侯越先， yxhou@tju ，25 楼 B-1223 室 一般性参考： 《离散数学》，左孝凌等，上海科学技术出版社 《现代图论》英文版， Bollobas 等，科学出版社

1. 图论 • 侯越先，yxhou@tju.edu.cn，25楼B-1223室 • 一般性参考： 《离散数学》，左孝凌等，上海科学技术出版社 《现代图论》英文版，Bollobas等，科学出版社 《算法导论》英文版，Cormen等，高教出版社 • 本ppt下载： acm.tju.edu.cn/lab/people/hyx.html

2. 1.图的基本概念 • 引入：实体和实体之间的关系是现实世界的两个基本要素。图论（Graph Theory，GT）有效地刻画了实体与实体之间的关系，是研究现实世界的有力数学工具，在算法理论、人工智能、软件理论和软件工程、计算机网络等计算机科学的不同分支中均有重要应用。 • 例子：聚会握手问题 • 例子：柯尼斯堡7桥问题

3. 1 图的基本概念 • 定义1：一个图G是一个序偶<V(G)，E(G)>，其中V(G)是一个非空的结点（vertex）集合，E(G)是边（edge）集合，且E(G)V×V。通常，可以将图G简记为<V，E>。 • 例：<{a，b，c，d } ，{<a，b><b，c><c，d><d，a>}> • 注: 1.若边ei与结点的序偶<vj,vk>相关联，称该边为有向边。 2.若边ei与结点的无序偶 (vj,vk) 相关联，称该边为无向边；若无需区别边的方向，可以用(vj,vk)指代有向边或者无向边。 3. 邻接点：由一条边关联的两个结点。 4. 孤立结点：不与任何结点相邻接的点。 5. 零图：仅由孤立结点组成的图。 6. 平凡图：仅由一个孤立结点组成的图。 7. 邻接边：关联于同一结点的两条边。

4. 1 图的基本概念 8. 环（loop）：关联于同一结点的边，也称为自回路 9. 有向图、无向图和混合图：本课程只涉及有向图和无向图 • 定义2：设G=<V,E>是一个图，则|V|称为G的阶数（order），|E|称为G的规模（size）。 • 定义3：在图G= <V,E>中，与结点v (v ∈ V)关联的边数，称为该结点的度数（degree），记作deg(v)。

5. 1.图的基本概念 • 注：1 每个环在其对应的结点上增加两度。 2 记△(G)=max{deg(v)|v∈V｝ δ(G)=min{deg(v)|v∈V｝ △(G)和δ(G)分别称为图G的最大度和最小度 • 定理1：每个图中，结点度数的总和等于边数的两倍。 • 定理2：在任何图中，度数为奇数的结点必定是偶数个。 • 定义4：在有向图中，射入一个结点的边数称为该结点的入度，由一个结点射出的边数称为该结点的出度。结点的出度与入度的和就是该结点的度数。

6. 1.图的基本概念 • 定理3：在任何有向图中，所有结点的入度之和等于出度之和。 • 定义5：连接同一对结点的边称为平行边（parallel edge），含有平行边的图称为多重图（multigraph）；不含有平行边和自回路的图称为简单图(simple graph)。 • 定义6：简单图G＝<V,E>中，若每一对结点间都有边相连，称该图为完全图（complete graph）。通常将有n个结点的无向完全图记作Kn。 • 例子 • 定理4：Kn的边数为n(n-1) /2

7. 1.图的基本概念 • 定义7：设图G＝<V,E>，如果图G’＝<V’,E’>满足E’ E，V’ V，则G’称为G的子图（subgraph） 若G’包含了E中所有连接了V’中任意两个点的边，则G’称为V’的导出子图（induced subgraph） 若V’=V，则称G’为G的一个生成子图（spanning subgraph） • 例子

8. 1.图的基本概念 • 定义10：给定一个图G，由G中所有结点和所有能使G成为完全图的添加边组成的图，称为G相对于完全图的补图，简称G的补图，记作 • 问题：G相对于完全图的补图是否可能是G的生成子图？ • 定义11：设G’=<V’,E’>是G=<V,E>的子图，若给定另外一个图G”=<V”,E”>使得E”=E-E’，且V”中仅包含E”的边所关联的结点。则称G”是子图G’的相对于G的补图。 • 注：相对于完全图的补关系是对称的；相对于任意图G的补关系则不是对称的。 • 例子

