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概率论与数理统计第 13 讲

概率论与数理统计第 13 讲. 本讲义可在网址 http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载. § 3.3 随机向量函数的分布. 在实际应用中 , 有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数 . 例如 , 考虑全国年龄在 40 岁以上的人群 , 用 X 和 Y 分别表示一个人的年龄和体重 , Z 表示这个人的血压 , 并且已知 Z 与 X , Y 的函数关系式 Z =g( X , Y ) 现希望通过 ( X , Y ) 的分布来确定 Z 的分布 . 此类问题就是我们要讨论的两个随机变量函数的分布问题.

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概率论与数理统计第 13 讲

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  1. 概率论与数理统计第13讲 本讲义可在网址http://math.shekou.com 或 ftp://math.shekou.com 下载

  2. §3.3 随机向量函数的分布

  3. 在实际应用中, 有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如, 考虑全国年龄在40岁以上的人群, 用X和Y分别表示一个人的年龄和体重, Z表示这个人的血压, 并且已知Z与X,Y的函数关系式Z=g(X,Y)现希望通过(X,Y)的分布来确定Z的分布. 此类问题就是我们要讨论的两个随机变量函数的分布问题.

  4. 一, 离散型随机变量函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量, g(x,y)是一个二元函数, 则g(X,Y)作为X,Y的函数是一个随机变量, 如果(X,Y)的概率分布为 P{X=xi, Y=yj}=pij (i,j=1,2,)设Z=g(X,Y)的所有可能取值为zk, k=1,2,, 则Z的概率分布为

  5. 例如, 若X,Y独立, 且P{X=k}=ak, P{Y=k}=bk, k=0,1,2,,则Z=X+Y的概率分布为

  6. 即 这个公式称为离散型卷积公式.

  7. 例1设随机变量(X,Y)的概率分布如下表 求二维随机变量的函数Z的分布: (1) Z=X+Y; (2) Z=XY.

  8. 解 列表计算

  9. (1) Z=X+Y的概率分布为 (2) Z=XY的概率分布为

  10. 例2设X和Y相互独立, X~b(n1,p), Y~b(n2,p), 求Z=X+Y的分布.解 这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之.若X~b(n1,p), 则X是在n1次独立重复试验中事件A出现的试验次数, 每次试验中A出现的概率都为p.同样, Y是在n2次独立重复试验中事件A出现的次数, 每次A出现的概率为p. 故Z=X+Y是在n1+n2次独立试验中事件A出现的次数, 于是Z~b(n1+n2, p).

  11. 例3若X和Y相互独立, 它们分别服从参数为l1,l2的泊松分布, 证明Z=X+Y服从参数为l1+l2的泊松分布.解 依题意

  12. 由离散型卷积公式得 即Z服从参数为l1+l2的泊松分布.

  13. 二, 连续型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为f(x,y), 令g(x,y)为一个二元函数, 则g(X,Y)是(X,Y)的函数可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求Z=g(X,Y)的分布.

  14. (1) 求分布函数FZ(z), (2) 求其概率密度函数fZ(z), 对几乎所有的z, 有

  15. 在求随机向量(X,Y)的函数Z=g(X,Y)的分布时, 关键是设法将其转化为(X,Y)在一定范围内取值的形式, 从而利用已知(X,Y)的分布求出Z=g(X,Y)的分布.

  16. 例4设随机变量X与Y相互独立, 且同服从[0,1]上的均匀分布, 试求Z=|X-Y|的分布函数与密度函数.解 先求Z的分布函数

  17. Y=X+z Y 1 Y=X-z z z X O 1

  18. 则Z=|X-Y|的概率密度为

  19. (4) 假设逆变换的雅可比行列式 即J(y1,y2)对于在变换的值域中的(y1,y2)是不为0的. 则Y1=g1(X1,X2), Y2=g2(X1,X2)具有联合密度 w(y1,y2)=|J|f(h1(y1,y2),h2(y1,y2)).

