第三节初等多值函数

第三节初等多值函数 2.3.1 根式函数 2.3.2 对数函数 2.3.3 一般幂函数与一般指数函数 2.3.4 具有多个有限支点的情形 2.3.5 反三角函数和反双曲函数 2.3.5 小结与思考

定义2.8(单叶函数） 设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2),则称函数 f(z)在D内是单叶的.并且称区域D为f(z)的单叶性区域. 显然,区域D到区域G的单叶满变换w=f(z) 就是D 到G的一一变换. f(z)=z2不是C上的单叶函数. f(z)=z3是C上的单叶函数

2.3.0幂函数的变换性质及其单叶性区域 设有幂函数: W=zn 令z=rei,w=ei ,则： W=znei =rnein=rn, =n 于是得到幂函数有如下的变换性质： w平面 z平面射线 =n0 射线 =0 圆周= r0n 圆周r=r0

) ) ) z z w y v y x x u o o o w平面 z平面射线 =n0 射线 =0 圆周= r0n 圆周r=r0 射线0< <n0 角域0<<0 W=zn n0 0

w z v y u x o o w平面 z平面角域0<<0 射线0< <n0 W=zn 上岸 G0 下岸从原点起沿负实轴剪开的w平面

映射特点: 把以原点为顶点的角形域映射成以原点为顶点的角形域, 但张角变成为原来的n 倍. 是幂函数的单叶性区域的一种分法总之：幂函数w=zn (n>1) 单叶性区域是顶点在原点，张度不超过2/n的角形区域

2.3.1根式函数 • 定义2.9 若z=wn,则称w为z的n次根式函数，记为：为幂函数z=wn的反函数. i.e. 根式函数 (1) 根式函数的多值性.

(2) 分出根式函数的单值解析分支. 1) 产生多值的原因. 产生多值的原因是:当z取定后，其辐角不固定，可以连续改变2的整数倍，对应的函数值连续改变到下一个值

z y x o 2) 解决的办法. 限制z的辐角的变换，使其辐角的该变量argz<2 理论上的的做法：从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该直线称为割线，在割破了的平面(构成以此割线为边界的区域，记为G)上，argz<2，从而可将其转化为单值函数来研究 z G 常用的做法：从原点起沿着负实轴将z平面割破：

结论： 从原点起沿着负实轴将z平面割破,即可将根式函数: 分成如下的n个单值函数：定义域为 wk在Gk上解析,且

v w z z z y y y u o x x x o o o G0 G1 - 3 -  T1 T0   T2 G2 5 3

2.3.2 对数函数 1. 定义说明： w=Lnz是指数函数ew=z的反函数 Lnz一般不能写成lnz 2.计算公式及多值性说明：

由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数由于Argz的多值性导致w=Lnz是一个具有无穷多值的多值函数规定：为对数函数Lnz的主值于是：

特殊地,

例4 解注意: 在实变函数中, 负数无对数, 而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广.

例5 解

例6 解

2. 性质

Bernoulli悖论 原因例： (3)(4)错了 Lnz是集合记号，应该理解为两个集合相加荒谬透顶！！！ A={0,1} A+A={0,1,2} 2A={0,2} A+A2A 决不会相等！！！

证 (3) [证毕]

3. 分出w=Lnz的单值解析分支 从原点起沿着负实轴将z平面割破，就可将对数函数w=Lnz分成如下n个单值解析分支：定义域为 wk在Gk上解析,且

2.3.3 一般幂函数与一般指函数 1. 一般幂函数称为z的一般幂数函数 2. 一般指数函数称为z的一般指数函数都是多值函数，适当割破z平面，都可转化为单值函数

1. 一般幂函数 注意:

特殊情况:

例7 解课堂练习答案

例8 解

2. 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,

它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的,

2.3.4 反三角函数和反双曲函数 1. 反三角函数的定义两端取对数得

同样可以定义反正弦函数和反正切函数, 重复以上步骤, 可以得到它们的表达式: 2. 反双曲函数的定义

例14 解

2.3.5 小结与思考 复变初等函数是一元实变初等函数在复数范围内的自然推广, 它既保持了后者的某些基本性质, 又有一些与后者不同的特性. 如: 1. 分成单值解析分支的方法 2. 负数无对数的结论不再成立

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