数学分析

1. 数学分析 多元函数的极限与连续 重极限与累次极限 浙江师范大学数学系

2. 复习 二元函数极限的定义

3. 当 时的极限. 总有 有 例1讨论函数 等值图 解 当点(x,y)沿任何直线趋于原点时， 但是，当点(x,y)沿抛物线 y=kx2(0<k<1)趋于点(0,0)时，

4. 因此，对 例2设 图像 证 作极坐标变换 x= rcos , y= rsin . 由于 不论 取 什么值都有| f(x,y)-0|< ,

5. 当 时的极限. 作极坐标变换 x = rcos ,y = rsin ( ), 例3讨论函数 函数图像 等值图 分析： 则有 f(x,y)=f(rcos,rsin) 当  =0, /2, ,3/2 时，上式的值为0； 当  取任一给定的且不等于k/2(k=0,1,2,3)的值时， 总有：

6. 对例2，用 “ ” 语言表示为： 恒有 对例3，用 “ ” 语言可表示为： 对 下面我们对例2和例3中的过程作一个比较. |f(rcos,rsin)|< |f(rcos,rsin)|<

7. 解 当(x,y)沿抛物线x=ky2趋于点(0,0)时, f(x,y)=f(ky2,y) 当 k=1和k=2时，上式的值分别是 因此，

8. 注： (ⅰ) 求二元函数极限的一般思路是转化为 一元函数的极限来处理. (ⅱ) 极坐标变换是转化为一元函数极限的常用方法之一， 但要注意的是：极限 必须关于 一致成立.

9. 设Ex, Ey R, x0是Ex的聚点, y0是Ey的聚点, 二元函数f在集合D＝Ex Ey上有定义. 若对 二、累次极限 定义3 存在极限 而且进一步存在极限 则称此极限L为二元函数 f 先对x(→x0)后对y(→y0)的累次 极限，并记作

10. y0 x 0 0 0 重极限存在与累次极限存在之间有什么关系？ (x0,y0)

11. y x O O 例4求函数 在点(0,0)的重极限和累次极限.

12. y x O O 若将函数定义修改为 则有: 但仍然有 此时，两个累次极限存在且相等，但重极限不存在.

13. 例5讨论函数 函数图像 在点(0,0)的重极限和累次极限. 解 当y≠0时， 同样，当x≠0时 但由于 因此，

14. y0 x 0 0 重极限与累次极限的关系分析图

15. 定理16.6 若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限 且存在δ>0, 对任意 x ∈U0(x0; δ),存在极限 则累次极限 也存在，且

16. 由定义，对 当 时，有 (*) 取 由条件，对 存在极限 则当 时, 证明 点(x0,y0)记为P0, 在(*)式中令y→y0, 这就说明了 =A.

17. 定理16.6 若 f(x,y)在点(x0,y0)存在重极限 与累次极限 则它们必相等.

18. 如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？如果重极限和两个累次极限都存在，它们是否相等？ 如果两个累次极限存在但不相等，重极限可能存在吗？

19. 若累次极限 推论1 和重极限 都存在，则三者相等. 若累次极限 推论2 存在但不相等，则重极限

20. 例6函数 在点(0,0)的两个累次极限分别为 =1 = -1 与 因此，根据上面的推论2，重极限 不存在.

21. 作业： P129 2(2)(3)(5)(7),6,8

23. y O x y=x2 f=1 f=0