  20. 例5设(X1,X2)的密度函数为f(x1,x2). 令Y1=X1+X2, Y2=X1-X2试用f表示Y1和Y2的联合密度函数.解 令y1=x1+x2, y2=x1-x2, 则逆变换为

  21. 故由定理1知, Y1和Y2的联合概率密度函数为

  22. 1.和的分布: 设X和Y的联合密度为f(x,y), 则Z=X+Y的密度为 证明Z=X+Y的分布函数是 D={(x,y)|x+yz}是直线x+y=z左下方的半平面.

  23. y z x+y=z z x O

  24. 固定z和y对方括号内的积分作变量代换, 令x=u-y, 得

  25. 由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率密度为 由X和Y的对称性, fZ(z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.

  26. 注:特别地, 当X和Y独立时, 设(X,Y)关于X,Y的边缘密度分别为fX(x),fY(y), 则上述两式化为 以上两个公式称为卷积公式.

  27. 例6设X和Y是两个相互独立的随机变量. 它们都服从N(0,1)分布, 其概率密度为 求Z=X+Y的概率密度.

  28. 解 由卷积公式得

  29. 即Z服从N(0,2)分布.

  30. 例7设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为 如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.

  31. 解 分别用X和Y表示第一, 二周的需要量, 则 从而两周需要量Z=X+Y, 由卷积公式

  32. 当z0时, 若x>0, 则z-x<0, fY(z-x)=0; 若x0, 则fX(x)=0, 从而fZ(z)=0.当z>0时, 若x0, 则fX(x)=0; 若z-x0, 即zx, 则fZ(z)=0. 因此上式当z>0时, 才有

  33. 从而

  34. 例8设X1,X2相互独立且分别服从参数为a1,b;a2,b的G分布(分别记成X1~G(a1,b), X2~G(a2,b)), X1,X2的概率密度分别为

  35. 试证明X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布证明 由(3.7)式知, 当z0时, Z=X1+X2的概率密度fZ(z)=0.而当z>0时, Z=X1+X2的概率密度为

  36. 由此即知Z=X1+X2服从参数为a1+a2,b的G分布, 即X1+X2~G(a1+a2,b).

  37. y x=zy x O

  38. 于是Z的密度函数为(利用积分上限函数求导公式)于是Z的密度函数为(利用积分上限函数求导公式)

  39. 当z0时, fZ(z)=0;当z>0时, 故Z的密度函数为

  40. 3. 积的分布; 设(X1,X2)具有密度函数f(x1,x2), 则Y=X1X2的概率密度为

  41. 证明 令y=x1x2, z=x1, 它们构成(X1,X2)到(Y,Z)的一对一的变换, 逆变换为x1=z, x2=y/z. 雅可比行列式为 由定理1得Y和Z的联合密度为 再求Y的边缘密度得

  42. 例10设二维随机变量(X,Y)在矩形G={(x,y)|0x2, 0y1}上服从均匀分布, 试求边长为X和Y的矩形面积S的密度函数f(s).解S=XY, (X,Y)的密度函数为

  43. 三, M=max{X,Y}及N=min{X,Y}的分布设随机变量X,Y相互独立, 其分布函数分别为FX(x)和FY(y), 由于M=max{X,Y}不大于z等价于X和Y都不大于z, 故有FM(z)=P{Mz}=P{Xz,Yz} =P{Xz}P{Yz}=FX(z)FY(z) (3.10)类似地, 可得N=min{X,Y}的分布函数FN(z)=P{Nz}=1-P{N>z}=1-P{X>z,Y>z} =1-P{X>z}P{Y>z} =1-[1-FX(z)][1-FY(z)] (3.11)

  44. 注:上述结果易推广到n维情形: 设X1,,Xn是n个相互独立的随机变量, 其分布函数分别为 则M=max{X1,,Xn}的分布函数为 N=min{X1,,Xn}的分布函数为

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