第五节 函数的连续性

1. 第一章 函数 极限 连续 第五节　函数的连续性

2. 一、连续函数的概念 定义1　设函数 y = f (x) 在x0的一个邻域内有定义， 且 则称函数y = f ( x ) 在 x0处连续，或称x0为函数y = f (x) 的连续点.

3. 　　记x= x -x0，且称之为自变量x 的改变量或增量， 　　记y = f (x) -f (x0) 或y = f (x0+x) -f (x０) 称为函数y = f (x) 在x0 处的增量. 那么函数y = f (x) 在x0 处连续也可以叙述为： 定义2设函数y = f (x) 在x0的一个邻域内有定义， 如果 则称函数y = f (x) 在x0处连续.

4. 若函数y = f (x) 在点x0处有： 则分别称函数y = f (x) 在x0处是左连续或右连续. 　　由此可知，函数y = f (x) 在 x0 处连续的充要条件可表示为： 即函数在某点连续的充要条件为函数在该点处左、右连续．

5. 若函数y = f (x) 在开区间I 内的各点处均连续， 　　　　　　　　　　　　　　若函数y = f (x) 在闭区间[a, b]上连续，则理解为除在(a, b)内连续外， 则称该函数在开区间I 内连续. 在左端点a 为右连续，在右端点b 为左连续. 定义 1 表明，函数在某点连续含有三层意思： 它在该点的一个邻域内有定义，极限存在且极限值等于该点处的函数值.

6. ≤ ≤ ≤ 例1　证明函数 y = sin x在其定义域内连续 . 证　任取 x0  (-,+)，则因  y =f (x0+x) -f (x0) = sin(x0+x) - sinx0 这表明 y = sin x 在 x0 处连续， 由于x0 的任意性可知它在定义域内连续 .

7. 例2 解　因为 所以 f (x) 在 x = 0 处连续.

8. ≤ 例3 证　因为 且 f (0) = 1，即 f (x) 在 x = 0 处左，右连续，所以它在 x = 0 处连续 .

9. 则 在 x0处也连续. 二、连续函数的基本性质 定理1若函数f (x) 和g(x) 均在x0 处连续， 则f (x) +g (x) ， f (x) -g (x)， f (x) · g (x) 在该点亦均连续， 又若g(x0) 0，

10. 证　我们仅证明 f (x) · g (x) 的情形 . 因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续， 所以有 故由极限的运算法则可得 因此 f (x) · g (x) 在 x0 处连续.

11. 定理2设函数y = f (u) 在u0 处连续，函数u =  (x) 在x0处连续，且u0 =  (x0) ，则复合函数f [ (x)] 在x0处连续. 定理3若函数y = f (x) 在某区间上单值、单调且连续， 则它的反函数x = f -1 ( y ) 在对应的区间上也单值、单调且连续，且它们的单调性相同， 即它们同为递增或同为递减. 定理4初等函数在其定义区间内是连续的.

12. 例4 解　因为 arcsin(logax) 是初等函数，且 x = a为它的定义区间内的一点， 所以有

13. 例5 解这是一个 型的极限问题. 应当先将该函数的分子有理化， 再计算极限， 消去为零的因子 x， 即 一般地，

14. 例7 解

15. 例8 解 令x – a t，由 x  a，则 t  0.

16. y = f (x) a O x2 x1 x b 三、闭区间上连续函数的性质 定理5若函数y = f (x) 在闭区间[a, b]上连续, 则 (1)在[a, b]上至少存在一点x1， 使得对于任何x  [a, b]，恒有f (x1) ≥f (x). (2)在[a, b]上至少存在一点x2， 使得对于任何x  [a, b]，恒有f (x2) ≤f (x). y

17. f(x1)， f(x2) 分别称为函数y = f (x) 在区间 [a, b]上的最大值和最小值，定理5 又称最大值和最小值存在定理. 则它在该区间内未必能取得最大值和最小值， 若函数在开区间内连续， 如函数 y = x2 在区间 (0, 1)内就无最大值和最小值.

18. y O x 推论若函数y = f (x) 在闭区间上连续，则它在该区间上有界. 则它在[a,b]内取得介于其最小值和最大值之间的任何数. 定理6若f (x) 在[a, b]上连续， 推论若f(x) 在[a, b]上连续，且f (a) · f (b) < 0， y = f (x) 则至少存在一个c  (a,b)，使得f (c) = 0. a b c

19. 例9　证明方程 x3 - 4x2 + 1 = 0 在 (0, 1) 内至少有一个实根. 证　设 f (x) = x3 - 4x2 + 1，由于它在 [0, 1]上连续且 f (0) = 1 > 0， f (1) = - 2 < 0， 因此由推论可知，至少存在一点 c  (0, 1) ，使得 f (c) = 0. 这表明所给方程在 (0, 1) 内至少有一个实根.

20. 四、函数间断点及其分类 定义设函数y = f (x) 在x0 的一个邻域有定义(在x0 可以没有定义)， 如果函数f (x) 在点x0 处不连续， 则称x0 是函数y = f (x) 的间断点. 也称函数在该点间断.

21. 1.第一类间断点 若x0 为函数y = f (x) 的间断点， 则称x0 为f (x) 的第一类间断点. 即左、右极限都存在的间断点为第一类间断点.

22. y x O 例10证明 x = 0 为函数 证　因为该函数在 x = 0 处没有定义, 所以 x = 0 是它的间断点， 又因为 所以 x = 0 为该函数的第一类间断点 .

23. y 1 2p - 2p - p p O x 例11证明函数 在 x = 0 处是第一类间断点. 证 即该函数在 x = 0 处的左、右极限存在， 但是由于 因此 x = 0 是该函数的第一类间断点. 这类间断点又称为可移去间断点.

24. 1 2p - 2p - p p y O x 因为，如果修改定义 f (0) = 1， 则函数 在 x = 0 连续. 　　所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可移去间断点.

25. 2.第二类间断点 且在该点至少有一个单侧极限不存在， 若 x0 是函数 y = f (x) 的间断点， 　则称 x0 为 f (x) 的第二类间断点. 例如， 故 x = 0 是该函数的间断点. 　　　　　即该函数在 x = 0 处的左、右极限都不存在， 所以 x = 0 是该函数的第二类间断点.

26. 　　　　　　　　　　　　　　　　　的第二类间断点.　　　　　　　　　　　　　　　　　的第二类间断点. 例12证明 x = 1 是 证　所给函数在 x = 1 处没有定义，因此 x = 1 是它的间断点， 又因为 因此， x = 1 为所给函数的第二类间断点．

27. 例13 这个表达式由初等函数表示， 解　当 x  0 时， 所以 f (x) 在 x  0 处是连续的， 又 得知 f (x) 在 x = 0 处连续. 故函数 f (x) 在 ( ， ) 内是连续的.