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用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题之 ( 五 ) ----- 证明线面平行

用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题之 ( 五 ) ----- 证明线面平行. 惠安三中 洪跃木. 用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题是现阶段的热门话题 。 它可以把一些复杂的证明或计算题用“程序化”的计算来给出解答。. 前段时间我们研究了用空间向量求角 ( 包括线线角、线面角和面面角 ) 、求距离 ( 包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离 ) 和证明垂直 ( 包括线线垂直、线面垂直和面面垂直 ) 。. ↑. →. ↑. ↑. 用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。. C. D. H. B. A. G. E.

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用空间向量证 ( 解 ) 立体几何题之 ( 五 ) ----- 证明线面平行

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Presentation Transcript

  1. 用空间向量证(解)立体几何题之 (五) -----证明线面平行 惠安三中 洪跃木

  2. 用空间向量证(解)立体几何题是现阶段的热门话题 。它可以把一些复杂的证明或计算题用“程序化”的计算来给出解答。 前段时间我们研究了用空间向量求角(包括线线角、线面角和面面角)、求距离(包括线线距离、点面距离、线面距离和面面距离)和证明垂直(包括线线垂直、线面垂直和面面垂直)。

  3. ↑ → ↑ ↑ 用空间向量证明“平行”， 包括线面平行和面面平行。

  4. C D H B A G E F MH∥AB,NG ∥AB MH∥NG AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG 例1.如图：ABCD与ABEF是正方形，CB⊥平面ABEF，H、G分别是AC、BF上的点，且AH=GF. 求证： HG∥平面CBE. M N

  5. C D PH∥CB,PG∥BE 平面HPG∥平面CBE HG∥平面CBE H B A G E F P

  6. C D H 设正方形边长为1, AH=FG=a, 则H(0,1- a , a)、 G(1- a , 1- a,0), B A G E F 故 ,而平面CBE的法向量为 (0,1,0), 故 ,而 平面CBE 故 HG∥平面CBE 证明：由已知得：AB、BC、BE两两垂直，故可建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz. z y o x

  7. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B M是中点，N是中点 MN∥RQ MN∥平面AC 例2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P、Q分别是A1B1和BC上的动点，且A1P=BQ，M是AB1的中点，N是PQ的中点. 求证： MN∥平面AC. R

  8. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A 又NN1、MM1均等于边长的一半 B 故MM1N1N是平行四边形，故MN∥M1N1 MN∥平面AC 作PP1⊥AB于P1，作MM1 ⊥AB于M1，连结QP1， 作NN1⊥ QP1于N1，连结M1N1 NN1∥PP1 MM1∥AA1 N1 P1 M1

  9. D1 C1 A1 B1 P N M C D Q A B 所以向量 (-x, x, 0)，又平面AC的法向量为 (0, 0, 1)，∴ ∴ 又M不在平面AC 内，所以MN∥平面AC 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z 设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2x 则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0) 故N(2-x, 1+x, 1),而M(2, 1, 1) o y x

  10. D1 C1 A1 B1 平行四边形A1BCD1 A1B∥D1C D C 平行四边形DBB1D1 A B B1D1∥BD 例3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求证： 平面A1BD∥平面CB1D1 于是平面A1BD∥平面CB1D1

  11. D1 C1 设正方形边长为1，则向量 A1 B1 D C 设平面BDA1的法向量为 A 则有 B x=1 y=-1 z=-1 x+z=0 x+y=0 令x=1,则得方程组的解为 故平面BDA1的法向量为 证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz z y o x

  12. 同理可得平面CB1D1的法向量为 则显然有 即得两平面BDA1和CB1D1的法向量平行 所以 平面BDA1∥CB1D1 ※例1、2与例3在利用法向量时有何不同？ 通过本例的练习，同学们要进一步掌握平面法向量的求法：即用平面内的两个相交向量与假设的法向量求数量积等于0，利用解方程组的方法求出平面法向量(在解的过程中可令其中一个未知数为某个数)。

  13. D1 G C1 F H A1 B1 E D C AD∥GF，AD=GF A B 平行四边形ADGE AE∥DG 又EH∥B1D1，GF∥B1D1 EH∥GF 例4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是A1B1、B1C1、C1D1、D1A1的中点. 求证： 平面AEH∥平面BDGF 故得平面AEH∥平面BDGF

  14. D1 G C1 H F 则求得平面AEF的法向量为 A1 B1 E 求得平面BDGH的法向量为 D C A B 显然有 z 略证：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz y o x 故 平面AEH∥平面BDGF

  15. 小结： 利用向量的有关知识解决一些立体几何的问题，是近年来很“时髦”的话题，其原因是它把有关的“证明”转化为“程序化的计算” 。本课时讲的内容是立体几何中的证明“线面平行”的一些例子，结合我们以前讲述立体几何的其他问题(如：证明垂直、求角、求距离等)，大家从中可以进一步看出基中一些解题的“套路”。 利用向量解题 的关键是建立适当的空间直角坐标系及写出有关点的坐标。

  16. D1 C1 E A1 B1 P D F C A B 作业： 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是A1D1、BB1的中点，问:在边CC1上是否存在一点P，使AC∥平面EFP？若存在，求出P的位置；若不存在，请说明理由。

  17. P M C D N A B 2.在四棱锥P-ABCD中，底ABCD是正方形， 且PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N分别 是PA、BD上的 动点， 且PM:MA=BN:ND。问：直线MN与平面PBC有什么关系？请证明你的结论.

  18. 谢谢光临 再见 请提意见 电话：13322702081

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