第五章弯曲应力

第五章弯曲应力 第一节引言第二节纯弯曲时梁横截面上的正应力第三节梁的正应力强度条件第四节梁横截面上的切应力、梁的切应力强度条件第五节梁的合理设计

M FS M s t FS 弯曲应力第一节引言梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称为弯曲正应力与弯曲切应力。

M M M M 1 1 2 2 d d c c a a b b 1 1 2 2 弯曲应力第二节纯弯曲时梁横截面上的正应力 I、试验与假设假设 ②单向受力假设 ①平截面假设中性层：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。中性轴：横截面与中性层的交线。

对称轴 m2 m1 e2 z x O1 O2 中性层 o y y 中性轴 e1 a1 a2 n1 n2 y dx O曲率中心 dq r m2 sy x M e2 M m2 m1 y sL O1 e1 O2 y dq n2 a1 a2 a2' n1 n2 dl dx II、弯曲正应力一般公式弯曲应力 1.几何条件 2.物理条件(虎克定律)

z(中性轴) M O x dA sdA y z y 3.力学条件弯曲应力中性轴通过截面形心 4.纯弯曲梁横截面上的应力(弯曲正应力)： ①距中性层y处的应力 ②梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值，分别为： —抗弯截面模量。

smin M smax smin M smax 弯曲应力 5.横截面上正应力的画法： 6.公式适用范围： ①线弹性范围—正应力小于比例极限sp； ②精确适用于纯弯曲梁； ③对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L/h>5)，上述公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。 III、三种典型截面对中性轴的惯性矩 3.截面为外径D、内径d(a=d/D)的空心圆: 2.实心圆截面 1.矩形截面

I 120 20 II 120 单位：mm 20 例5-1如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B--B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。弯曲应力解： 1．确定截面形心位置选参考坐标系z’oy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为: 2．计算截面惯性矩

弯曲应力 3 计算最大弯曲正应力截面B—B的弯矩为: 在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：

1、强度校核: 2、截面设计: 3、确定梁的许可荷载: 弯曲应力第三节梁的正应力强度条件 ①拉压强度相等材料： ②拉压强度不等材料：根据强度条件可进行：

例5-2 已知16号工字钢Wz=141cm3，l=1.5m，a=1m，[s]=160MPa，E=210GPa，在梁的下边缘C点沿轴向贴一应变片，测得C点轴向线应变 ,求F并校核梁正应力强度。 F A B C NO.16 弯曲应力

x dx 1 2 1' 1 FS FS e2 m m' M+dM M x z t' y y m n x e1 e1 s+ds s A n' m' dx 1' 1 2 1 m y n 1 2 dx A B t' ty 1' 弯曲应力第四节梁横截面上的切应力切应力强度条件一、矩形梁横截面上的切应力 1、公式推导：

b z O h t x tmax O dx y y 例5-3求图示矩形截面梁横截面上的切应力分布。弯曲应力解：将代入切应力公式：切应力t呈图示的抛物线分布，在最边缘处为零在中性轴上最大，其值为： —平均切应力

二、工字形截面梁上的切应力 式中：A为圆环截面面积弯曲应力腹板上任一点处的可直接由矩形梁的公式得出：式中：d为腹板厚度三、薄壁环形截面梁上的切应力假设：1、切应力沿壁厚无变化；2、切应力方向与圆周相切四、圆截面梁上的切应力式中：A为圆截面面积对于等直杆，最大切应力的统一表达式为：

五、梁的切应力强度条件 弯曲应力与正应力强度条件相似，也可以进行三方面的工作： 1、强度校核，2、截面设计，3、确定梁的许可荷载但通常用于校核。特殊的： 1、梁的最大弯矩小，而最大剪力大； 2、焊接组合截面，腹板厚度与梁高之比小于型钢的相应比值； 3、木梁因其顺纹方向的抗剪强度差。需进行切应力强度计算。

40 yc 10 40 C A B 1 M 10 0.25 + FS _ (kN) 0.75 0.5 _ (kN.m) + 0.25 例5-4T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知[s]y=100MPa，[s]L=50MPa，[t]=40MPa，yc=17.5mm，Iz=18.2×104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；2)校核梁的正应力、切应力强度条件。

弯曲应力 该梁满足强度要求

P P D C B B A A l/2 l/2 l/4 l/4 l/4 l/4 M图 M图 + + + Pl/8 Pl/8 Pl/4 q + q B A B A 3l/5 l/5 l/5 ql2/50 ql2/50 l M图 M图 ql2/40 - - ql2/8 弯曲应力第五节梁的合理设计一、合理配置梁的荷载和支座 1、将荷载分散 2、合理设置支座位置

smin smax 二、合理选取截面形状弯曲应力从弯曲强度考虑，比较合理的截面形状，是使用较小的截面面积，却能获得较大抗弯截面系数的截面。在一般截面中，抗弯截面系数与截面高度的平方成正比。因此，当截面面积一定时，宜将较多材料放置在远离中性轴的部位。面积相同时：工字形优于矩形，矩形优于正方形；环形优于圆形。同时应尽量使拉、压应力同时达到最大值。

F A B F B A 三、合理设计梁的外形（等强度梁）弯曲应力梁内不同横截面的弯矩不同。按最大弯矩所设计的等截面梁中，除最大弯矩所在截面外，其余截面的材料强度均末得到充分利用。因此，在工程实际中，常根据弯矩沿梁轴的变化情况，将梁也相应设计成变截面的。横截面沿梁轴变化的梁，称为变截面梁。各个横截面具有同样强度的梁称为等强度梁，等强度梁是一种理想的变截面梁。但是，考虑到加工制造以及构造上的需要等，实际构件往往设计成近似等强的。

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