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第四节 空间曲线及其方程

F(x,y,z)=0. z. C. G(x,y,z)=0. y. x. 第四节 空间曲线及其方程. 一 . 空间曲线的一般方程. 空间曲线可以看作是两个曲面的交线 , 设 F(x,y,z)=0 和. G(x,y,z)=0 是两个曲面的方程 . 它们的交线为 C, 则曲线 C. 上的任一点的坐标都满足这两个方程 , 即满足方程组. 反之 , 如果点 M 不在曲线 C 上 , 那么它不可能同时在这两个. 曲面上 , 它的坐标就不满足方程组 (1). 因此曲线 C 可以用. 方程组 (1) 来表示 . 方程组 (1) 就叫做空间曲线 C 的一般方程.

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第四节 空间曲线及其方程

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  1. F(x,y,z)=0 z C G(x,y,z)=0 y x 第四节 空间曲线及其方程 一.空间曲线的一般方程 空间曲线可以看作是两个曲面的交线,设F(x,y,z)=0和 G(x,y,z)=0是两个曲面的方程. 它们的交线为C,则曲线C 上的任一点的坐标都满足这两个方程,即满足方程组

  2. 反之,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在这两个反之,如果点M不在曲线C上,那么它不可能同时在这两个 曲面上,它的坐标就不满足方程组(1).因此曲线C可以用 方程组(1)来表示.方程组(1)就叫做空间曲线C的一般方程. 例5 方程组表示怎样的曲线?

  3. 解: 方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面.其 准线是xoy平面上的圆,圆心在坐标原点,半径为1.方程组 中的第二个方程表示一个平面,它在x轴,y轴和z轴上的截距 依次为3,2,2.如(3,0,0),(0, 2,0),(0,0,2)方程组表示上述圆柱面 与平面的交线.

  4. z o x y z o y x 例6方程组 表示怎样的曲线? 解:方程组中第一个方程表示球心 在坐标原点.半径为a的上半球面. 第二个方程表示母线平行与z轴 的圆柱面.它的准线是xoy平面 上的圆

  5. 这个圆的圆心在点(a/2,0),半径为a/2.方程组表示上述半球面这个圆的圆心在点(a/2,0),半径为a/2.方程组表示上述半球面 与圆柱面的交线.，因为通过空间曲线C的曲面有无限多个, 我们只要任意取两个,把它们的方程联立起来,所得的方程组 都是表示空间曲线C的方程,所以空间曲线的方程不是唯一 的。例如方程组

  6. 例7 一动点与点p(1,2,3)的距离是它到平面x=3的距离的 , 求动点的轨迹方程,并求该轨迹曲面与yoz平面 的交线. 分析: 设空间动点为M(x,y,z),有 点M到平面x=3的距离为|x-3|,根据题意,我们有

  7. 轨迹方程求得,它是一个椭球曲面,其中心在点(0,2,3),三个轨迹方程求得,它是一个椭球曲面,其中心在点(0,2,3),三个 半轴成分别为 与yoz平面的交线为圆

  8. z M o y A M’ x 二. 空间曲线的参数方程 在xoy平面上的平面曲线C可用F(x,y)=0.及参数方程表示. 类似地空间曲线可用参数方程表示. 一般用x=x(t),y=y(t),z=z(t).表示一空间曲线.确定t,就得到 空间的一点(x1,y1,z1),随着t的变动可得到曲线C上的全部 点.方程组叫做空间曲线的参数方程.变量t叫做参数.

  9. 例1 设空间一点M在圆柱面 上以角速度ω绕z轴旋转, 同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其中ω,v 都是常数),试建立点M的轨迹的参数方程. 解:坐标系如图,以时间t为参数.设当t=0时, 动点在A(a,0,0) 点,经过时间t,动点由A点运动到M(x,y,z)点.M点在xoy平面 上的投影M’一定在圆柱面的准线上,它的坐标为(x,y, 0). 由于动点以角速度ω绕z轴旋转,所以∠AoM’=ωt

  10. 由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,所以 z=vt.因此,曲线的参数方程为 x=acosωt,y=asinωt,z=vt. 此曲线称为螺线

  11. 三. 空间曲线在坐标面上的投影 这一部分介绍投影知识在多元积分积分区域中用. 1,投影柱面与投影 给定空间曲线C:

  12. 定义:以C为准线,母线平行于z轴的柱面,叫做C关于xoy的定义:以C为准线,母线平行于z轴的柱面,叫做C关于xoy的 投影柱面,该投影柱面与xoy面的交线称为C在xoy面的投影 曲线 同理可定义C对其它各坐标面的投影柱面及投影. 2. 投影柱面与投影的求法: 设空间曲线C:

  13. 由该方程组消去z,得到方程 H(x,y)=0 (2) 这是一个母线 平行于轴的柱面. 当(x0,y0,z0)满足方程组(1)时,按同样的消元过程得到 H(x0,y0)=0.它必满足方程(2). 即C上所有的点都在方程(2) 所表示的柱面上.即该柱面包含曲线C.因此也包含C的投影 柱面.在一般的情况下,它就是C关于xoy面的投影柱面. 投影柱面H(x,y)=0与xoy平面的交线,叫做曲线在xoy平面上 的投影 (曲线),即投影,其方程为:

  14. 同理由(1)消去x,或y得到柱面R(y,z)=0及T(x,z)=0分别包含同理由(1)消去x,或y得到柱面R(y,z)=0及T(x,z)=0分别包含 C关于yoz平面及xoz平面上的投影柱面. 而方程R(y,z)=0,x=0.和T(x,z)=0,y=0必包含C关于yoz平面 和xoz平面的投影.一般它们就是C在这两个平面上的投影. 曲线C在yoz平面上的投影曲线方程为: 曲线C在yoz平面上的投影曲线方程为:

  15. 例1 已知两球面的方程为 求它们的交线C在xoy平面上的投影方程. 解:

  16. 其在称为椭圆柱面, xoy平面的投影 为椭圆 类似,我们也可以求空间立体在坐标面上的投影(立体是 曲面所围成的).求得曲面交线的投影也就可以确定立体 在坐标面上的投影. 求立体在坐标面上的投影是今后研究重积分所必需的基础. 它的求法是:如果求xoy平面的投影,在方程式中把z消去,再 加上z=0即可. 例2 设有一立体,由上半球面 及锥面 围成

  17. z y x 求其在xoy平面上的投影. 从上面两个方程中消去z就可以得到 为投影柱面 (2)求曲线在xoy平面上的投影曲线为 (3)求所求立体在xoy平面上的投影: 其投影为圆: 在xoy平面上的所围的部分:

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