第三章证明 ( 三 )

第三章证明(三) 复习

四边形之间的关系 有一个角是直角有一个角是直角矩形平行四边形有一组邻边相等有一组邻边相等两组对边分别平行菱形四边形等腰梯形一组对边平行另一组对边不平行正方形梯形直角梯形两腰相等腰与底垂直

几种特殊四边形的性质 边角对角线对称性平行四边形对边平行且相等对角相等、邻角互补两条对角线互相平分中心对称既轴对称又中心对称四个角是直角互相平分且相等矩形同上对边平行、四边相等对角相等、邻角互补互相垂直平分且平分对角同上菱形四个角是直角互相垂直平分且相等；平分对角正方形同上同上两底平行不相等，两腰相等不平行。同一底上的两个角相等等腰梯形对角线相等轴对称

几种特殊四边形的常用判定方法 (1) 两组对边分别平行; (2)两组对边分别相等；平行四边形 (3)一组对边平行且相等； (4)两条对角线互相平分； (5) 两组对角分别相等； (1) 有三个直角； (2)是平行四边形.且有一个角是直角；矩形（3）是平行四边形，并且两条对角线相等；（1）四条边都相等; （2）是平行四边形，且有一组邻边相等；菱形（3）是平行四边形，并且两条对角线互相垂直；（1）是平行四边形，有一个角是直角且有一组邻边相等；（2）是矩形，且有一组邻边相等；（3）是菱形，且有一个角是直角；（4）是矩形，对角线互相垂直；（5）是菱形，且对角线相等。正方形等腰梯形（1）是梯形，并且同一底上的两个角相等；（2）是梯形，并且两条对角线相等。

三角形中位线的性质 A D E B C 定理: 三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半. 提示 ∵DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC, 这个定理提供了证明线段平行.和线段成倍分关系的根据.

三角形中位线的性质 A E B H F D C G 模型: 连接任意四边形各边中点所成的四边形是平行四边形. 要重视这个模型的证明过程反映出来的规律:对角线的关系是关键.改变四边形的形状后,对角线具有的关系(对角线相等.对角线垂直,对角线相等且垂直)决定了各中点所成四边形的形状.

试一试 M A F N G E D B C 1.一块方角形钢板,试用一条直线,将其分为面积相等的两部分.(要求:画出直线并标明直线的确切位置)

A D E F M B C 2.连接梯形两腰中点的线段,叫做梯形的中位线.求证,梯形中位线平行于两底,且等于两底和的一半.

A D G H B N C 3.求证,连接梯形两条对角线中点的线段平行于两底,且等于两底差的一半. 提示:连接AG并延长与BC交于点N;

A D E B C F M 4.已知:如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,且AB=AC,BD=BC,AC与BD相交于点E. 求证:CE=CD. 提示:作辅助线,分别过点A,D作AF⊥BC,DM⊥BC,垂足分别是F,M; 由此可得∠DBC=300.

P G A N D 1 B M C 5.如图,在四边形ABCD中,AB=DC,M,N分别是BC和AD的中点,连接MN并延长与BA,CD的延长线分别相交于点G,P. 求证:∠1=∠P. 提示:作辅助线,连接BD,取BD的中点Q,连接MQ,NQ. Q. 则有QM∥DC,QN∥AB. 由∠QNM=∠1,∠QMN=∠P,可得证.

6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上，且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只须说明一组线段相等即可）.6.如图所示，在平行四边形ABCD中.点E、F在对角线AC上，且AE＝CF.请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并说明它和图中已有的某一条线段相等（只须说明一组线段相等即可）. （1）连结____________；（2）猜想:____________＝______________；（3）说明所猜想的结论的正确性. 提示:由于新线段是以点F为一个端点.另一个端点是图中已标明字母的某一点.因此可连BF(或DF).运用三角形全等或平行四边形的特征说明BF＝DE(或DF＝BE).

