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第十五章 傅里叶级数

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一、 三角级数 正交函数系. 二、以 为周期的函数的傅里叶级数. 第十五章 傅里叶级数. §15.1 傅里叶级数. 三、收敛定理. 一、三角函数 正交函数系. 单的周期运动,可用正弦函数 来描写。. 所表达的周期运动也称为 简谐运动 ,其中 为 振幅 , 为 初相角 ,. 为 角频率 ,于是简谐振动 的周期是. §15.1 傅里叶级数. 在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动,最简. 较为复杂的周期运动,则常是几个简谐振动的叠加. 1. 三角级数.

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一、 三角级数 正交函数系

二、以 为周期的函数的傅里叶级数

  • 第十五章 傅里叶级数

§15.1 傅里叶级数

三、收敛定理

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一、三角函数 正交函数系

单的周期运动,可用正弦函数 来描写。

所表达的周期运动也称为简谐运动,其中 为振幅, 为初相角,

为角频率,于是简谐振动 的周期是

§15.1 傅里叶级数

在科学实验与工程技术的某些现象中,常会碰到一种周期运动,最简

较为复杂的周期运动,则常是几个简谐振动的叠加

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1.三角级数

三角级数

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(4)

定理15.1

若级数

收敛, 则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.

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(5)

2.三角函数系的正交性

构成三角级数的基本要素:

性质:

(7)

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任一个函数平方在

上的积分为不为零.

正交

(8)

具有正交性的三角函数系是正交函数系。

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二、以 为周期的函数的傅里叶级数

(9)

(10a)

定理15.2

若在整个数轴上

且等式右边级数一致收敛

(10b)

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证:

由定理的条件, f(x)在[-π, π]上连续且可积, 对(9)式逐项积分, 得

以coskx乘(9)式两边, 得

同理可得:

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若 是以 为周期且在 可积的函数, 则称按上述公式确定的 和 为 的傅里叶系数, 相应的三角级数称为 的傅里叶级数, 记作

定理15.2

若在整个数轴上

(9)

且右边的级数一致收敛, 则有以下关系式:

(10a)

(10b)

(11)

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定义:若 的导函数 在 上连续,则称 在 上光滑。

若函数 在 上至多有有限个第一类间断点,且 仅在 上

有限个点处不连续且为第一类间断点, 则称 是 上的按段光滑函数。

设函数 在区间 是按段光滑,则

三、收敛定理

1. 按段光滑函数:

按段光滑函数的性质:

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注:

(1) 收敛定理只是对周期函数而言的;

(2) 若f(x)为以2π的周期函数,则有

(3) 具体讨论函数的傅里叶展开式时,常只给出函数在一个周期的表达式,此时要把其视为在整个数轴上的周期函数

(4)

当只给出一个周期的表达式时,傅里叶级数在两端点的值

可用 上述公式求之.

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例1:设

求 的傅里叶级数展开式.

显然 是按段光滑的,故由收敛定理,它可以展开成傅里叶级数。

解:

由于

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例2 把下列函数展开成傅里叶级数

解:

及其周期延拓的图形如图所示,显然 是按段光滑的,

因此它可以展开成傅里叶级数。

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由 或 都可推得

所以

(1)

所以

因此

(2)

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