第二章 欧氏几何平面的拓广

1. l与 是平面内的两直线。 且 第二章 欧氏几何平面的拓广 2.1 中心投影（透视）与理想元素 一.直线平面的中心投影： 1.两直线间的中心投影： 如图：l上的点A、B 与 上的点 、 对应。 称 、 是从l到 在以O为投影中心下A、B的透视点 或中心射影。OA、OB 是投影线。 自对应点：R 且 称P为l上的没影点P在 上无中心投影。 , 称Q为 上的没影点Q在l上无中心投影。

2. 反过来，点A、B 称为是从 到l的在以O为投影中心下 、 的投视点或中心投影。 中心射影下的对应不是一一对应的。 P O B A R 2.两平面间的中心投影： 空间中两个不同的平面 、 、O点为不在这两平面上的空 间中的任意点。过O引直线交 、 于点 P 、 。 O为投影中心。P、 互为透视点。且 过O作平面 。与 相交于直线 时， 与 g 平行。则 上任意一点在 上没有透视点，如 ，则 则M为 上的没影点。直线 为 上没 影点的集合，称为 面上的没影线。

3. 同样 上也有一条没影线过O作平面W与 平行交 于直线l，则l为 上的没影线。 点P的中心射影与射影心的位置有关。 二.理想元素： 1. 无穷远点（理想点）： 在平面内对任何一组平行线引入唯一的点与之对应。记为无穷远点或理想点。 该点在该组中的每一直线上，而不在组外的直线上。 空间平行线组只有一个公共的无穷远点。 或一组平行线交于无穷远点。 平面内的一切无穷远点的集合。 2.无穷远直线： 空间里一组平行平面相交于一条无穷远直线。 3.无穷远平面： 空间一切无穷远点的集合。 原有的平面称为有穷远平面。

4. 解：如图：过a,b之交点P作一直 线l平行于平面 ，在P上任取一 点O(与P不同），则以O为射影中 心将a,b射影到平面 上，这时P 为没影点。因为OP平行 。所以P在 上的中心射影为 即a, b 在 上的中心射影 、 相交于 ，亦即 平行。 例1：已知两平面 和 。a、b为 内两相交直线。试求一射影 中心将a,b射影为平面 内的二平行直线。 b P a 、

5. 当 时，点P的对应 点 为 上的 。而圆周上的其 余的点对应直线l上的有穷远点，在欧氏平面上，圆可看作射影 直线的一个模型。 §2.2 射影平面 定义1： 仿射直线：在欧氏直线上添加上一个无穷远点以后便得到 一条新的直线 若在仿射直线上不区别有穷远点与无穷远点，则这条仿射直线 称为射影直线。（一维射影空间） 由于添加一个无穷远点得到的。所以射影直线是封闭的。 如果把欧氏平面圆周上一点O看作投影中心，则圆周上任一点P 在直线l上都有它的对应点，且这种对应是一一对应。

6. 定义2：在欧氏平面上添加一条无穷远直线，称为仿射平面定义2：在欧氏平面上添加一条无穷远直线，称为仿射平面 （或为扩大平面）。如果在仿射平面上对有穷远元素和无穷 远元素不加以区别，则称这种仿射平面为射影平面。 （称 为二维射影空间）。

7. 如果在射影平面内固定一条直线为无穷远直线，则如果在射影平面内固定一条直线为无穷远直线，则 变为仿射平面。 将射影平面沿一条直线剪开，则为欧氏平面。 一条直线不能把射影平面分为两部分。 2条相交直线把它分为两部分。 3条直线把射影平面分成几部分？

8. l上的无穷远点 的象是 上的影消点 。 §2.3 图形的射影性质 定义1： 在直线上添加无穷远点后，两直线间的中心射影建立了这 两条直线上的点之间一一对应，这时l上的影消点P对应 上的无穷远点 。 通过中心射影建立的二直线上点之间的一一对应叫透视射影 对应。简称透视对应。 同样，在平面上引入无穷远元素后，可通过中心射影建立二平面 点之间的一一对应，也称为透视对应。

