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2. 第三篇：动力学 动力学 Vectorial Dynamics Vectorial Dynamics 导言 introduction 1.质点动力学 Dynamics of a particle/mass point 2.动力学普遍 定理 general(universal) principles 动力学的任务是研究物体的机械运动与作用在物体上的力之间的 关系。 动力学的基本问题大致分为两类：（1）已知运动求力；（2）已知力求运动。 具体学习以下内容：◆　动力学基本方程 质点运动微分方程；◆　普遍定理：动量定理、动量矩定理、动能定理（重点内容）；◆　达朗伯原理：动静法（重点内容）；　　本篇叙述的动力学即矢量动力学，矢量动力学也称作牛顿力学， 是以牛顿动力学基本定律为基础，经过数学演绎，推导出动力学普遍 定理。 3.达朗伯原理 principle of D'Alembert 主页

3. 熟练掌握动力学基本量的计算，熟练掌握三个普熟练掌握动力学基本量的计算，熟练掌握三个普 遍定理的综合应用． 学习目标 课时安排 课内学时：14学时 课外学时：14学时 重点与难点 重点：掌握各种动力学基本量的计算，掌握三个 普遍定理的综合应用。难点：三个普遍定理的"综合应用"。 动力学普遍定理 本章学习指导 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

4. 动力学三个普遍定理是动力学的重点内容，在工程中有广泛的应用。它们从不同的侧面反映了机械运动的规律。正确分析质点系所受外力，熟练计算质点系的动量、动量矩、动能及转动惯量、功是应用普遍定理的关键。（1）动量定理表明动量的变化与外力间的关系，是矢量式，在实际应用时，采用其投影式。质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，它描述质点系质心运动的变化与外力的关系。质点系动量的变化或质心运动的变化与质点系所受外力有关，内力不能改变质点系的动量，亦不能影响质心的运动，因此，应用质点系动量定理或者质心运动定理时只分析质点系所受外力，受力图中只画外力，当外力为零或沿某轴投影为零时，系统动量守恒（或者质心运动守恒）。因此分析外力非常重要。　　另外，注意计算质点系的动量时用到的速度必须是相对于惯性坐标系的所谓绝对速度。　　　　　　动力学三个普遍定理是动力学的重点内容，在工程中有广泛的应用。它们从不同的侧面反映了机械运动的规律。正确分析质点系所受外力，熟练计算质点系的动量、动量矩、动能及转动惯量、功是应用普遍定理的关键。（1）动量定理表明动量的变化与外力间的关系，是矢量式，在实际应用时，采用其投影式。质心运动定理是动量定理的另一种表达形式，它描述质点系质心运动的变化与外力的关系。质点系动量的变化或质心运动的变化与质点系所受外力有关，内力不能改变质点系的动量，亦不能影响质心的运动，因此，应用质点系动量定理或者质心运动定理时只分析质点系所受外力，受力图中只画外力，当外力为零或沿某轴投影为零时，系统动量守恒（或者质心运动守恒）。因此分析外力非常重要。　　另外，注意计算质点系的动量时用到的速度必须是相对于惯性坐标系的所谓绝对速度。　　　　　　 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

5. （2）动量矩定理建立了动量矩的变化与外力矩之间的关系。对于有心力作用的情况和刚体定轴转动动力学问题，用动量矩定理特别有效。和动量定理一样，动量矩定理亦是一矢量式，实际应用时通常使用其投影式。在计算质点系动量矩时，要对质点系内每一个质点，刚体进行计算，然后相加，而且要注意其各部分速度之间的协调关系。定轴转动刚体对转轴的动量矩为Jz ω，形状规则物体的Jz可以通过查表求得，常用刚体转动惯量要熟记，同时掌握平行轴定理的恰当应用，以及回转半径的概念。联合质心运动定理和相对于质心的动量矩定理就能建立刚体平面运动微分方程。前者解决质心的运动问题，后者解决相对于质心的转动问题。工程上的许多动力学问题，特别是具有质量对称平面的平面机构动力学问题，都可以应用平面运动微分方程来解决。应用动量矩定理时也是只分析质点系所受外力，因内力不影响质点系动量矩变化，可不必考虑，受力图中只需画出外力，注意动量矩守恒的条件。　　　 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

