第 2 章　单相交流电路

第 2章　单相交流电路 2.1交流电的基本知识 * 2.8电阻、电感和电容串联电路及谐振 2.2正弦交流电的表示法 * * 2.9电感线圈与电容并联电路 2.3正弦交流电的相加与相减 2.10电路的功率因数 2.4纯电阻电路 2.5纯电感电路 * * 2.11电阻、电感和电容并联电路及谐振 2.6纯电容电路 2.7电阻与电感串联电路

2.1交流电路的基本知识 2.1.1交流电的基本概念 2.1.2正弦交流电的相关量

2.1.1交流电的基本概念 　　大小和方向随时间作周期性变化，并且在一个周期内的平均值为零的电压、电流和电动势统称为交流电。

i US + O  2 电路中物理量的表示方法：直流电用大写的英语字母表示，如：E、I、 U。交流电用小写的英语字母表示，如：e、i 、u。　　电路图中标出的 US、 i 、u 的方向是电压、电动势和电流的参考方向，由于实际方向反复变化，与参考方向相同的为正，反之为负。

2.1.2正弦交流电的相关量 O  2 生产和生活中常用的是正弦交流电，简称交流电。即描述正弦交流电特征的物理量 1．周期 (T) 　　正弦量变化一次所需的时间，单位为秒(s)。 2．频率 (f ) 　　单位时间内完成的周期数，单位为赫[兹](Hz)。频率与周期互为倒数。 T、f、 之间的关系 3．角频率 () 　　单位时间内变化的电角度，单位为弧度/秒(rad/s)

频率范围及他们的应用

O 　　瞬时值中最大的值，也称幅值。用带下标 m 的大写字母表示，如：Im、 Um、Em。 4．瞬时值　　正弦量在任一瞬间的值。用小写字母表示，如：i、u、e。 5．最大值 6．有效值　　交流电流i通过电阻 R在一个周期内产生的热量与某直流I通过同样的电阻在相等的时间内产生的热量相等，该直流 I的数值就定义为交流电流 i的有效值。

有效值用大写字母表示，如 U、I、E。 根据上述定义，可得同理：　　一般情况人们所说的交流电压或电流的大小，以及测量仪表所指示的值都是有效值。

i O  2  t O 7．相位　　图示交流电流的波形可用数学式表示为它的初始值为零数学式表示为它的初始值不为零　　计时起点 (t = 0)不同，正弦量的初始值就不同；到达最大值或某一特定值所需时间也就不同。

7．相位 i 　　在 t = 0 时刻以前，正弦交流电具有的角度称为初相角，用表示，简称初相。  t O 称为相位角，简称相位。而相位能反映正弦交流电流变化进程。例如，图示波形在相位时，电流为最大；当电流为零。相位和初相位的单位都是弧度。

8．相位差 两个同频率正弦交流电的相位之差。　　相位差可以比较两个同频率正弦量之间的相位关系(如超前或滞后，同相或反相)。设两个同频率交流电流相位差为由于两个电流的频率相同，所以相位差等于初相位之差。

u i  t O [例]：两正弦量为 u i 相位差则称电压超前电流 60或电流滞后电压 60。　　而超前是指：电压总比电流先经过对应的最大值或零值。相位差角要用小于或等于  表示。

i1 i2 i1 与 i2 同相, = 0 i1 与 i3 反相, =  i3 i  t O

2.2正弦交流电的表示法 2.2.1波形图表示法 2.2.2解析式表示法 2.2.3旋转矢量表示法

2.2.1波形图表示法 O 要把正弦量的三要素特征表示出来。可以直观地表达出交流电的特征。最大值 Im Im Im 角频率  或周期 T 0 初相角  0(0 = 0) T

2.2.2解析式表示法 式中： α=ωt+φ0为该正弦交流电压的相位

2.2.3旋转矢量表示法 　　正弦量用矢量表示后，可以将复杂的三角函数运算转换成矢量运算，简化了运算过程。旋转矢量表示法：选一矢量其长度表示交流电的最大值(或有效值)；矢量与横轴的夹角表示初相角，  > 0 在横轴的上方， < 0 在横轴的下方；矢量以角速度  逆时针旋转。 [例]

