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源究理论，索求应用。

第三章. 微分中值定理与导数的应用. Differential & Derivative. §3.1 微分中值定理. §3.2 洛必达法则. §3.3 泰勒公式. §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性. §3.5 函数的极值与最大值最小值. §3.6 函数图形的描绘. §3.7 曲率. §3.8 方程的近似解. 源究理论，索求应用。. 一、背景知识. 上一章里，我们从分析实际问题出发，建立了导数的概念，所谓函数在一点处的导数，即函数在该点处的变化率，借助导数的几何意义，我们发现，函数在一点处的导数，正好是曲线在该点处的切线的斜率。

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  1. 第三章 微分中值定理与导数的应用 Differential & Derivative §3.1 微分中值定理 §3.2 洛必达法则 §3.3 泰勒公式 §3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 §3.5 函数的极值与最大值最小值 §3.6 函数图形的描绘 §3.7 曲率 §3.8 方程的近似解 源究理论，索求应用。

  2. 一、背景知识 上一章里，我们从分析实际问题出发，建立了导数的概念，所谓函数在一点处的导数，即函数在该点处的变化率，借助导数的几何意义，我们发现，函数在一点处的导数，正好是曲线在该点处的切线的斜率。 本章我们要利用导数来研究函数及其曲线的某些性质，并利用这些知识来解决一些实际问题。 中值定理(mean value theorem)：关于存在某种性质的中间值的定理。如连续函数的“介值定理”。微分学的基本定理都是以中值定理形式出现的。其中最重要的是拉格朗日定理，它断言，可微函数的平均变化率，必定等于变化区间的某个中间点处的瞬时变化率： 中值定理含：介值定理；微分中值定理；积分中值定理等。

  3. 二、教学计划 1、教学内容及课时安排 ⑴微分中值定理1 学时 ⑵洛必达法则 2 学时 ⑶函数的单调性与极值4 学时 ⑷函数凹凸性与拐点 2 学时 ⑸函数图形的描绘 1 学时 ⑹习题课 2 学时 2、教学重点 ⑴微分中值定理； ⑵洛必达法则； ⑶函数的极值及应用。 ⑷函数图形的描绘

  4. 三、基本要求 1、理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理。 2、了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 3、理解函数的极值概念，并掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。 4、会用导数判断函数图形的凹凸性；会求拐点；会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐近线)；会求最值应用问题。 5、熟练使用洛必达(LHospital)法则求不定式的极限 。 6、了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 7、了解方程近似解的二分法和切线法。

  5. Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics Anhui University of Finance& Economics 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 安徽财经大学 §3.1 微分中值定理 一、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理 四、小结 思考题

  6. 一、罗尔(Rolle)定理 1、问题的提出 ︵

  7. 一、罗尔(Rolle)定理 1、问题的提出 ︵ 2、费马引理

  8. 一、罗尔(Rolle)定理 证:

  9. 一、罗尔(Rolle)定理 3、罗尔定理 证:

  10. 点击图片任意处播放\暂停 一、罗尔(Rolle)定理 例如： ⑵几何解释: ⑶物理解释: 变速直线运动在折返点处，瞬时速度等于零。

  11. 一、罗尔(Rolle)定理 注意：若罗尔定理的三个条件中有一个不满足，其结论可能不成立。 例如, 又例如, 再例如,

  12. 一、罗尔(Rolle)定理 例1 证 由介值定理 即为方程的小于1的正实根. 矛盾,

  13. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 1、拉格朗日中值定理 ⑵几何解释:

  14. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 ⑶定理的证明: 分析： 弦AB方程为 证： 作辅助函数 拉格朗日中值公式 注意：拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系。

  15. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 ⑷微分中值定理来由: 拉格朗日中值公式又称有限增量公式。 拉格朗日中值定理又称有限增量定理，即微分中值定理。 2、定理的推论 推论 证：

  16. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 例2 证

  17. 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 例3 证 由上式得

  18. 三、柯西(Cauchy)中值定理 1、参数方程确定的切线 与这一事实相应的是下面的柯西中值定理

  19. 三、柯西(Cauchy)中值定理 2、柯西中值定理 ⑵几何解释

  20. 三、柯西(Cauchy)中值定理 ⑶定理的证明 证 作辅助函数

  21. 三、柯西(Cauchy)中值定理 例4 证 分析: 结论可变形为

  22. 三、柯西(Cauchy)中值定理 3、三个中值定理的关系 罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系如下： Rolle 定理 Lagrange 中值定理 Cauchy 中值定理 注意：①各定理成立的条件和结论； ②利用中值定理证明等式与不等式的步骤.

  23. §3.1 微分中值定理 一、罗尔定理 四、小结 1、问题的提出 1、各定理成立的条件和结论； 2、三个定理的关系。 2、费马引理 练习：第132-133页 1；5；11（1） ；15 。 3、罗尔定理 二、拉格朗日中值定理 思考题 1、拉格朗日中值定理 试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可. 2、定理的推论 三、柯西中值定理 1、参数方程确定的切线 作业：第132-133页 2；7；8；11（2） ；12 。 2、柯西中值定理 3、三个中值定理的关系

  24. 且 思考题解答 不满足在闭区间上连续的条件； 不满足在开区间内可微的条件； 以上两个都可说明问题.

  25. 练 习 题

  26. 练 习 题

  27. 练 习 题

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