随机网络技术

随机网络技术 同济大学建设管理与房地产系曹吉鸣副教授

一、随机网络的构成和特点 1.1 概述随机网络,也称计划评审技术(PERT),是一种反映多种随机因素的网络技术。与传统的网络技术不同,随机网络技术模型中的节点、箭线和流量均带有一定程度上的不确定性,不仅反映活动的各种定量参数,如时间、费用、资源消耗、效益、亏损等是随机变量,而且组成网络图的各项活动也可以是随机的,可按一定的概率发生或不发生,并且允许多个原节点或自多个汇节点的网络循环回路存在。

一、随机网络的构成和特点 1.1 概述 60年代,美国国防部在阿波罗空间系统研究、制造和发射过程中,首次建立了随机网络模型,并提出了分析和求解随机网络的方法,用以确定该系统的最终发射时间,协调各承包商的工作进度,取得了明显的效果。

一、随机网络的构成和特点 案例一：某钢结构工业厂房,委托一家外地企业加工,材料货源分别来源于三家不同的企业,三种材料按计划陆续供货,先交货先加工。结构件制作完后,可根据当地的运输条件选用水路航运或铁路运输运到目的地。结构构件在现场检查组装,然后开始安装。由于结构构件高大，在安装时受风的影响大，工期有一定的伸缩性。对这些活动存在的多种情况，各所需的时间及其实现概率如下表所示，根据上述条件，可绘出随机网络图，如下图所示。

一、随机网络的构成和特点 钢结构加工活动时间及概率

一、随机网络的构成和特点

一、随机网络的构成和特点 1.2 随机网络图的构成 (一)节点符号表示方法: (1)输入部分 • 第一种形式:互斥型 • 第二种形式:兼或型 • 第三种形式:汇合型

一、随机网络的构成和特点 三种节点输入形式

一、随机网络的构成和特点 (2)输出部分 • 第一种类型:肯定型 • 第二种类型:随机型两种节点输入形式

一、随机网络的构成和特点 对于一张随机网络图既有起止节点,又有中间节点。由于中间节点有输入部分,又有输出部分,节点需同时能表达不同的输入关系和输出类型,上述不同节点的输入和输出形式可以组合成六种节点形式。

一、随机网络的构成和特点 （二）箭线及传递系数的表示方法随机网络的箭线可以表示具体的活动，也可以表明一项活动的结果，或者两项活动之间的关系。为了表达活动的时间、成本、效率,还必须进一步说明实现各项活动的有关参数,即节点之间通过箭线传递的系数。

一、随机网络的构成和特点 常用的传递系数有两类: • 时间或费用系数,反映活动所需的消耗 • 概率系数,反映活动实现的可能性及质量合格率等

一、随机网络的构成和特点 时间系数可以是常数或者服从某种理论分布的密度函数，如或。例如某活动的时间系数被认为服从正态分布,且已知均值和方差 ,则可表示为 ,并可作为计算时的参数依据;每项活动的概率系数一般假定为常数。传递系数的表示方法如图所示： Pij , fij (t) j ij

一、随机网络的构成和特点 1.3随机网络的特点：与普通网络图比较,随机网络具有以下几个特点: (1)随机网络的箭线和节点不一定都能实现,实现的可能性取决于节点的类型和箭线的概率系数； (2)随机网络中各项活动的时间可以是常数,也可以是服从某种概率分布的密度函数,更具有不确定性；

一、随机网络的构成和特点 1.3随机网络的特点：与普通网络图比较,随机网络具有以下几个特点: (3)随机网络中可以有循环回路,表示节点或活动可以重复出现； (4)随机网络中的两个中间节点之间可以有一条以上箭线； (5)随机网络中可以有多个目标,每个目标反映一个具体的结果,即可以有多个起点或终点。

二、随机网络的分析计算 随机网络所处理的是广义概率型的网络,由于有多种不同性质的参数和各种不同类型节点,需要根据不同情况对随机变量进行分析和计算，计算比较复杂。

二、随机网络的分析计算 2.1 传递系数--概率Pij和持续时间fij(t)均为常量的情况组成随机网络图的基本形式有:串联、并联和回路,如图所示 :

二、随机网络的分析计算 (1)串联:串联元素的传递系数为各串联枝线上的传递系数的乘积,即: (2)并联:并联元素的传递系数为各并联枝线线路的传递系数之和,即: (3)回路:有自身回路的传递系数为节点发出线路值与( )的乘积，即:

二、随机网络的分析计算 2.2 传递系数--概率Pij为常量, fij(t)是符合一定概率分布的随机变量情况现就图所示的串联、并联和回路三种基本形式,用流线图方法求解

二、随机网络的分析计算 (1)串联辅助函数等价关系: 矩母函数的等价关系:

二、随机网络的分析计算 (2)并联辅助函数等价关系: 矩母函数等价关系:

