,f) היום – כדי לחשב את הנגזרת של h לפי t עלינו להציב.

7. כלל השרשרת תל"ג = גודל האוכלוסיה כפול תל"ג לנפש נסמן – גודל האוכלוסיהf(t), תל"ג לנפש g(t), תל"ג h(g,f) נחשב שוב באמצעות כלל השרשרת:

8. כלל השרשרת הוכחה (לבחינה) כעת ננסח לפי הגדרה את הנגזרת. ונפתח אותה עד שנגיע לתוצאה הרצויה. כעת נשתמש בדיפרנציאביליות כדי לפרק את F לנגזרות חלקיות. הוכחה: נחשב גבול לכל איבר בנפרד. ההוכחה שלפנינו היא בעצם חישוב נוסחא. נפתח בסימנים.

9. כלל השרשרת הוכחה (לבחינה) באופן דומה. הוכחה: לפי דיפרנציאביליות. ומשום שy(t) גזירה. לפי דיפרנציאביליות. ומשום שx(t) גזירה. וקיבלנו כנדרש: Q.E.D

10. הוכחת הנוסחא לנגזרות כיווניות (לבחינה) יש לנו חוב מן העבר: הוכחה (באמצעות כלל השרשרת):

11. הוכחת משפט אוילר בכיוון אחד (לבחינה) ועוד חוב מן העבר: הוכחה (באמצעות כלל השרשרת): נציב t=1 ונקבל:

12. כלל השרשרת – מתי לא אם הפונקציה איננה דיפרנציאבילית אזי לא ניתן להשתמש בכלל השרשרת. נבהיר הערה זו ע"י הדוגמא הבאה. דוגמא: נחשב בנקודה לפונקציה כאשר

13. כלל השרשרת – מתי לא דרך א' ע"י הצבה: נעיר כי הנקודה מתאימה לנקודה על כי - כעת נציב ב- הנתונה ונקבל תזכורת:

14. כלל השרשרת – מתי לא נשים לב כי התוצאה תקפה לכל כולל עבור . כעת נגזור לפי כללי גזירה רגילים של פונק' במשתנה יחיד ונקבל ובפרט

15. כלל השרשרת – מתי לא דרך ב: ע"י כלל השרשרת: כזכור הנקודה מתאימה לנקודה לכן, לפי כלל השרשרת מתקיים נחשב את הנגזרות החלקיות וכן הנגזרות

16. כלל השרשרת – מתי לא לפי הגדרת הנגזרת החלקית מתקיים כמו כן נציב בכלל השרשרת ונקבל התשובה הנכונה היא זו שהתקבלה ע"י הצבה. הטעות בתוצאה השנייה נובעת מהעובדה שהפונקציה הנתונה איננה דיפרנציאבילית בנקודה ולכן השימוש בכלל אסור. תזכורת:

17. הניצב לגרדיאנט עד כה ראינו שהגרדיאנט של פונקציה מתאר את הכיוון שבו השתנות הפונקציה רבה ביותר בטווח הרגעי. אך מה משמעות הכיוון הניצב לגרדיאנט? תשובה מקיפה יותר בשקף הבא...

18. פונקציות סתומות כבר השתכנענו בשימושיותו של כלל השרשרת בהוכחת הנוסחא לנגזרת כיוונית. נראה כעת שימוש לא פחות חשוב. הגדרה: עבור פונקציה רציפה ודיפרנציאבילית: . קבוצת הפתרונות למשוואה נקראת פונקציה סתומה של x.

19. פונקציות סתומות מתי פוגשים פונקציות סתומות בחיים? בגיאומטריה או כאשר מערכת מורכבת נמצאת בשיווי משקל. לעיתים קרובות אנחנו רוצים לדעת מה היא נגזרתה של פונקציה סתומה. למשל: מצא משיק למעגל ברדיוס 5 ליד (3,4). הפונקציה היא: היא סתומה כיוון ש: ואנו מתעניינים בחישוב:

20. פונקציות סתומות הפתרון הנאיבי: נהפוך את הפונקציה לy כתלות בx ונגזור: נציב בנגזרת את הנקודהונקבל. אבל זה הסתדר כי הצלחנו להפוך את הפונקציה הסתומהלמפורשת.

21. פונקציות סתומות הבה נביט בנוסחאת כלל השרשרת בחיפוש אחר פתרון כללי לבעיית הפונקציה הסתומה. אנחנו מחפשים דרך לחישוב . ויש לנו דרגת חופש בבחירת המסילה t. נבחר אפוא – t=(x,fimp(x)) כלומר מסילה ההולכת לאורך הפונקציה הסתומה. בניסוח אחר: t=(x,y)

22. פונקציות סתומות נביט בהצבה: אך אנו יודעים שלאורך מסילה זו – הפונקציה f קבועה. לכן: וקיבלנו:

23. פונקציות סתומות משפט: אם הנגזרות החלקיות בנקודה של הפונקציה קיימות ורציפות וכן אז נגזרתה של הפונקציה הסתומה: היא: בנקודה. כיוון זה הוא הניצב לכיוון הגרדיאנט.

24. פונקציות סתומות המחשה גיאומטרית לפונקציה סתומה: נביט באליפסה: הבה נחשב ישר משיק בנקודה (3,2). לחישוב הישר נשתמש בכל שהוא עובר בנקודה (3,2)

25. פולינום טיילור פולינום טיילור הוא תת נושא העוסק בפונקציות של משתנה אחד. באמצעותו בסופו של דבר נוכל לתחום את איכות הקירוב שלנו עבור פונקציות בשני משתנים. הרעיון הוא לשפר את הקירוב הליניארי שמציעה הנגזרת באמצעות בחינת נגזרות נוספות.