[例] 某两个正弦交流电流，其最大值为 A 和 A，初相角为角频率为 作出它们的旋转矢量，写出其对应的解析式。选定和为矢量长度，在横轴上方角度作矢量，且以角速度 逆时与下方  针旋转。对应的解析式为  [解]

  　　两个同频率交流电流，旋转的速度一样，则两个旋转矢量在空间的相对位置固定，这样，可将旋转矢量看成在 t = 0 时刻的相对静止矢量(不需标注 )。　　从矢量图上可求出相位差，即两矢量之间的夹角；　　从矢量图上可判断正弦量的相位关系，逆时针在前的为超前，图示矢量为 i1 超前 i2 角/2。动画：正弦量的旋转矢量表示法动画：正弦量解析式、波特图、矢量图相互转换

2.3正弦交流电的相加和相减 2.3.1波形合成法 2.3.2矢量运算法

2.3.1波形合成法 i  t O i i1 i2 02 01  　　用已知的两个同频正弦交流电各瞬时值逐点相加的方式，描述出相加的波形图。 [例] 合成波形如图示。　　　若计算两电流之差，可采用 [解]

由波形合成法知： 一般情况下　Im≠ I1m+ I2m 当 0 = 01 - 02 = 0 时， Im＝ I1m+ I2m 当 0= 01 - 02 =  时， Im＝I1m－I2m

2.3.2矢量运算法 U2=40V U1=30V 将已知的两个或几个同频率的正弦交流电矢量作在同一坐标图中，利用矢量的平行四边形法则求其矢量和。矢量和的长度和辐角即为交流电求和后的最大值(或有效值)和初相角。 例 图为两个正弦量的矢量，试求 u1 + u2。 解 作平行四边形 U

i1、i2、 i 的角频率w 相同， 所以 i = i1 + i2 = Imsin (wt + ) 例图示为两个交流电流的波形，求 i1 + i2。

2.4纯电阻电路 2.4.1电流与电压的关系 2.4.2功率

2.4.1电流与电压的关系 + - 设电阻两端输入正弦电压根据欧姆定律 u (3)u 和i 的最大值、有效值满足欧姆定律电流与电压的关系为: (1)u 和i 的频率相同； (2)u 和i 的相位相同；

u + u i -  t O 纯电阻电路波形图与矢量图 u i I U

2.4.2功率 u i p  t O P = U I  t O 1．瞬时功率 2．有功功率　　取瞬时功率在一个周期内的平均值来表示电路消耗的功率，称为有功功率 P 有功功率是定值

例　电炉的额定电压 UN = 220 V，额定功率 PN = 1 000 W ，在 220 V 的交流电源下工作，求电炉的电流和电阻。使用 2 h，消耗电能是多少？ 解 由于电炉可以看成纯电阻负载，所以电炉的电阻为工作 2 h 消耗的电能为

2.5　纯电感电路 2.5.1电流与电压的关系 2.5.2功率

2.5.1电流与电压的关系 忽略电阻的线圈接在交流电源上称为纯电感电路。设通过线圈的电流为　　由于电流的变化在线圈中产生自感电动势 eL ，形成电压。在图示 u与 eL的参考方向下 u 由理论推导可得

(2)i 与u 相位差 , 即电压超前电流，或说电流滞后电压；比较 i 与u 式 (1)i 与u 的频率相同; (3)i 与u 最大值与有效值关系为 Um = LIm Um = XL Im 称为电感的电抗，简称感抗，单位是()。 U = XLI 其中 XL = L = 2 f L

u u u i i XL U  t O f 纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图 2f L

2.5.2功率 u,i,p O P>0 线圈从电源吸收电能 P<0 线圈从电源送回电能 1．瞬时功率 2．有功功率　　有功功率是瞬时功率在一个周期内的平均值。显然 P = 0 3．无功功率　　纯电感元件的交流电路中只有能量互换，将能量交换时功率的最大值称为无功功率 Q。 Q = UI = XLI2 单位：乏(var)