9. 定义3：图形经过中心射影不变的性质叫做图形的射影性质定义3：图形经过中心射影不变的性质叫做图形的射影性质 定理1：中心射影保留同素性，即点对应点，直线对应直线 定理2：中心射影保持接合性。 定理3：中心射影保持圆锥曲线的对应为圆锥曲线。 注意：1.圆不具有射影性质。 2.平行性不是射影 性质。 3.简比不是中心射影的不变量。 作业： 18

10. §2.4 齐次坐标 一.点坐标： 1.直线上P点的齐次坐标： 。 ， x为P点 的非齐次坐标。 （ ，0）为无穷远点 ， （0，0）不表任何点 ， （0，1） 为原点的齐次坐标。 2.平面上点的坐标； 点P的笛氏坐标为P(x,y). 令 ， （ ） 则点P的齐次坐标为P( ) 则点P的非齐次坐标为P( )

11. (1). ， 与 表示 平面上同 一点的齐次坐标。 （2）. 为无穷远点的坐标，无穷远点无非齐次坐标。 （3）.（0，0，0）不代表任何点 ， （1，0，0）x轴上的无穷远 点。（0，1，0）y轴上的无穷远点 （0，0，1）代表原点。 （4）. 为无穷远点的特征。所以 为无穷远线的方程。 直线： 齐次式：

12. 定理1：若直线为y=kx+b,则这条直线上无穷远点的坐标定理1：若直线为y=kx+b,则这条直线上无穷远点的坐标 为（1，k, 0） y=kx+b 两直线： a: b: 交点的坐标：

13. 坐标为 (1) 无穷远直线无非齐次坐标方程 （2）直线 上的无穷远点的坐标为 或写为 。 （3） 与 平行， 则有公共的无穷远点： ： ： 则 ， 与 为同一个点。 即为无穷远点的坐标。

14. 例1: 求下列各直线上的无穷远点的坐标: (1) 2x+y+1=0 (2) y-3=0 (3)y=ax+b (4) (5) 解: (1) (1,-2,0) (2) (1,0,0) (4) (0,1,0) (5) (1,0,0) (3) y=ax+b 例2: 求下列各直线的齐次方程: (1) x+y-4=0 (2) y-6=0 (3) x+4=0 (4) 2x+y=0 解:

15. 线坐标： 定义3：在直线 的齐次点坐标方程 中 的系数 叫做该直线 的齐次线坐标。 记为 （1）对于任一实数 则 和 表示同一直线的齐次线坐标。 （2）不全为0的三个实数 。 在平面 上确定唯一一条直线 而 不代表任何直线。

16. 线坐标 ， ， 分别 表示y 轴，x轴和无穷远直线。 （3）若 （直线不过原点）则 称为直线 所有不通过原点的直线方程可以写为 通过原点的直线只有齐次坐标，无非齐次坐标 （4）两点 ， 联线的方程为 由矢量共线得到

17. 例3：求下列线坐标所表示直线的方程 (1) [0,1,1] (2) [1,0,1] (3) [1,1,-1] (4) [1,1,0] 解： (1) （2） （3） （4） 例4：下列各方程所表示什么图 （1） （2） （3） 解: (1)点（1，0，0） （2）点（1，1，1） （3）由

18. 即为点（1，-1，0）和点（1，-4，0） 例5：确定下列各坐标的方程 （1） （2，4，-1） （2） [-1，1，-1] （3） （4） 解：(1) （2，4，-1）的点方程为 （2） [-1，1，-1]的线方程是 （3） 轴上的无穷远点（1，0，0） 点方程为 （4） （1，1，0）其点方程为 定理2：一点

19. 定理3：设经过点 定义4： ： 在点的坐标采用齐次坐标后方程 （1）当 是变量， 是常量时，方程是以 为线坐标的直线方程。 是这直线上的点的流动坐标，这 些点共在一直线

20. （2 ）当 是变量， 是常量时，根据习惯把方程写为 这方程是以 为坐标的点方 程， 是过这个点的直线的流动坐标，这些直线只通过一 个点 。 作业： 3，4，12， 15

