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基礎的な概念

基礎的な概念. 集合と論理. 集合 数学的に分析対象になるように定義されたものの集まり 実数、 [0,1] で定義された連続実関数 みかんやりんごではない 基礎論では、ややこしい定義がある。 普通は何らかの構造を与えられた集合である空間とその要素や部分集合から話が始まるの. 集合、要素、部分集合. W ： 全体の集合 wÎ W ： その要素 A ：部分集合 各 wÎ W は、 wÎ A ( A に属する ) か wÏ A ( A に属さない ) かどちらか A C ： A の 補集合・・ A に属しない要素をすべて含む集合

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基礎的な概念

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Presentation Transcript

  1. 基礎的な概念

  2. 集合と論理 • 集合 • 数学的に分析対象になるように定義されたものの集まり • 実数、[0,1]で定義された連続実関数 • みかんやりんごではない • 基礎論では、ややこしい定義がある。 • 普通は何らかの構造を与えられた集合である空間とその要素や部分集合から話が始まるの

  3. 集合、要素、部分集合 W：全体の集合 wÎ W ：その要素 A ：部分集合 各wÎ Wは、 wÎ A(Aに属する)かwÏ A(Aに属さない)かどちらか AC ： Aの補集合・・Aに属しない要素をすべて含む集合 Æ (W C)：空集合・・・一つも要素がない集合

  4. 集合の包含 AÌB:AがBに含まれる Aの要素はすべてBの要素 A=BÛ (AÌBかつBÌA) AÌBÛBCÌAC ÆÌ AÌWがすべてのAについて成立する

  5. 必要条件と十分条件 • 基礎論に遡らなければ以下は同じ • 「ある条件が成立すれば別の条件が成立する」 • 「別の条件が成立するのは、ある条件が成立するときだけである」 • {ある条件が成立する集合}Ì {別の条件が成立する集合} • ある条件は、別の条件の十分条件 • 別の条件は、ある条件の必要条件 • ある条件Þ別の条件 • 別の条件が成立しないÞある条件が成立しない (対偶)

  6. 必要十分条件 • (ある条件⇒別の条件)かつ(別の条件⇒ある条件) • ある条件⇔別の条件 • ある条件は別の条件の必要十分条件 • ある条件と別の条件は同値(equivalent)

  7. 和集合と共通部分 ド・モルガンの法則・・図を描くとすぐわかる

  8. 和集合と共通部分(沢山のとき)

  9. 一般のド・モルガン法則 • 右に入っている要素が左に入っていて、左に入っている要素が右に入っていることをじっくり言葉で説明できる

  10. 加算集合と非加算集合 • 有限集合(finite set) • 有限個の集合 • 加算集合(countable set) • すべての要素が順番に並べられる • 自然数と一対一対応ができる • 非加算集合 • すべての要素が順番に並べられない

  11. 有理数の加算性 • 正の有理数は以下のように並べ、通分して同じものは飛ばせば、どの有理数も必ずやがては出てくる 分子 分母

  12. 実数の非加算性 • 加算なら(0,1)の実数を順に並べられるとする。 • これを10進法で表す(0.1は0.099....の書き方にする) • 1番目の桁が一番目の数と違い、2番目の桁が二番目の数と違う・・・というふうに作った数は、実数だがリストに載っていない

  13. ビール 焼肉 二財の組み合わせで、どちらがいいかは無差別曲線で表される • 選好と効用関数 行儀のいい選好は実数値を取る効用関数であらわすことができる 例・・対応する無差別曲線の原点との最少距離 距離の自乗や対数も同じ選好に対応する効用関数

  14. 辞書的選好 一番目が単語の一番目のアルファベットに対応するので辞書的 効用関数であらわされるとすると から、一つ有理数がとれる。 加算な有理数と非加算な無理数の間の一対一対応はできない 辞書的選好に対応する効用関数は存在しない

  15. 実数と収束 • 鉛筆が一本10円で、5本買うと、10円／本×5本＝50円になる • 鉛筆が一本p円で、 x本買うと、 p x円

  16. 数の種類 • 鉛筆の例では、 pと xは、自然数(Natural Number)(1や10や32) • マイナスも入れると整数(Integer) • マイナスの経済変数は、すべて正の変数の差?