二、随机网络的分析计算 (3)回路辅助函数等价关系: 矩母函数等价关系:

三、随机网络的解题步骤 随机网络的解题步骤可归纳为以下几点: (1) 针对所研究的系统和问题,反复考虑和剖析,找出能反映计划模型的主要因素,按照活动的逻辑关系,选择合适的节点类型, 绘制出随机网络计划模型。 (2) 收集有关网络图中传递系数的必要资料,并尽量使其符合实际, 保证模型系数的准确性。若活动时间不能用常数表示,可以估一个均值和方差,或者确定一个大致范围,再选择一个合适的概率分布密度函数,做到有据可依。

二、随机网络的分析计算 随机网络的解题步骤可归纳为以下几点: (3) 应用梅森(Maso)公式,确定各项活动的辅助函数,并对网络图进行适当归并和简化,转换成等价网络图,便于分析计算。 (4) 通过计算,求出随机网络最终所需时间及实现概率。根据矩母函数, 在S=0时,其值为1,即，求得特定节点的实现概率；在求得节点实现的条件概率后,根据,求得特定节点实现的期望值。另外,根据需要, 还可以求出所需成本等其他必要的参数。

三、随机网络的解题步骤 随机网络的解题步骤可归纳为以下几点: (5) 根据计算结果,进一步分析该网络系统,对不同方案或不同问题进行综合评价,并进行必要的调整和修改。

四、随机网络应用示例 某航天飞机重返大气层的防护层研制工程有三个合同需招标,每个合同均包含设计、试验与制造三部分内容,其中合同1是最大而又最有利的系统,其次是合同2,最后是合同3。某公司准备投标,其技术能力可以设计与试验三个方案(即合同)中的任何两个,但是限于时间,只具有完成一个方案的制造能力。经考虑后公司负责人决定:先对合同1与合同2投标(下称投标1与投标2),如果均被拒绝,再对合同3投标(下称投标3)；如果投标1与投标2均成功,将对方案2签订关于制造期限的子合同

四、随机网络应用示例 基于过去的经验以及本公司在行业内的竞争地位,公司负责人确认对三个合同投标成功的概率如下: 此外,由于方案1的复杂性,投标1有10%的可能性既不被接受也不被拒绝,而要对合同1作出某些修改以后再进行第二轮招标与投标。公司负责人认为:第二轮投标结果的概率与第一轮相同。

四、随机网络应用示例 投标成功后即进行设计。设计后试制出的样品必须经过一系列试验。试验中出现的小问题可以及时解决,但若试验整个失败,则要对系统重新设计与试验,又要耗费同样的代价。公司负责人估计试验成功的概率如下: 现在要求建立该任务的网络模型,并且分析计算各种最终结果的概率

四、随机网络应用示例 根据活动之间的逻辑关系和节点的不同类型,可建立该工程的随机网络,如下图：

四、随机网络应用示例 由于网络中的许多活动具有随机性, 会存在多种可能的最终结果。所以就本例而言,存在着如下五种可能的最终结果,但仅有一种实现: (1)系统1单独被移交(即公司把根据合同1制造好的系统移交给招标部门), 其概率记为P1; (2)系统2单独被移交,其概率记为P2; (3)系统3单独被移交,其概率记为P3; (4)系统1与系统2共同被移交,其概率记为P4; (5)没有系统被移交,因为该公司的投标全部被拒绝,其概率记为P5。

四、随机网络应用示例 实现系统1单独被移交的作业路线主要是=(1,2，4，5,6,7,8,25,26), 其中包括两个反馈回路。作业(1，2)即对合同1投标的概率为1:那么这一投标被接受的概率是多少呢?并不就是作业(2,4)上标注的0.3；因为在节点2上有一条反馈弧即技标后对合同1修改(其概率为0.1)。而合同1修改一次后,再投标又有0.3的被接受概率,这时,投标1被接受的总概率为: 0.3+0.1×0.3=0.33

四、随机网络应用示例 但是反馈环仍然存在,合同1可以第二次修改,第二次修改的概率为： 0.1×0.1=0.01 第三轮投标又有0.3的被接受概率,于是投标1被接受的总概率变为： 0.3+0.1×0.3+0.01×0.3=0.333

四、随机网络应用示例 反馈环“永远”存在,对合同1可以修改“无限多次”,于是得到一个等比级数 ,其首项=0.3,其公比q=0.1,故该级数之和为：这就是考虑了节点2上的反馈弧以后,获得的关仔投标1被接受的概率。

四、随机网络应用示例 对反馈弧(6,4)也作类似考虑,则在投标已被接受的情况下节点7的实现概率为： 0.6/(1-0.4) = 1 若将其结合起来考虑,则在整个网络中,节点7从而作业(7,8)实现的概率为： 1×1/3 = 1/3

四、随机网络应用示例 其余的分析计算过程请读者试行推出,其结果是：

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