26. פולינום טיילור נביט בהתנהגותו של כדור המושלך מקומה שלישית של בניין. גובה=h זמן= t

27. פולינום טיילור נסתכל כעת על קירוב של תנועת הכדור באמצעות משיק: גובה=h זמן= t

28. פולינום טיילור הקירוב אומנם התחיל טוב, אבל עד מהרה איבד קשר למציאות... נרצה לשפר את הקירוב. באיזו עובדה לא התחשבנו בקירוב הקודם? בכך שהנגזרת גם היא משתנה. כלומר מהירות הכדור.

29. פולינום טיילור נרצה למדוד את קצב שינוי הנגזרת. ולקרב אותה באמצעותו. נסמן את הנגזרת המקורבת: קירוב של הנגזרת הוא:כאשר משתמשים בשיטת הקירוב הליניארית שלמדנו. כעת צריך למצוא מתאימה שנגזרתה תקיים את המשוואה. קיבלנו: המכונה גם טור טיילור מסדר 2 של f בx0.

30. פולינום טיילור נסתכל כעת על הקירוב באמצעות טור טיילור מסדר 2. גובה=h זמן= t אבל זה רק כי הזנחנו התנגדות אוויר... מושלם!

31. פולינום טיילור נחזור על אותו ניסוי הפעם עם התנגדות אוויר. גובה=h זמן= t שוב הקירוב מזייף.

32. פולינום טיילור שוב פעם הקירוב אינו מדוייק. מה יכולנו לפספס? לא התחשבנו בכך שגם קצב השינוי של הנגזרת משתנה בגלל התנגדות האוויר. אולי כדאי להביא גם אותו בחשבון. ננסה לקרב באמצעות הנגזרת השלישית את הנגזרת השניה.

33. פולינום טיילור סימון לנגזרת שלישית ולנגזרות מסדר גבוה בכלל. נרצה למדוד את קצב שינוי הנגזרת השניה. ולקרב אותה. נסמן את הנגזרת המקורבת: קירוב של הנגזרת הוא:כאשר משתמשים בשיטת הקירוב הליניארית שלמדנו. כעת צריך למצוא מתאימה שנגזרתה תקיים את המשוואה הזו ואת משוואת הנגזרת השניה. קיבלנו: המכונה גם טור טיילור מסדר 3 של f בx0.

34. פולינום טיילור הגיע הזמן להכליל: טור טיילור מסדר n של פונקציה f(x) בנקודה x0 מוגדר להיות: אבחנה: עבור מתקיים

35. פולינום טיילור – משפט טיילור אבל כמה טוב הקירוב? לשם כך נתון לנו משפט טיילור: משפט: נסמן השגיאהשל טור טיילור. אז קיים כך שמתקיים ניתן להשתמש בפולינום טיילור גם עבור פונקציה בכמה משתנים. נלמד זאת בפרק הבא.

36. פולינום טיילור – דוגמא שאלה: הערך את באמצעות קירוב טיילור מסדר 3. נרשום טור טיילור:

37. פולינום טיילור – דוגמא שאלה: הערך את באמצעות קירוב טיילור מסדר 3. שאלה: חסום את השגיאה בקירוב. תשובה: לפי משפט טיילור קיים c בקטע [24,25] כך ש:

38. פולינום טיילור – דוגמא שאלה: הערך את באמצעות קירוב טיילור מסדר 3. שאלה: חסום את השגיאה בקירוב. תשובה: לפי משפט טיילור קיים c בקטע [24,25] כך ש:

39. פולינום טיילור – דוגמא שאלה: חסום את השגיאה בקירוב. תשובה: לפי משפט טיילור קיים c בקטע [24,25] כך ש: הערך המכסימלי שפונקציה זו מקבלת בקטע הוא בנקודה 24. כלומר: נקרב באמצעות ערכים שקל לחשב:

40. פולינום טיילור בשני משתנים כשם שרצינו לקרב פונקציות במשתנה אחד טוב יותר מאשר באמצעות הדיפרנציאל (ישר משיק), כך ברצוננו לקרב פונקציות בשני משתנים טוב יותר מאשר באמצעות מישור משיק. במשתנה אחד – פתרנו בעיה זו על ידי טור טיילור: פולינום ש-n נגזרותיו הראשונות מתלכדות עם אלו של הפונקציה בנקודה. נגדיר כעת פולינום טיילור מסדר 2 בשני משתנים. לא נידרש ליותר מכך.

41. פולינום טיילור בשני משתנים טור טיילור מסדר 2 של פונקציה f(x,y) בנקודה x0,y0 מוגדר להיות: אבחנה: כל הנגזרות החלקיות מסדר 2 של קירוב טיילור של פונקציה בשני משתנים זהות לאלו של הפונקציה המקורית.

42. פולינום טיילור בשני משתנים - הצדקה תרגיל: הראה שעבור פונקציה דיפרנציאבילית לכל מסילה מתקיים ולכל פונקציה ולכן נקודה t0מתקיים כי אם נסמן אזי: מסקנה: טור טיילור לפונקציה בשני משתנים הופך לטור טיילור עבור הפונקציה החד ממדית בכל כיוון שנבחר לאחר הצבה מתאימה.

43. סוף פרק I אם ביכולתנו לנבא תופעה במידת קירוב זהה לזו שחושינו יכולים למדוד הרי שדי לנו בכך ונוכל לומר שחזינו אותה. -- הנרי פונקרה