第六章线性空间与线性变换

第六章线性空间与线性变换 • 第一节线性空间的定义与性质 • 第二节维数、基与坐标 • 第三节基变换与坐标变换 • 第四节线性变换 • 第五节线性变换的矩阵表示式

第一节线性空间的定义与性质 • 6.1.1 线性空间的定义 • 6.1.2 线性空间的性质返回

6.1.1 线性空间的定义 • 定义1设V是一个非空集合，R为实数域，如果对于任意两个元素α，β∈V ，总有唯一的一个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作γ=α+β；又对于任一数λ∈R与任一元素α∈V，总有唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α的积，记作δ=λα；并且这两种运算满足以下八条运算规律（设α，β，γ∈V；λ，μ∈R）：（1）α+β=β+α；

（2）（α+β）+γ=α+（β+γ）； （3）在V中存在零元素；对任何α∈V，都有 α+0=0+α；（4）对任何α∈V，都有α的负元素β∈V，使 α+β=0；（5）1α=α；（6）λ（μα）= （λμ）α；（7）（λ+μ）α= λα+μα；（8）λ（α+β）=λα+λβ. 那么，V就称为（R上的）向量空间（或线性空间），V中的元素称为（实）向量. 返回

6.1.2 线性空间的性质 • 性质1 零元素是唯一的. • 性质2 任意元素的负元素是唯一的. • 性质3 0α=0；（-1）α=-α；λ0=0. • 性质4如果λα=0，则λ=0或α=0.

定义2 设V是一个线性空间，L是V的一个非空子集，如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构成一个线性空间，则称L为V的子空间. • 定理1 线性空间V的非空子集L构成子空间的充要条件是： L对于V中的线性运算封闭. • 例1 次数不超过n的多项式的全体，记作P[x]n，即 P[x]n= 对于通常的多项式加法、数与多项式的乘法构成向量空间.这是因为：通常的多项式加法、数与多项式的乘法两种运算显然满足线性运算规律，故只要验证P[x]n对运算封闭：

（1）加法： （2）数乘：所以P[x]n是一个向量空间. • 例2P[x]n是线性空间P[x]（P[x]是所有一元多项式的集合）的子空间. 返回

第二节维数、基与坐标 • 6.2.1 线性空间的基、维数与坐标 • 6.2.2 应用返回

6.2.1 线性空间的基、维数与坐标 • 定义3 在线性空间V中，如果存在n个元素，满足：（1）线性无关；（2）V中任一元素总可由线性表示. 那么，就称为线性空间V的一个基，n称为线性空间V的维数.只含一个零元素的线性空间没有基，规定它的维数为0.

定义4 设 是线性空间Vn的一个基.对于任一元素 ∈Vn，总有且仅有一组有序数使则这组有序数组就称为元素在这个基下的坐标，并记作返回

6.2.2 应用 • 例1 求在一个基，，下的坐标. • 解：设，即得非齐次线性方程组

由克莱姆法则解得： 即是在基向量下的坐标.

同构： 一般地，设V与U是两个线性空间，如果在它们的元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合的对应（即当α，β∈V且x，y∈R时，若α x 且β y ，有α＋β x＋y和λα λx），那么就说线性空间V与U同构. 返回

第三节基变换与坐标变换 • 6.3.1 基变换与坐标变换的概念 • 6.3.2 应用返回

6.3.1 基变换与坐标变换的概念 • 定义4 设及是线性空间Vn中的两个基，（1）把这n个有序元素记作，利用向量和矩阵的形式，上式可表示为

（2） 或则（1）或（2）称为基变换公式，矩阵P称为由基到基的过渡矩阵.由于线性无关，故过渡矩阵P可逆.

定理2 设Vn中的元素，在基 下的坐标为，在基下的坐标为 .若两个基满足关系式则有坐标变换公式或返回

6.3.2 应用 • 例2 设有两组基，，和，，求由基到基的过渡矩阵. • 解：设由基到基的过渡矩阵为A，基变换为

于是所以返回

第四节线性变换 • 6.4.1 线性变换的概念 • 6.4.2 线性变换的性质返回

6.4.1 线性变换的概念 • 定义5 设有两个非空集合A与B，如果对于A中任一元素α，按照一定的规则，总有B中一个确定的元素β和它对应，那么，这个对应规则称为从集合A到集合B的映射.记作T：β＝T（α）或β＝Tα（α∈A）；β称为α在映射T下的像， α称为β在映射T下的源；A称为映射T的源集，像的全体所构成的集合称为像集，记作T（A），即 T（A）＝｛β＝T（α）|α∈A｝显然 T（A） B.

定义6 设Vn，Um分别是实数域上的n维和m维线性空间，T是一个从Vn到Um的映射，如果映射T满足：（1）任给，（从而），有（2）任给，（从而），有那么，T就称为从Vn到Um的线性映射，或称为线性变换. 特别，如果Vn＝Um，则T是一个从线性空间Vn到自身的线性映射，称为线性空间Vn中的线性映射.

例1 设T是的一个变换，对任意 定义这是的一个线性变换，其几何意义是将向量投影到xoy平面上.此线性变换也称为投影变换. 返回

6.4.2 线性变换的性质 • 性质1T0＝0，T（－α）＝－Tα； • 性质2 若，则； • 性质3 若线性相关，则亦线性相关； • 性质4 线性变换T的像集T（Vn）是一个线性空间（Vn的子空间），称为线性变换T的像空间； • 性质5 使Tα＝0的α的全体 ST＝{α|α∈Vn，Tα＝0} 也是Vn的子空间.ST称为线性变换T的核. 返回

第五节线性变换的矩阵表示式 • 6.5.1 线性变换的矩阵表示式 • 6.5.2 线性变换与矩阵的关系返回

6.5.1 线性变换的矩阵表示式 • 定义7 设T是线性空间Vn中的线性变换，在Vn中取定一个基，如果这个基在变换T下的像（用这个基线性表示）为记，上式可表示为

其中那么，A就称为线性变换T在基下的矩阵. 返回

6.5.2 线性变换与矩阵的关系 • 线性变换与矩阵之间的一一对应的关系：在Vn中取定一个基以后，由线性变换T可唯一的确定一个矩阵A，由一个矩阵A也可以唯一的确定一个线性变换T，这样，在线性变换与矩阵之间就有一个一一对应的关系. • 例1 在上节例1中，T表示向量投影到xoy平面的线性变换，即T（xi＋yj＋zk）＝xi＋yj，（1）取基为I，j，k，求T的矩阵；（2）取基为α＝i，β＝j，γ＝i＋j＋k，求T的矩阵.

解：（1） 即（2）即

定理3 设线性空间Vn中取定两个基 由基到基的过渡矩阵为P，Vn中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B，那么 . • 例2 设中的线性变换T在基下的矩阵为求T在基下的矩阵.

解：用相似关系求线性变换的矩阵.因为 所以过渡矩阵为求得

于是T在基下的矩阵为 返回

第六章 线性空间与线性变换