9. 1. 图的基本概念 • 定义12：设图G=<V,E> 及图G’=<V’,E’>，如果存在双射f：V→V’ ，使得e=(vi,vj ) 是G的一条边，当且仅当e’ = (f(vi), f(vj)) 是G’的一条边，则称G与G’同构，记作G G’。 • 例子 • 图同构的必要条件：结点数相同；边数相同；度数相同的结点数目相同。 • 问题：可否用代数系统之间的同构来表达图之间的同构？反之呢？

10. 1. 图的基本概念 • 定理5：设G＝<V,E>是简单图， ，则G中必包含一个三角。 • 问题：定理5给出的边界是否是紧的？ • 为便于讨论图算法，给出算法复杂性的几个基本定义 • 定义13：对于给定的函数g(n)，定义如下的函数集合 O(g(n)):={f(n)|存在正常数c和n0，使得对于所有n≥ n0，0≤f(n) ≤cg(n)}，称g(n)为O(g(n))中任意函数f(n)的渐近上界（注：一般要求g(n)和f(n)定义于N）

11. 1. 图的基本概念 • 注：算法的时间复杂性，可通过计算开销对于输入长度的函数的渐近上界来刻画 • 例子：给定图G=<V,E>，构造一个求△(G)的算法，使其最坏时间复杂性的渐近上界为O(n+m)，这里n=|V|， m=|E| 。 • 定义14：如果一个算法的时间复杂性的渐近上界是输入长度的多项式函数，则称该算法是有效的， • 思考题：尝试给出一个判定图同构的算法，说明该算法的在时空效率方面是否是有效的。

12. 2. 路与回路 • 定义1：给定图G=<V,E>，设v0,v1,…,vn ∈V，e1,e2,…,en ∈E，其中ei是关联于结点vi-1，vi的边，交替序列v0 e1 v1 e2 … en vn称为结点v0到vn的路(walk)。 • 注：v0和vn分别称作路的起点和终点。 边的数目n称作路的长度。 当v0 = vn时，这条路称作回路(closed walk)。 若一条路中所有的边e1,e2,…,en均不相同，称作迹(trail)。起点和终点重合的迹称为闭迹(closed trail or circuit)。 若一条路中所有的结点v0,v1,…,vn均不相同，称作通路(path)。闭的通路，即除v0 = vn外，其余的结点均不相同的路，称作圈(cycle)。

13. 2. 路与回路 长度为L的通路记为PL 长度为L的圈记为CL， C3称为三角，C4称为四边形， C5称为五边形… 简单图路中，路可以由其结点序列v0v1…vn表示；结点数大于1的路也可由边序列e1e2…en表示。 • 例子 • 定理1：无向图G=<V,E>的边集合E可以被划分为一组圈，当且仅当V中的任意结点v的具有偶数度。 • 问题：定理1如何推广到有向图？

14. 2. 路与回路 • 定理2：在一个具有n个结点的图中，若从结点vj到结点vk存在一条路，则从vj到vk必存在一条不多于n－1条边的通路。 • 定义2：无向图G中，结点u和v之间若存在一条路，则称结点u与结点v是连通的(connected)。 注：结点之间连通性是G的结点集V上的等价关系；由此等价性，可决定V上的一个划分V1,V2 ,…,Vk，使得属于同一分块的结点之间互相连通，将这样的分块称为图G的一个连通分支(connected component)。以W(G)表示图G的连通分支数 • 例子

15. 2. 路与回路 • 定义3：若图G只有一个连通分支，则称G是连通图 • 在图中删除点v，即是把v以及与v关联的边都删去； 在图中删除边e，仅需把该边删去。 • 定义4：设无向图G＝<V,E>为连通图，若有点集V1V,使图G删除了V1的所有结点后，所得的子图不是连通图，而删除了V1的任何真子集后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集。若某一结点构成点割集，则称其为割点(cut vertex)。 • 问题：一个图是否可能有多个点割集？ • 注：若G不是完全图，定义k(G)=min{|V1|| V1是G的点割集}为G的点连通度。k(G)是为了产生一个不连通图需要删去的最少结点数。 不连通图或平凡图的点连通度约定为0，存在割点的图的点连通度为1。

16. 2. 路与回路 完全图Kp中，删去任何m个(m<p-1)点后仍是连通图，但是删去个p-1个点后产生了一个平凡图，故定义k(Kp)为p-1 • 定义5：设无向图G＝<V,E>为连通图，若有边集E1E,使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通图，而删除了E1的任一真子集后，所得的子图是连通图，则称E1是G的一个边割集。若某一个边构成边割集，则称该边为割边（或桥bridge）。 • 问题：一个图是否可能有多个边割集？ • 注：非平凡图G的边连通度定义为：λ(G)=min{|E1|| E1是G的边割集}。 λ(G)是为了产生一个不连通图需要删去的最少边数。 对平凡图G或一个不连通图G，定义其λ(G)为0 • 问题： λ(Kp)=?

