Coloriamo?

1. Coloriamo? Tiziana Calamoneri Roma, 21 Settembre 2009

2. Elenco dei coautori (in questa ricerca) • Stranieri: • S. Olariu (Old Dominion Univ.) • G. Fertin (Univ. de Nantes) • A. Pelc (Univ. du Québec) • R.B. Tan (Utrecht & Oklahoma Univ.) • Italiani: • S. Caminiti • I. Finocchi • E. Fusco • R. Petreschi • B. Sinaimeri • P. Vocca (U. di Lecce)

3. Un problema di colorazione (1) • Dato un grafo G, colorare tutti i suoi nodi in modo che nodi adiacenti ricevano colori diversi e minimizzando il numero di colori. • Teorema dei quattro colori(cong. 1852 Guthrie - studente di De Morgan; pubbl. 1879 Cayley) data una carta geografica politica, sono sufficienti quattro colori per colorare ogni regione facendo in modo che regioni adiacenti non abbiano lo stesso colore. Due regioni sono dette adiacenti se hanno almeno un segmento di confine in comune.

4. Un problema di colorazione (2)

5. Un problema di colorazione (3) • regione della mappa  nodo; • due regioni corrispondenti sono confinanti  arco. • Teorema dei quattro colori: I nodi di ciascun grafo planare possono essere colorati utilizzando al massimo quattro colori, in modo tale che due nodi adiacenti non ricevano mai lo stesso colore.

6. Altre applicazioni (1) • Problemi di schedulingIn un orario dei corsi, corsi tenuti dallo stesso docente o previsti per lo stesso anno non possono avere lo stesso orario. Minimo numero di ore. • Corsi  nodi • Restrizioni che forzano orari diversi  archi • Orari  colori

7. Altre applicazioni (2) • Assegnazione di frequenze alle stazioni radio di una rete senza filiOgni stazione trasmette con una frequenza. Minimizzare il numero di frequenze evitando collisioni…Messaggi trasmessi con frequenze “simili” nella stessa area (collisioni dirette) o più messaggi in ricezione sulla stessa frequenza vengono persi (collisioni nascoste).

8. Altre applicazioni (3) • Grafo dei conflitti: • antenne  nodi • possibili comunicazioni (e quindi conflitti)  archi • frequenze  colori • La semplice colorazione dei nodi non garantisce un risultato corretto. • Generalizzazione del problema…

9. 0 2 0 2 4 0 2 4 0 2 … 4 2 0 3 1 4 L(2,1)-etichettatura (1) • Una L(2,1)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori diversi e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2. • Problema della L(2,1)-etichettatura: minimizzare  =4

10. L(2,1)-etichettatura (2) • Il problema della L(2,1)-etichettatura è, in generale, NP-arduo. • Diverse vie di ricerca: • trovare classi di grafi per cui il problema si risolve polinomialmente (ad es. grafi completi, alberi, griglie, ecc.) • trovare algoritmi di approssimazione per le altre classi • trovare limitazioni superiori ed inferiori al numero di colori necessari

11. 9 2 8 0 7 3 6 4 5 L(2,1)-etichettatura (3) • Osservazione: +1 • Esistono grafi che richiedono ((ad es. il grafo di incidenza di un piano proiettivo (n) di ordine n)

12. L(2,1)-etichettatura (4) • +2Griggs & Yeh ‘92) • Congettura: per ogni grafo • +2-4 (Jonas ‘93) • +Chang & Kuo ‘96 • +Kràl’ & Skrekovski ‘03 • +Gonçalves ‘08 • Havet, Reed and Sereni ‘08 se >0, ma 0 è circa 1069!!

13. h k L(h,k)-etichettatura • Applicazioni: • problemi di assegnazione di canali, dove il canale è definito come frequenza, tempo, o codice di controllo, equivalente ad L(h,k) per valori opportuni di h e k • assegnazione di canali in reti ottiche basate sui clusters equivalente a L(0,1) o L(1,1) a seconda del fatto che i clusters contengano uno o più nodi • assegnazione di un codice di controllo nelle reti radio per evitare collisioni nascoste, equivalente a L(0,1) L(2,1)-etichettatura

14. L(2,1)-etichettatura orientata (1) • Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura. • Una L(2,1)-etichettatura orientata di un grafo orientato G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza 1 e nodi adiacenti abbiano colori a distanza 2. • Problema della L(2,1)-etichettatura orientata: minimizzare  • N.B. il minimo valore di  può essere molto diverso che nel caso non orientato. Ad es. alberi…

15. 0 2 2 2 4 4 4 4 0 0 0 L(2,1)-etichettatura orientata (2) • Per alberi non orientati, ≤≤, ed è linearmente decidibile qual è il valore esatto (Chang & Kuo ‘96, Hasunama et al. 2008) • Per alberi orientati, ≤ (Chang & Liaw ‘03)

16. Conclusioni (1) Nella vita reale ci sono tanti problemi che possono essere modellati come un problema di colorazione. Allora…

17. Conclusioni (2) … coloriamo!

18. Altre applicazioni (2) • Allocazione di registriLe (molte) variabili in uso vanno assegnate ad un numero (limitato) di registri. Quando una variabile non è più usata, il suo registro può essere riallocato. Le variabili sono in conflitto se una è usata sia prima che dopo un’altra. Minimizzare il numero di variabili non memorizzate in registri. • Variabili  nodi • Conflitti tra variabili  archi • Registri  colori

19. Un problema di colorazione (3) • È immediato trovare mappe per le quali tre soli colori non sono sufficienti. • Non è eccessivamente difficile dimostrare che bastano al più cinque colori. • Per dimostrare che siano strettamente necessari almeno quattro colori: • 1879: Alfred Kempe. Prima dim. • 1880: Peter Tait. Dim. alternativa • 1890: Percy Heawood. Errore in Kempe • 1891: Julius Petersen. Errore in Tait • 1977: Kenneth Appel e Wolfgang Haken: dim.

20. L(h,k)-etichettatura (1) • Generalizzazione della L(2,1)-etichettatura. • Una L(h,k)-etichettatura di un grafo G è una funzione che assegna colori dall’insieme 0, … , ai nodi di G tale che nodi a distanza 2 abbiano colori a distanza k e nodi adiacenti abbiano colori a distanza h. • Problema della L(h,k)-etichettatura: minimizzare 