6. （3）动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系。动能定理不同于动量定理和动量矩定理。首先它是标量方程式，因此应用时不必定坐标，只要注意功的正负问题。由于动能总是正值，计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和；其次在分析力的功时，不仅要分析外力的功，而且要注意内力的功，因为内力之功的和不一定等于零。对于一般常见力（如重力、弹性力、万有引力、摩擦力及力偶等）的功的计算要熟练掌握；同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零；对理想约束情况，约束力作功之和亦等于零。在此特别指出，轮子作纯滚动时，静滑动摩擦力的功等于零，因为接触点无相对滑动。计算质点系的动能。主要是掌握刚体平动、定轴转动与平面运动时动能的计算公式，对于一些较为复杂的运动，其动能可以利用柯尼克定理来计算。在此强调一点，动能计算中的速度和角速度都是指相对于惯性参考系的绝对速度与绝对角速度（相对于质心的动能则是指相对于过质心的平动参考系的速度和角速度）。（3）动能定理建立的是动能的变化与作用力的功之间的关系。动能定理不同于动量定理和动量矩定理。首先它是标量方程式，因此应用时不必定坐标，只要注意功的正负问题。由于动能总是正值，计算质点系的动能时只须将质点系中各质点及刚体的动能求算术和；其次在分析力的功时，不仅要分析外力的功，而且要注意内力的功，因为内力之功的和不一定等于零。对于一般常见力（如重力、弹性力、万有引力、摩擦力及力偶等）的功的计算要熟练掌握；同时要理解对刚体而言其内力的功的总和恒为零；对理想约束情况，约束力作功之和亦等于零。在此特别指出，轮子作纯滚动时，静滑动摩擦力的功等于零，因为接触点无相对滑动。计算质点系的动能。主要是掌握刚体平动、定轴转动与平面运动时动能的计算公式，对于一些较为复杂的运动，其动能可以利用柯尼克定理来计算。在此强调一点，动能计算中的速度和角速度都是指相对于惯性参考系的绝对速度与绝对角速度（相对于质心的动能则是指相对于过质心的平动参考系的速度和角速度）。 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

7. （4）普遍定理综合应用时，当已知某些主动力求运动时，应（4）普遍定理综合应用时，当已知某些主动力求运动时，应 优先选用动能定理，当已求得速度与位移，或角速度与 角位移（转角）的函数式时，求一次导数就可求得加速 度或角加速度，再配合动量定理或质心运动定理及动量 矩定理，可求得约束反力等其他未知力，这是求解动力 学问题的一个非常有效的方法。 学习方法及注意问题 本章学习指导 动力学普遍定理 general(universal) principles of dynamics §1基本力学量 的计算 calculations of basic mechanics quantities §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

8. center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆质心：质点系的质量分布中心，一般用C表示质心。◆ 质心的位置和质点系各质点的质量分布有关。◆ 质心的位置可用矢径确定如下： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 其中：M ＝∑m k质点系总的质量。 主页

9. center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质心位置也可用直角坐标表示: §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 注意：从上述公式很容易看出，质心和重心在地球表面附近是重 合的，但二者的概念不同，重心只有在地球表面附近有意 义，而质心在宇宙空间依然存在！ synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

10. velocity and acceleration for center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 对质心坐标公式求导一次可得质心的速度，即 ： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

11. velocity and acceleration for center of mass of particle systems 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 对质心坐标公式求导二次可得质心的加速度，即 ： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

12. 我们已熟悉质点的动量为mv ，它是一矢量，如图：而质点系的动量等于质点系内各质点动 量的矢量和（称为动量的主矢量）或等 于质点系的总质量与质心速度的乘积。常用P表示, 即: linear momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

13. 动量是一矢量，它在直角坐标轴上的投影分别为：　　动量是一矢量，它在直角坐标轴上的投影分别为：　　 linear momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 可利用上述公式求质点系的动量主矢量及其在坐标轴 上的投影。 主页

14. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 ◆ 质点的动量矩 principle/theorem of angular momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system ◆ 绕定轴转动刚体对转轴x的动量矩 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

15. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 质点系动量能 动量 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点的动量矩 质点对点的动量矩： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 质点对轴的动量矩： §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

16. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点的动量矩 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 注意：对点的动量矩是矢量，从矩心O 画出，其方位垂直于矢径r 和动量mv 所组成的平面，指向按右手规则确定，对轴的动量矩等于对点的动量矩矢量在相应轴上的投影，对轴的动量矩是代数量（标量）。一般规定：从轴正向看， 逆时针为正，顺时针为负。 可见：对点或轴的动量矩定义完全与力对点之矩和力对轴之矩 类似。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

17. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system ● 质点系对某点的动量矩： §4质点系动能 定理 质点系内各质点对同一点O动量矩的矢量和称为质点系对点O的动量矩；一般用LO表示。 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

18. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点系的动量矩 §3质点系动量 矩定理 ● 质点系对某轴的动量矩: principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 质点系内各质点对某轴的动量矩的代数和称为质点系对该轴的动量矩,一般用Lx、Ly、Lz表示。 即：　　　　　　　　　　　　　 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

