§7-5 对角矩阵

1. §7-5 对角矩阵 可以对角化的定义 设σ是数域Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ的一个线性变换，如果存在Ｖ的一个基，使得σ关于这个基下的矩阵是对角矩阵，那么就说线性变换σ可以对角化。 设Ａ是数域Ｆ上一个ｎ阶矩阵，如果存在Ｆ上一个ｎ阶可逆矩阵Ｔ，使得 Ｔ-1ＡＴ为对角矩阵，（即Ａ可相似于对角形矩阵）那么就说矩阵Ａ可以对角化。

2. ◆σ可以对角化的第一个充要条件是Ｖ中存在由σ的特征向量所组成的基。而Ａ可以对角化的第一个充要条件是Ｆn中存在由Ａ的特征向量所组成的基。◆σ可以对角化的第一个充要条件是Ｖ中存在由σ的特征向量所组成的基。而Ａ可以对角化的第一个充要条件是Ｆn中存在由Ａ的特征向量所组成的基。 Theorem7.设A是线性空间V的线性变换,A的矩阵在某一组基下为对角矩阵的充分必要条件是,A有n个线性无关的特征向量.

3. ◆σ可以对角化的第二个充要条件 Theorem8◇线性变换σ的属于不同特征根的特征向量线性无关。 ◇线性变换σ属于特征根λ的特征子空间 Ｖλ＝｛ξ∈Ｖ│σ（ξ）＝λξ｝ 是一个线性子空间，而且在σ之下不变。 此外，如果λ是ｒ重的（即λ是ｆσ(λ） 的 ｒ重根），那么 ｄｉｍ Ｖλ≤ｒ。

4. ◇线性变换σ的属于不同特征根的特征子空间之和是直和，且在σ之下不变。 关于证明，也可以这样考虑：由 6.3.1 可推出属于不同特征根的特征向量之和 一定不是特征向量。因此，若ξ≠０且 ξ∈Ｖλi ∩（Ｖλ1＋…＋Ｖλi-1＋Ｖλi+1＋…＋Ｖλt） 则ξ既是特征向量又不是特征向量，矛盾。

5. ◇Ｆ上ｎ维向量空间Ｖ的一个线性变换σ可以对角化的充要条件： (i) σ的特征多项式的根都在Ｆ内； (ii) 对于σ的特征多项式的每一根λ，特征子空间Ｖλ的维数等于λ的重数.

6. ◇Ｆ上ｎ阶矩阵Ａ可以对角化的充要条件： • Ａ的特征根都在Ｆ内； • 对于Ａ的每一特征根λ， • 秩（λE－Ａ）＝ｎ－ｓ • （ｓ为λ的重数）

7. 注意:因为σ的特征根一定在Ｆ内,所以只能说σ的特征多项式的根都在Ｆ内;而Ａ的特征根是特征多项式ｆA(ｘ)的复根，不一定都在Ｆ内，所以可以用上述 说法，也可以说成Ａ的特征多项式的根都在Ｆ内。至于 (ii)，如果定义Ａ的特征根λ的特征子空间为 Ｖλ＝｛Ｘ∈Ｆn│ＡＸ＝λＸ｝，则 Ｖλ＝ｋｅｒ（λE－Ａ）因此, 秩(λE-Ａ)＝ｎ-ｓ即Ｖλ的维数为ｓ

8. ◆矩阵Ａ对角化的方法 • 求出Ａ的全部特征根；（列出行列式，分解，并用迹来验证） • 如果Ａ的特征根都在Ｆ内（否则不能对角化）,那么对于每一特征根λ， 求出齐次线性方程组 • （λE－Ａ）Ｘ＝０ • 的一个基础解系;(列出齐次线性方程组 并对其系数矩阵进行初等变换,并验证基础解系所含向量的个数是否等于重数）

9. (iii)如果对于每一特征根λ来说,相应的齐次线性方程组基础解系所含的解向量的个数等于λ的重数,那么Ａ可以对角化,以这些解向量为列作一ｎ阶矩阵Ｔ,则Ｔ是一可逆矩阵,并且

10. 例. 把下列矩阵Ａ对角化。

11. 思考题 • n维线性空间V的线性变换A可对角化的充分条件和充分必要条件是什么.能否举例子说明. • 作业:P327-20、21、22、23