17. 2. 路与回路 • 定理3：若W(G)=n，在G中删除一边获得G’，则W(G’) ≤n+1 • 定理4：对于任何一个图G，有k(G) ≤λ(G) ≤δ(G) • 定理5：一个连通无向图G中的结点v是割点 存在两个结点u和w，使得结点u和w的每一条路都通过v。 • 定义6：若u可达v，它们之间所有路中，最短路的长度称为结点u和v之间的距离，记作d<u,v>，若从u到v不可达，d<u,v>＝∞。称D=max{d<u,v>|u,v∈V}为图G=<V,E>的直径 • 注：d<u,v> ≥0，d<u,u>＝0 d<u,v> ＋ d<v,w> ≥ d<u,w>

18. 2. 路与回路 对于无向图，d(u,v)=d(v,u) • 定义7：在简单有向图G中，任一对结点间，至少有一个结点到另一个结点是可达的，则称这个图是单侧连通的。若对于图G中任一对结点两者之间是相互可达的，则称这个图是强连通的。若在图G中略去边的方向，将它看成无向图后，图是连通的，则称该图为弱连通的。 • 例子 • 注：若图G是强连通的，则必是单侧连通的； 若图G是单侧连通的，则必是弱连通的。 以上两命题，其逆不真。

19. 2.路与回路 • 定理6：一个有向图是强连通的当且仅当G中有一个回路，它至少包含每个结点一次。 • 定义7：在简单有向图中，具有强连通性质的极大子图称为强分图；具有单侧连通性质的极大子图称为单侧分图；具有弱连通性质的极大子图称为弱分图。 • 问题：简单有向图是否可能有多个强（弱、单侧）分图？ • 定理7：在有向图G＝<V,E>中，它的每一结点位于且只位于一个强分图中。

20. 2.路与回路 • 定理8：若无向图G恰有两个奇数度结点，则此两点间必有一条路 • 定义8：如果图G=<V,E>的结点集合V可划分为两个非空集合V1 、V2的并，使得任意e∈E均连接了分处V1和V2中的两个结点，则称其两分图（bipartite graph）。 • 例子 • 定理9：简单图G=<V,E>是两分图 iff 不包含任何奇圈。

21. 3. 图的矩阵表示 • 定义1：设G=<V,E>是一个简单图，它有n个结点V={v1,v2,…vn}，定义n阶方阵A(G)=(aij)为G的邻接矩阵： 若G是无向图，aij=1，iff vi adj vj，aij=0，if vi nadj vj 或 i=j，这里adj表示邻接，nadj表示不邻接。 若G是有向图，aij=1 iff <vi ，vj>∈E • 注：如无特别说明，只考虑简单图的邻接矩阵。 无向图G的邻接矩阵A(G)是对称的；有向图的邻接矩阵则一般不对称。 对于有向图，邻接矩阵第i行的元素和等于结点vi的出度；第j列的元素和等于结点vj的入度。

22. 3. 图的矩阵表示 • 例子 • 定义2：将n阶方阵A的列作一置换，再将相应的行作同样的置换，得到一个新的n阶方阵A’，则称A’与A置换等价。 • 注：任意置换可分解为一组初等置换的复合；任意置换矩阵可表示为一组初等置换矩阵的乘积。所以任意置换可由置换矩阵表示 置换等价是n阶布尔矩阵集合上的等价关系。 图的结点按不同次序所写出的邻接矩阵是彼此置换等价的，可取图的任一邻接矩阵作为该图的矩阵表示

23. 3. 图的矩阵表示 • 可由图的邻接矩阵求得图上点与点之间路的数目：设有向图G的结点集合V={v1,v2,…vn}，它的邻接矩阵为A(G)=(aij)n×n，则从结点vi到结点vj的长度为2的路的数目为： ai1a1j+ ai2a2j+…+ ainanj=∑kaikakj 这恰好等于矩阵(A(G))2中第i行，第j列的元素。 以 表示。 类似地，从vi到vj长度为3的路可以看做由vi到vk的长度为1的路，再联结由vk到vj长度为2的路所形成的，即： 。上述结论可以推广到任意长度为n的路