例纯电感线圈，电感 L = 300 mH,接至 的工频电源上，求电感线圈的电流有效值和无功功率；若改接在有效值为 100 V 交流电源上，测得其电流为 0.4 A，求该电源的频率是多少？ (2)接 100 V 交流电源时 解 (1)f = 50 Hz 时 XL= L = 2fL = 2×3.14 × 50 × 0.3  = 94.2  Q = UI = 220× 2.34 var = 514.8 var

2.6纯电容电路 2.6.1电流与电压的关系 2.6.2功率

2.6.1电流与电压的关系 + u - 电容损耗很小，一般情况下可看成纯电容。设通过电容的电压为其u 与 i 参考方向如图所示由理论推导可得

+ (2)电流超前电压，或电压滞后电流； u - 比较 u 与 i 式 (1)u 与i 的频率相同; (3)i 与u 最大值与有效值关系为 Im = CUm U = XCI 　　称为电容的电抗，简称容抗，单位欧 ()。其中

u u u i i XL U  t O f 纯电感电路电压和电流的波形图与矢量图 2f L

2.6.2功率 u i O u p>0，电容储存电压 p<0，电容释放电压 1．瞬时功率 2．有功功率电容有功功率与电感一样都为零。即 3．无功功率 Q Q = U I = XC I2 单位：乏(var)

[例]有一个50 F 的电容器，接到　　　　　　　　　的工频交流电源上，求电容的电流有效值和无功率。若将交流电压改为 500 Hz 时，求通过电容器的电流为多少？ [解]　（1）电压　　　　　　　　　的工频交流电压的有效值为 220V，频率为 50Hz，电容容抗为电容电流由式(2.38)求得无功功率由式(2.41)求得

[解] (2)当f = 500 Hz 时电容电流为　　　　　　电容容抗为　　　　　　

2.7电阻与电感串联电路 2.7.1电流与电压的关系 2.7.2功率

2.7.1电流与电压的关系 + + + uR uL - - u - 设电路中的电流电阻与电感两端的电压为电源电压

+ + + uR uL - - u - (1)作矢量图求电压u的有效值和初相角  根据矢量图可得 U UL 解之总电压  I 电压有效值之间为三角形关系 UR

解出电压与 (2)根据公式电流有效值之间关系称为电阻和电感串联电路的阻抗，单位欧()。 Z、R、XL 关系构成与电压相似的三角形关系，称阻抗三角形。通过阻抗三角形可求 。注意：阻抗三角形不是矢量关系

2.7.2功率 U UL  I UR 1．有功功率有功功率即电阻消耗的功率 P =URI=UI cos 式中：UR = Ucos总为电压的有功分量；  = cos 称功率因数； 称功率因数角。即电路中总电压与总电流的相位差。 2．无功功率电感与电源进行能量交换形成无功功率。 Q = ULI = UI sin  Usin 称为总电压的无功分量。

Q S U UL Z XL    I P R UR 3．视在功率电路中电流和电压的乘积定义为视在功率，即 S = UI 单位是伏安(V·A) S、P、Q 的关系为三角形关系，与电压、阻抗三角形相似

[例]电阻和电感串联电路中，已知 XL = 6.24 k，电流滞后电压82，试求电阻。 [解] [例]在实际线圈上加 12 V直流电压，测得直流电流 I = 2 A；加交流工频 220 V 电压，测得有效值电压 I = 22 A,求线圈的电阻 R 和电感 L。直流电源作用 [解] 交流电源作用

[例]某电动机接在 220 V 工频交流电源上可获得 14 A 电流，2.5 kW 的有功功率，试求电动机的视在功率 S、无功功率 Q 和功率因数  。 [解]根据视在功率的定义 S = UI = 220 14 V·A = 3 080 V · A = 3.08 kV · A 因为 P = UIcos = S cos 所以 Q =UIsin= Ssin = 3.08  sin35.7° kvar = 1.8 kvar

第 2 章 单相交流电路