  17. 分数で書けるのが有理数(rational number) • そうでないのが無理数(irrational number) • ここまでが実数(real number)・・経済学で主に使う • 解析概論では、Dedekind切断を用いた議論で始まる

  18. 上界と下界

  19. 複素数 • 経済学で出てくることがある。 • だいたい三角関数と一緒にでてくる

  20. 数列の収束

  21. コ－シー列 • 実数のコーシー列は収束する(実数の連続性) • コ－シ－列は収束先が定義できなくても定義できる • コ－シ－列が収束する空間は、完備空間で実数空間は、その例 • 実数空間は、有理数空間の完備化空間=有理数空間のコ－シ－列の空間

  22. 上極限と下極限

  23. 上極限と下極限(続き) aより少しでも大きい a+eに対しては、それより小さいanは、有限しかないが、 aより少しでも小さい a-eに対しては、それより大きいanは、無限にある。 対称的に定義

  24. 上極限と下極限(続き2) 1より大きいanは一つもない、 1より大きいbnは、無限にある。

  25. 上極限と下極限(続き3)

  26. 関数

  27. n次元実ベクトル Rnの点 n個の実数を並べたもの・・ いろんな物の値段、いろんな人の所得 ちゃんとした書き方 大雑把な書き方 Rnの定義と集合の記号の話を集める

  28. Rnの収束 べきではない

  29. Rnの距離 2次元と3次元ではピタゴラス定理で出る

  30. 距離の公理 ある空間のペアの実数値関数で以下の公理を満たす 三角不等式 距離のあるのが距離空間

  31. 距離空間の収束 • Rnでは、要素ごとの収束と同じ • 収束などは同じ・・同じ位相(topology)を与える

  32. 線形空間 Xが(実)線形空間 (実)線形空間のノルム 例　Rnの原点からの距離

  33. 線形空間(続き) (実)線形空間の内積 例　Rnの内積

  34. 内積・ノルム・距離の関係

  35. 内点、集積点と開集合、閉集合(1) • 開球(近傍): xから距離がr以下の点の集合 • Aが開集合・・ Aの各点がAに完全に入っている近傍を持つ • 直感的にはつぶれないで端を含まない

  36. 内点、集積点と開集合、閉集合(2) • Aの集積点・・ Aの点列の極限 • 同じ点を繰り返す数列は、OKなのでAの点は、すべてAの集積点 • Aの集積点は、 Aに属するとは限らない • Aの集積点をの集合がAの閉包 • Aがその集積点をすべて含むとき、閉集合

  37. 内点、集積点と開集合、閉集合(3) • 開集合の補集合は、閉集合で閉集合の補集合は開集合 • 例・・すべての有理数の集合の閉包は、すべての実数の集合 • すべての有理数の集合自体は、閉集合でも開集合でもない

  38. 有界集合 • Aを含む開球があるときAは有界 • 開球でなくても無限に広がっていなければいい • 有界(bounded)と有限(finite)は違う

  39. コンパクト集合 • 一般的な定義は、ハイネ・ボレルの被覆定理式 • Rnでは有界な閉集合

  40. Rnの連続関数 • 以下では連続でない行儀の悪い関数はほとんど出ない

  41. 関数の逆像(1) • つまり行き先がAに入る点の集合 • 逆写像は単調性を仮定し点なのに対し、逆像は集合

  42. 関数の逆像(2) • 逆像は、都合のいい性質をすべて持つ • 連続関数の開(閉)集合の逆像は開(閉)集合 • 連続関数のより一般的な定義

  43. 関数の像 • つまり集合の行き先 f(A) Çf(B) f(B) f(A) A B

  44. コンパクト集合の性質 • コンパクト集合上で連続関数は最大値と最小値を取る • 最大化の解が存在することをちゃんというには、必要 • コンパクト集合の連続関数による像はコンパクト • n次元実空間ではコンパクト集合と有界閉集合が一致するので上の命題が出る

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