24. 3. 图的矩阵表示 • 定理1：设A(G)是图G的邻接矩阵，则(A(G))l中的i行j列元素等于G中联结vi与vj的长度为l的路的数目。 • 问题：(A(G))l的i行j列元素所表示的是路的数目还是通路的数目？ • 定义3：设G=<V,E>是一个简单图，它有n个结点V={v1,v2,…vn}，定义n阶方阵P(G)=(pij) ，其中， pij = 1 从vi到vj至少存在一条路 = 0 从vi到vj不存在任何路 称矩阵P是图G的可达性矩阵 • 注：无向图的可达性矩阵是对称的，有向图的可达性矩阵则一般不对称。

25. 3. 图的矩阵表示 可由图G的邻接矩阵A得到可达矩阵P，即令 P=A+A2+…+An-1， 再将P中不为0的元素改换为1，即得可达矩阵P（或者，在计算P和Ai时可采用布尔运算规则）。 若把邻接矩阵看作点集V上关系R的关系矩阵，则求可达矩阵即为求R的传递闭包，可用Floyd-Warshall算法求解 • 问题：利用Floyd算法的思想，构造一个求解权重图最短路径长度的算法，并说明算法复杂性

26. 3. 图的矩阵表示 • 问题：求解可达性矩阵或传递闭包的算法是否可能进一步优化？ • 动态规划(dynamic programming)的基本原则 • 对于特定问题，可否应用动态规划？ 1 动态规划能否求解特定问题？ 2 动态规划能否有效求解特定问题？ • 例子：Viterbi、SAT • 思考题：2-SAT是否存在有效解法？ • Aspvall, Bengt; Plass, Michael etc. (1979), "A linear-time algorithm for testing the truth of certain quantified boolean formulas", Information Processing Letters8 (3): 121–123

27. 3. 图的矩阵表示 • 定义4：给定简单无向图，G＝<V,E>，|V|=n，定义n×n矩阵L(G)=(lij), 其中 －1 若在G中(vi, vj)是G的边 lij = deg(vi) i=j 0 其他 称L(G)为无向图G的拉普拉斯矩阵(Laplacian)。 • 例子 • 注：Laplacian矩阵必有一个特征值为0 Laplacian矩阵半正定

28. 3. 图的矩阵表示 • 引理：简单无向图G与H同构，当且仅当存在置换矩阵P使得L(G)=PL(H)PT，这里置换矩阵P是初等置换矩阵的乘积 • 注：类似可证简单无向图G与H同构iff存在置换矩阵P使得A(G)=PA(H)PT • 定理2：简单无向图G与H同构的必要条件是L(G)与L(H)具有完全相同的特征值 • 注：类似可证简单无向图G与H同构的必要条件是A(G)与A(H)具有完全相同的特征值 • 定理3：若G与H同构，设ui和vi分别是无向图A(G)和A(H)的第i个最小特征值λi所对应的特征向量，λi 孤立且ui和vi同模，则存在置换π，使得ui(j)=vi(π(j))

29. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 背景：流形学习（信息抽象） 科学理论是对经验数据的约简和压缩描述。 “Physics is experience, arranged in economical order” (物理学是以思维经济的原则组织经验材料) Ernst Mach

30. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 用尽可能少的独立变量建模经验数据

31. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 例子：牛顿万有引力的发现 观测量：行星绕太阳运行的周期T 行星距太阳的距离r(t), t=1,2,…,T 行星的角速度ω(t), t=1,2,…,T （以上观测量总结为经验规律：开普勒三定律） 每个行星需要2T+1个观测量加以描述 牛顿发现这2T＋1个观测量由更少的隐变量所决定

32. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 由F(t)=km/r(t)2，有 r(t)=(km/F(t))^(1/2), t=1,2,…,T ω(t)=(F(t)/mr(t)) ^(1/2), t=1,2,…,T T=2π/ ω ， ω是ω(t)的均值 • 即有

33. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 原理：给定D维空间中n个点，假定已经建立了相应的图表示G = <V, E>。 首先考虑将这n个映射到一条直线之上，使得在G中相邻的点尽可能地靠近，因此我们希望最小化 这里yi是第i个样本点在直线上的嵌入。 记 注意到对于任意的y有

34. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 原理（续） 由此，最小化问题可归约为 这里的约束 是为了去除任意的尺度缩放 这样，一般化特征值问题 的次小特征值所对应的特征向量，即为所求 由于1是特征值0所对应的特征向量，所以问题可更精确地表述为

35. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 原理（续） 更一般地，由RD到Rd的嵌入由n×d矩阵 Y = [y1, y2, …, yd] 给出，其每一行对应一个样本点的d维嵌入。 这里y1, y2, …, yd分别是除0之外最小d个特征 值所对应的满足约束的特征向量 更形式地，问题需最小化 即求解 ，且yi正交于1

36. 应用例子： Laplacian Eigenmap • 参考： 1 Laplacian Eigenmaps and Spectral Techniques for Embedding and Clustering 2 Nonlinear Dimensionality Reduction by Locally Linear Inlaying

37. 3. 图的矩阵表示 • 定义5：给定无向图G，v1,v2,…,vp和e1,e2,…,eq分别是G的结点和边，定义矩阵M(G)=(mij),其中 mij = 1 若vi关联ej 0 若vi不关联ej 称M(G)为无向图G的完全关联矩阵。需注意的是:无向图的关联矩阵不考虑自回路，若有自回路则删去 • 例子 • 注：图中每一边关联两个结点，故M(G)的每一列中只有两个1。 每一行中元素和是对应结点的度数。 一行中元素全为0，其对应的结点为孤立结点。

38. 3. 图的矩阵表示 两个平行边对应的两列相同。 同一个图当结点或边的编序不同时，其对应的M(G)仅有行序或列序的差别。 • 定义6：给定有向图，G＝<V,E>，V={v1,v2,…,vp }，E={e1,e2,…,eq }，定义p×q阶矩阵M(G)=(mij), 其中 1 若在G中vi是ej的起点 mij = －1 若在G中vi是ej的终点 0 若vi与ej不关联 称M(G)为有向图G的完全关联矩阵。需注意的是:有向图的关联矩阵不考虑自回路，若有自回路则删去

39. 3. 图的矩阵表示 • 完全关联矩阵M(G)中，若记vi对应的行是 ，则可如下定义第i行与第j行的相加：对有向图，第i行与第j行的相加是指对应分量的普通加法运算；对无向图是指对应分量的模2加法运算。有向图和无向图的行相加均记为 ，其意义是将G的结点vi与vj合并。 • 例子

40. 3. 图的矩阵表示 • 定理4：若一个无向连通图G有r个结点，则其完全关联矩阵M(G)的秩为r－1，即 rank M(G) = r－1（这里的秩计算是在完全关联矩阵加法和乘法意义下的） 。 • 推论：设无向图G有r个结点，w个连通分支，则图G完全关联矩阵的秩为r－w。

41. 4. 欧拉图与汉密尔顿图 • 定义1：给定无孤立结点图G，若存在一条路，经过图中每边一次且仅一次，该条路称为欧拉路（Euler trail）；若存在一条回路，经过图中每边一次且仅一次，该回路称为欧拉回路（Euler circuits） 。 • 注：欧拉路和欧拉回路分别是迹和闭迹 具有欧拉回路的图称为欧拉图。 • 定理1：无向图G具有一条欧拉路 iff G是连通的，且有零个或两个奇数度结点。 • 推论：无向图G具有一条欧拉回路 iff G是连通的，且所有结点度数均为偶数。

42. 4. 欧拉图与汉密尔顿图 • 定义2：给定有向图G，通过图中每边一次且仅一次的一条单向路（回路），称为单向欧拉路（回路）。 • 定理2： 1）有向图G具有一条单向欧拉回路 iff G是连通的，且每个结点入度等于出度。 2）一个有向图G具有单向欧拉路 iff G是连通的，且除两个结点外，每个结点入度等于出度，但这两个结点中，一个结点的入度比出度大1，另一个结点的入度比出度小1 。

43. 4. 欧拉图与汉密尔顿图 • 定义3：给定图G，若存在一条路或回路，经过图中每个结点恰好一次，称这条路为汉密尔顿路（Hamilton paths）或汉密尔顿回路（Hamilton cycles）。 注：汉密尔顿路和汉密尔顿回路分别是通路和圈 具有汉密尔顿回路的图称为汉密尔顿图。 • 定理3：若图G=<V,E>具有汉密尔顿回路，则对于结点集V的每个非空子集S均有W(G－S) ≤|S|成立。其中W(G－S)是G－S中连通分支数。 • 定理4：设G是具有n个结点的简单图，若G中每一对结点度数之和大于等于n－1，则在G中存在一条汉密尔顿路（充分条件）。