21. §2.5对偶原理 定义1： “点”和“直线”称为射影平面上的对偶元素 定义2： “过有一点作一直线”与“在一直线上取一点”叫做射影平面 上的对偶运算。 定义3： 设一射影平面图象F由某些点和直线所成，则将图形F中各 元素改为它的对偶元素，各运算改为它的对偶运算。所得 的图形 称为图形F的对偶图形。 F为 的对偶图形，故对偶图形是相互的。 例1：点列：属于一条直线的所有点A，B，C,．．．的集合. 线束：属于一定点　的所有直线　　　　．．．的集合. 定义４： 对偶命题：

22. 设Ａ为射影平面上仅与点线的结合性有关的一个命题，则命题设Ａ为射影平面上仅与点线的结合性有关的一个命题，则命题 Ａ中各元素换为它的对偶元素．各运算换为它相应的对偶运算， 从而形成一个新的命题　 ，称　 为命题Ａ的对偶命题。 如果两个命题一致，称为自身命题。 对偶命题是相互的 “三点共线”的对偶命题：“三线共点 “三点及其两两连线组成一三点形”与“三线及其两两交点组成一三 线形”为自身对偶命题，为同一个三角形。 对偶原理： 在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立。 例1：试作出下图的对偶图形

23. m q 1. C c M n B N Q b A a 三线相交 三点相连 A b a 2. d D c B C 同一平面上无三 线共点的四条 同一平面上无三点共线的四 直线a,b,c,d中两两相交而得的六个 点A,B,C,D中两两相连而得的六 点。 条直线。

24. a n q p P B Q 3. A b m N M c C 不共线三点M,N,P以及两两连 不共点的三直线m,n,p以及两两 线b,a,c且在直线b上有一点Q 的交点A,B,C且过点B另有一直线Q 例2：写出命题“设A ，B，C三点在一直线 上， 三点在另一直线 上，则交点 共线于 m 的对偶命题，并画出对偶命题。 解：对偶命题：“设 三直线通过一点L， 三直线通过另一点 ，则三条直线 共点于M”。

25. A B C m M L a b 作业： 6，7（2） c

26. M L a b c

27. §2.6 复元素 定义1.以复数为坐标的点或直线称为复点或复直线。 2.共轭点（直线）：若两点（或直线的线坐标）的坐标为共轭 复数。 3.复射影平面：所有复点的集合。 例如：点（1，0，2） （2i，0，4i） 表示同 一实点（1，0，2）。 （对应量成比例） .若 ，点 为无穷远复点。 .若 与三个不全为0的实数成比例。规定为一实点的 齐次 坐标 . 不与任何三个不全为0的实数成比例，则 （ 为任何非0的复数）为一虚点的坐标。 复点与复直线 相结合的条件：

28. (1).在 中若 是流动线坐标，则 它是复点的方程。 定理1.若复点x 在复直线 上，则x的共 轭复点 在u的共轭复直线 上。 （2）.若 是流动的点坐标，则它是复直线的方程。 说明：因为点x在直线u上，所以 。 取共轭复数，则： 。 所以： 此式即表示点 在直线 上。 定理2.一对共轭复点的连线是实直线。

29. 证明：设 与a是两共轭复点,连接a和 确定的直线为u。由定理1 知a在u上,所以 在 ，∵ 在u上,所以a在 上. 所以u和 是同一条直线。 所以，u的非齐次坐标 为实数，所以u是实直线。 定理3.一对共轭复直线的交点是实点。 定理4.一条虚直线上有唯一实点，这个实点是这条虚直线和它共轭 虚直线的交点。

30. 说明：设l为一条虚直线， 是l的共轭虚直线。 说明：设l为一条虚直线， 是l的共轭虚直线。 由定理2知，l与 的交点为一实点P。若l上还有另一实点Q，则 l将为一条实直线而与假设矛盾。故l上有唯一实点P。 定理5： 每一条复直线上至少有一虚点。 例1：求通过点 的实直线的方程。 解： 为共轭复点。 两点的连线为实直线。 方程为：

31. 例2：求复直线 上的实点。 解：复直线l上的实点是l与 的交点。 交点的方程为： l上的实点的坐标为（2，-1，2）。 作业： 8，10