解:(1)连结BF； (2)猜想:BF＝DE. 解:如图(2)所示.连结DB.DF.BF.DB.AC交于点O 因为四边形ABCD为平行四边形. 则AO＝OC，DO＝OB 又AE＝FC AO－AE＝OC－FC 即EO＝FO 又因为 DO＝OB 则四边形EBFD为平行四边形所以BF＝DE

D E F 练一练 D 1.下列条件能判定一个四边形是平行四边形的是( ) A. 一组对边相等 B. 一组对边平行 C. 两条对角线相等 D.两组对角分别相等 2.以三角形的三个顶点为其中的三个顶点作形状不同的平行四边形，一共可以作出（） A.1个 B．2个 C.3个 D．4个 C

3.下列判定四边形为平行四边形的方法中.错误的是3.下列判定四边形为平行四边形的方法中.错误的是 ( ) A.两组对边分别相等 B.一组对边平行且一组对角相等 C.两组对角分别相等 D.一组对边平行且另一组对边相等 D 4.下列说法正确的是 ( ) A.有一个角是直角的四边形是矩形 B.两条对角线相等的四边形是矩形 C.两条对角线垂直的四边形是矩形 D.两条对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D

C 5.能判定四边形是菱形的条件是（） A.两条对角线相等 B．两条对角线互相垂直 C.邻边相等的平行四边形 D．两条对角线相等且互相垂直 D 6.矩形具有平行四边形不一定具有的性质是 ( ) A.对角相等 B.对角线互相平分 C.对边平行且相等 D.对角线相等

A H E D B o F G C 7.下列命题: (1)顺次连结菱形四边中点所得的四边形是矩形； (2)顺次连结四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. (3)顺次连结平行四边形四边中点所得的四边形是平行四边形. (4)顺次连结矩形四边中点所得的四边形还是矩形．其中错误命题的个数为 ( ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 A

E A D B C 8.过矩形ABCD的一个顶点D作对角线AC的平行线.交BA的延长线于E, 则△DEB是 A．等边三角形 B．等腰三角形 C.不等边三角形 D．直角三角形提示由AB∥CD,DE∥AC得.四边形ACDE是平行四边形因此DE=AC 又∵矩形ABCD中AC=BD ∴BD=DE即△DEB是等腰三角形

A D O B C 9.ABCD的周长为60 cm.对角线交于O.△AOB的周长比△BOC的周长长8 cm.则AB=_____.BC=______ 19 11 提示 AB+OA+OB－(OB+OC+BC)=8 AB+BC=30 AB－BC=8

B A D E C 10.在矩形ABCD中.AB=10cm.AD=5cm.E是CD上的一点.且AE=10cm.则∠CBE等于（）提示 ∵∠D=90ο,AE=10,AD=5 ∴∠AED=30ο ∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB=75ο ∴∠CBE=∠ABC－∠ABE=90ο－75ο=15ο

D A F E B C 11.矩形ABCD中.点E.F分别在边AB.CD上.BF∥DE.若AD=12cmAB=7cm,AE:EB=5:2.则阴影部分EBFD为（）提示 ∵四边形ABCD是矩形.AB∥CD.AB＝CD 又∵DE∥BF ∴四边形BEDF是平行四边形 ∴BE=DF ∵AB=7cm，且AE:EB=5：2， ∴AE=5，EB=2cm ∴阴影部分的面积为2×12=24

D C A E B 12.如果菱形的周长是高的8倍.则菱形的较小的内角的度数为( ). 提示因为 4AD=8DE 所以 DE/AD =1/2 DE是斜边AD的一半.∠A=30度

A D E B C 13.直角三角形斜边上的高和斜边上的中线分别是5cm和6cm.则它的面积是多少？提示 ∵∠ACB=90ο,中线CD=6cm ∴斜边AB=12cm ∵CE⊥AB，CE=5cm ∴△ABC的面积为:12×5÷2=30(cm2)

A D O E B C 14.矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O,AE垂直于BD于E，若∠DAE=3∠BAE，则∠EAC=？提示 ∵四边形ABCD是矩形 ∴OA=OD ∴∠OAD=∠ODA ∵∠DAE=3∠BAE .∠DAE+∠BAE=90ο ∴∠BAE=22.5ο ∴∠ADO=∠BAE=22.5ο ∴∠EAC=90ο－2×22.5ο=45ο

F D A B C E 15.矩形的周长为20cm.一边中点与对边两顶点连线所夹角为直角，求矩形各边的长．提示由题意得△ABE≌ △DCE ∵∠AED=90ο ∴∠EAF=45ο ∵AD∥BC ∴∠AEB=∠EAF=45ο又∠B=90ο ∴AB=10/3(cm) BC=20/3(cm) ∴AB=BE.同理:CD=CE且AB=CD ∴BC=2AB又2AB+2BC=20cm

好好学习 天天向上

第三章 证明 ( 三 )