44. 4. 欧拉图与汉密尔顿图 • 定理5：设G是具有n个结点的简单图，若G中每一对结点度数之和大于等于n，则在G中存在一条汉密尔顿回路。 • 例子：在7天安排7门课的考试，要求由同一教师担任的课程不在连续的两天中考试。求证若没有教师担任4门以上课程，则可做出符合要求的考试安排 • 定义4：给定图G=<V,E>有n个结点，若将图G中度数之和至少是n的非邻接结点连接起来得图G’,对图G’重复上述步骤，直到不再有这样的结点对存在为止，所得到的图，称为原图G的闭包，记作C(G)。 • 例子

45. 4. 欧拉图与汉密尔顿图 • 定理6：当且仅当一个简单图的闭包是汉密尔顿图时，这个简单图是汉密尔顿图。 • 给定任意图G，不存在有效的算法判定其中是否有汉密尔顿路或回路（假设P不等于NP）；事实上，汉密尔顿路或回路的存在性判定是NP完全问题 • 以标记法判定汉密尔顿路的存在性： 相邻点分别采用不同标记 若两个相邻点的标记相同，则在其间插入采用不同标记的新点（例子：p310图7-4.13） • 问题：上述方法是否可以作为判定汉密尔顿路存在性的充要判据？

46. 5. 平面图 • 定义1：设G＝<V,E>是一个无向图，若能够把G的所有结点和边画在平面上，且使得任何两条边除了端点外没有其他的交点，则称G为平面图(planar graph)。 • 注：某些表面上有边相交的图实际上是平面图；某些图无论如何改画都存在相交的边，这类图不是平面图 • 定义2：设G是一连通的平面图，由图中的边所围成的区域，在区域内既不包含图的结点，也不包含边，这样的区域称为G的一个面(face)；包围该面的诸边所构成的图形称为这个面的边界。 • 注：本课程只对连通平面图讨论面

47. 5. 平面图 • 例子（p313图7-5.3） • 注： 两个点属于同一个面的充要条件是这两个点之间可由一条连续曲线相连，且此曲线不经过图的任何点或边。 面的边界是回路（Closed Walk） 构成面r边界的回路长度称作该面的次数，记deg(r) 。 对于只是一个面r的边界的边，计算r的次数时应两次计算此边

48. 5. 平面图 • 定理1：一个有限（连通）平面图，面的次数之和等于其边数的两倍。（例子：p313图7-5.3） • 定理2（图论欧拉定理）：设有一个连通的平面图G，共有v个结点，e条边和r个面，则欧拉公式 v－e＋r ＝ 2 成立。 • 定理2*（拓扑欧拉定理）：设凸多面体有v个结点，e条棱和r个面，则v－e＋r＝2成立（证明作为思考题）。 • 注：定理2*的结论可扩展到满足下列条件的多面体P 1） P的任何两个顶点可以用一串棱相连 且2） P表面上的任何直线段构成的圈将P的表面分成不连通的两部分

49. 5. 平面图 • 平面图与凸多面体的关系？ 任何凸多面体决定了一个画于平面上的3-连通简单平面图表示；反之，任何3-连通简单平面图决定了一个凸多面体。Duijvestijn, A. J. W. and Federico, P. J. "The Number of Polyhedral (-Connected Planar) Graphs." Math. Comput. 37, 523-532, 1981 注：点连通度大于等于3的图称为3-连通图 • 定理3：设G是一个有v个结点，e条边的连通简单平面图，若v≥3，则e≤3v－6。

50. 5. 平面图 • 注：此定理的条件是必要条件 • 例子：求证K5和K3,3不是平面图 • 定义：图的围长（girth）定义为其最短圈的长度。若图中无圈，约定其围长为无穷大 • 定理4：设G是有v≥3个结点，e条边的连通简单平面图，若G的围长为g，则e≤max｛(n-2)*g/(g-2),n-1｝ • 平面图的判定问题：在给定图G的边上，插入一个新的度数为2的结点，使一条边分成两条边，或者对于关联于一个度数为2的结点的两条边，去掉这个结点，使两条边化成一条边，都不会影响图的平面性。 • 定义3：给定两个图G1和G2 ，若它们是同构的，或者在反复插入或除去若干2度结点后同构，则称G1和G2是在2度结点内同构的。