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复变函数与积分变换. 贾厚玉. mjhy@zju.edu.cn. 第一章 复数与复变函数. 第二章 解析函数. 第三章 复变函数的积分. 第四章 级数. 第五章 留数. 第六章 保角映射. 第七章 Laplace 变换. 第一章 复数与复变函数. 复数及其代数运算. 复数的表示. 复数的乘幂与方根. 复平面点集与区域. 复变函数. 复变函数的极限与连续. 复数及其代数运算. a) 复数:一对有序实数( x, y ),记为 z=x+ i y. 规定:. b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律
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复变函数与积分变换 贾厚玉 mjhy@zju.edu.cn 浙江大学
第一章 复数与复变函数 第二章 解析函数 第三章 复变函数的积分 第四章 级数 第五章 留数 第六章 保角映射 第七章 Laplace变换 浙江大学
第一章 复数与复变函数 复数及其代数运算 复数的表示 复数的乘幂与方根 复平面点集与区域 复变函数 复变函数的极限与连续 浙江大学
复数及其代数运算 a) 复数:一对有序实数(x, y),记为 z=x+ i y 规定: 浙江大学
b) 按上述定义容易验证 加法交换律、结合律 乘法交换律、结合律和分配律 均成立。 浙江大学
c) 共轭复数: 互为共轭复数 容易验证 浙江大学
d) 复平面 一对有序实数(x,y) 平面上一点P 复数 z = x + i y y 实轴、 虚轴、复平面 z = x + i y Z 平面、 w 平面 x O 浙江大学
e) 复数的几种表示法 几何表示:平面上一矢量与一复数z构成一一对应,复 数的加减与矢量的加减一致。 y O x 加法运算 浙江大学
y O x 减法运算 浙江大学
复数的三角形式与指数形式 利用极坐标来表示复数z, 则复数 z 可表示为 三角式: 指数式: 复数的 模 复数的 幅角 浙江大学
讨论: • 复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把 • 的幅角称为Arg z的主值。记为 2)复数“零”的幅角没有意义,其模为零。 3)当 r = 1时,复数z称为单位复数。 利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。 浙江大学
设 定理 y 注意多值性 O x 浙江大学
指数形式表示 推广至有限个复数的乘法 浙江大学
除法运算 或者 浙江大学
例:已知正三角形的两个顶点为 求三角形的另一个顶点。 y O x 浙江大学
复数的乘幂 n个相同复数z的乘积成为z的n次幂 复数的方根 设 为已知复数,n为正整数,则称满足方程 的所有w值为z的n次方根,并且记为 浙江大学
设 则 即 浙江大学
当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根:当k=0,1,2,…,n-1时,得到n个相异的根: 浙江大学
例: 即 浙江大学
复球面与无穷远点 球极平面射影法 N P 取一个在原点O与z平面相切的球面,过O点作z平面的垂线与球面交于N点(称为北极或者球极)。 对于平面上的任一点z,用一条空间直线把它和球极连接起来,交球面于P。 z P 浙江大学
从几何上可以看出: N Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈,这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点,而且若点z的模越大,球面上相应的点则越靠近北极N。 由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点 扩充复平面 = 复平面+ 约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义;另外 等也没有意义。 浙江大学
复平面点集与区域 (1)邻域 (2)去心邻域 (3)内点 点z是点集E的内点 存在z的某个r邻域含于E内,即 (4)外点 点z是点集E的外点 存在z的某个r邻域不含E内的点 浙江大学
(5)边界点 点z 既非 E 的内点,又非 E 的外点 边界点的任一邻域无论多小,都既含有E的内点,又同时含有E的外点。 (6)开集 点集E中的点全是内点 (7)闭集 开集的余集 空集和整个复平面既是开集,又是闭集。 (8)连通集 E中任意两点可以用一条全在E中的曲线连接起来。 (9)区域 非空的连通开集 浙江大学
(10)有界区域 如果存在正数M,使得对于一切D中的点z,有 则称 D为有界区域。 (11)简单曲线、光滑曲线 点集 称为z平面上的一条有向曲线。 浙江大学
简单曲线: 简单闭曲线: 没有交叉点。 光滑曲线: (12)单连通区域 设D为复平面上的区域,若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D,则称D为单连通区域,否则称多连通区域。 浙江大学
平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程(或不等式)来表示;也可以由给定的复数形式的方程(或不等式)来确定所表示的平面图形。 例: Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为 Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为 浙江大学
例: (1)连接z1 和z2两点的线段的参数方程为 (2)过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为 (3)z1、z2,z3 三点共线得充要条件为 浙江大学
例: 考察下列方程(或不等式)在平面上所描绘的几何图形。 (1) 该方程表示到点2i和-2距离相等的点的轨迹,所以方程表示的曲线就是连接点2i 和-2的线段的垂直平分线,它的方程为y = -x。 (2) 设 z = x+ iy, 浙江大学
(3) 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角 的主值,因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴 正向夹角为45度的一条半射线。(不包括 i点) (4) 浙江大学
例: 指出不等式 中点z的轨迹所在范围。 解: 因为 所以 于是有 浙江大学
它表示在圆 外且属于左半平面的所有点的集合 浙江大学
复 变 函 数 复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合,对于 D 中的每一个z,按照一定的规律,有一个或多个复数w的值与之对应,则称w为定义在 D 上的复变函数,记做 单值函数 f(z): 对于D中的每个z,有且仅有一个w与之对应。 多值函数 f(z): 对于D中的每个z,有两个或两个以上 w 与之对应。 浙江大学
我们主要考虑单值函数 定义: f(z)是单射(或一对一映射) 对于任意 f(z)是满射 f(z) 既是单射,又是满射。 f(z)是双射 浙江大学
例: 浙江大学
复变函数的极限与连续 函数的极限 定义:设函数w = f (z)定义在z0的去心邻域 如果有一确定的数A存在,对于任意给定的 相应地必有一正数 使得当 时有 那么称A为f (z) 当z 趋向z0时的极限,记作 浙江大学
几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时,它的几何意义:当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时,它的 象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。 注意:z趋于z0的方式是任意的,就是说,无论z从什么方向,以何种方式趋向于z0,f(z)都要趋向于同一个常数。 关于极限的计算,有下面的定理。 浙江大学
定理一 定理二 浙江大学
例 证明函数 当z趋于0时的极限不存在。 解法一 令z=x+iy, 则 所以极限不存在。 浙江大学
解法2 利用复数的三角表示式 趋于零时,f(z) 趋于不同的值。 当z沿着不同的射线 如 极限不存在。 浙江大学
函数的连续 如果 那么f(z)在z0处连续。 如果 f(z)在D内各点都连续,那么 f(z) 在 D 内连续。 定理: f(z)在z0处连续的充分必要条件是 u(x,y), v(x,y) 在(x0,y0)处连续。 连续函数的四则运算、复合运算都成立。 有界闭区域上的连续函数的最值定理。 浙江大学
例: 例: 研究函数 f(z) = arg z 在复平面上的连续性 故在原点不连续。 因为 不连续,理由是分别从上半平面与下半平面趋于负实轴时,极限值不等。 其余地方均连续。 浙江大学
补充例子 例: 证明:若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0, 则z1,z2,z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。 证明: 由于 所以 z1,z2,z3 位于单位圆上。又 得 即 浙江大学
同理可以得到 得证。 浙江大学
证明 浙江大学