19. angular momentum / moment of momentum 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 绕定轴转动刚体对转轴的动量矩 §3质点系动量 矩定理 由动量矩定义很容易得： principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system 即：定轴转动刚体对转轴的动量 矩等于刚体对于该轴的转动 惯量与角速度乘积。 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 其中：JZ 称为刚体对转轴的转动惯量。 主页

20. mass moment of inertia 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 转动惯量的计算： 在计算刚体作定轴转动时的动量矩、动能时都用到了转动惯量 Jz，因此，对于常见的刚体转动惯量计算要熟练。 例如： 1、匀质细杆2、匀质圆盘 3、匀质细圆环4、匀质圆柱体 这些刚体是常见匀质体，其转动惯量计算要记住。 另外，平行轴定理也常用来计算转动惯量。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

21. mass moment of inertia 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 平行轴定理： JZ‘＝JZC＋Md2 其中， Jzc——过质心轴的转动惯量；d——两轴之间的距离；M——总的质量。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

22. mass moment of inertia 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 应用平行轴定理时要注意两点：　　　　① z' //zczc ——通过质心的轴；z'——任一平行于zc的轴。 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system ② 由定理可见 Jz‘ >Jzc　 即：在相互平行的各个轴的所有转动惯量中，通过刚体 质心的轴的转动惯量具有最小值。 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

23. kinetic energy 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 质点的动能：　　　　　　 ◆ 质点系的动能：　　　　 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 即：质点系内各质点动能的算术和称为质点系的动能。 注意：动能是一永远为正的标量，只取决于各质点速度的大小， 而与速度方向无关。 因此计算质点系动能时不必考虑各质点速度的方向， 这给计算带来很大方便。　 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

24. kinetic energy 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system ◆ 刚体的动能:刚体作平动的动能： 刚体绕定轴转动的动能：　 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system 刚体作平面运动的动能：　　　　 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 或者表示为： 其中 JP 为对瞬时轴的转动惯量。 主页

25. 重力的功 弹性力的功 A = ±Ph式中：P——重力；h——重心移动的高度差。 式中: c——弹簧刚度系数； δ1——起始位置弹簧的净变形量；δ2——终了位置弹簧的净变形量； work of force 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 重力的功、弹性力的功 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

26. work of force 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆力偶的功、纯滚动时摩擦力和摩擦力偶的功 §3质点系动量 矩定理 1.力偶的功： A＝Mφ式中　 M——力偶矩（常量）；φ——转过的角度。 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 2.纯滚动时摩擦力和摩擦力偶的功：AF＝0 (∵vP＝0)AM＝ －Mmax θ synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

27. work of force 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system ◆ 力偶的功、纯滚动时摩擦力和摩擦力偶的功 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 即：纯滚动时，滑动摩擦力不作 功；(因为F为静滑动摩擦 力。)若计滚动摩擦力偶， 则滚动摩擦力偶作负功。 一般情况下，由于滚阻较小， 故不考虑滚阻做功。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

28. example1 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 如图所示，求下列各刚体的动量、动量矩、动能。 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

29. example1 动量： 动量矩： 动能： 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system （1）匀质杆，质量为m ，长L， 以角速度ω绕O轴转动。 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

30. example1 o 动量： 动量矩： 动能： 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system （2）质量为m ，半径为R的匀 质圆盘，绕过质心且垂直 于图面的O轴转动。 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

31. example1 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 （３）圆盘绕 0 轴转动。 动量：P＝mvc＝mRω， 方向垂直OC ，指向右方: principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 动量距： §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system （注：这里求Jo时应用了平行轴定理）。　　　 §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 动能： 主页

32. example1 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system （４）轮做平面运动（纯滚动）。 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 动量： §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system 动量矩： §5动力学普遍定 理综合应用 动能： synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

33. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 题：　椭圆规由匀质的曲柄OA、规尺BD 以及滑块B 和D组成，如图所示。已知：规尺BD 长2L，质量是2m1，两滑块的质量是m2，　　　曲柄OA长L，质量是m1。 曲柄以角速度ω绕定轴 O 转动。 求：　 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 ● 整个机构的动量 synthetical\composite examples of principles of dynamics ● 整个机构的动能 主页

34. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 整个机构的动量等于曲柄OA、规尺BD、 滑块B和D的动量矢量和，即：　P＝POA＋PBD＋PB＋PD §3质点系动量 矩定理 ● 整个机构的动量 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

35. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples examples §2质点系动量 定理 ● 整个机构的动量 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 方法一　因为规尺BD和二滑块B和D的质心在A点， 所以这三部分的动量为：PBD＋PB＋PD＝2( m1＋m2 )vA 曲柄OA的质心在其中点E， 所以它的动量为：POA＝m1vE principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

36. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 ● 整个机构的动量 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 由运动学知识可知: 且vA与vE 的方向一致,所以 系统动量的方向与vA相同,其大小为：　 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

37. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动量 §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 方法二　　先求出质心C 的坐标及速度，然后再求系统动量，　由质心坐标公式得： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

38. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动量 §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 上式化简得： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

39. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动量 §2质点系动量 定理 方法二：　　求导一次可得质心速度在X、Y轴上的投影，即： principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

40. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动量 §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 由动量计算公式可得 ： 结果与法一相同。　　　　　　　 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

41. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 ● 整个机构的动能 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 整个机构的动能：　等于曲柄OA、滑块B、D及规尺BD 动能的总和， 即： （1）曲柄作定轴转动，动能： §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

42. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动能 §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system （2）滑块B、D作平动，规尺BD 作平面运动，要求它们的动能， 先要用运动学方法分析速度:　　 因为BD作平面运动，由瞬心 法很容易求出： （即BD杆角速度与OA角速度相同）。 §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

43. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples ● 整个机构的动能 §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 那么，滑块B、D及杆BD的动能为： §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

44. example2 动力学普遍定理 动量矩 动量 质点系动能 general(universal) principles of dynamics linear momentum angular momentum / moment of momentum kinetic energy 质心位置 质心速度 加速度 §1基本力学量 的计算 转动惯量 常见力的功 举例 center of mass of particle systems calculations of basic mechanics quantities velocity and acceleration for center of mass of particle systems mass moment of inertia work of force examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system 注意： 动量、动能都是“瞬时力学量”，用来描述瞬时系统的机械运动量，但是动量是一矢量，不仅要计算其大小，而且方向应在图中画出；而动能是一标量， 只计算其大小。　 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

45. principle/theorem of momentum of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 1、导数形式：dP/dt ＝∑F e　 即： 质点系的动量对时间的导数等于作用于该质点系的 所有外力的矢量和（即外力的主矢量）。　 可见：质点系的内力并不影响质点系动量的改变，只有 外力才是质点系动量变化的原因。 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 相应的投影形式: （应用时常采用的形式） synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

46. principle/theorem of momentum of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 2、积分形式： 　　　　　P2－P1＝∑I e　　 即： 在某一时间间隔内，质点系动量的改变等于作 用于质点系的所有外力在同一时间间隔内冲量的 矢量和。　　 相应的投影形式：　　　　　　　　　　　　　　　 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

47. principle/theorem of momentum of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 3、质点系动量守恒定律　　　　（1）如∑F e≡0，则 P＝常矢量　　　　（2）如∑Fxe ≡0，则 Px＝常量　　 即：如果作用于质点系的所有外力的矢量和等于零，则 该质点系的动量主矢量保持不变；　　　　 如果作用于质点系的所有外力在某坐标轴上投影的 代数和等于零，则该质点系的动量在同一轴上的投 影保持为常量。 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

48. principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system 1、质心运动定理　 质心运动定理是质点系动量定理的另一种形式，可由质点 系动量定理直接导出。　 即将P＝Mvc代入质点系动量定理 dP/dt ＝∑F e， 得：M d vc/dt ＝ ∑F e §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 即： M ac＝ ∑F e 主页

49. principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system M ac＝ ∑F e——称为质心运动定理。　 即：质点系的质量M与质心加速度ac的乘积等于作用于 质点系所有外力的矢量和(外力主矢量)。可见：只有外力才能改变质点系质心的运动。 §3质点系动量 矩定理 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 质心运动定理在直角坐标系上投影形式： principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页

50. principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 动力学普遍定理 质心运动定理及其守恒 general(universal) principles of dynamics principle/theorem of motion of mass center of particle system and conservation 质点系动量定理及其守恒 §1基本力学量 的计算 应用举例 principle/theorem of momentum of particle system and conservation calculations of basic mechanics quantities examples §2质点系动量 定理 principle/theorem of momentum of particle system §3质点系动量 矩定理 2、质心运动守恒　（1）若∑F e ≡0，则ac＝ 0，vc＝ 常矢量　 　　即当外力系主矢量等于零时，质心的加速度等于零， 质心保持静止或作匀速直线运动。　（2）若∑Fxe ≡0，则acx＝ 0，vcx＝ 常量　 　　即当外力系在某轴上投影的代数和等于零时，质心的 加速度在该轴上投影为零，质心沿该轴方向保持静止 或匀速运动。　　这两种情况称为质心运动守恒。 质心运动定理经常用来求约束反力。 principle/theorem of angular momentum of particle system §4质点系动能 定理 principle/theorem of kinetic energy of particle system §5动力学普遍定 理综合应用 synthetical\composite examples of principles of dynamics 主页