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数値計算及び実習. 第 11 回 応用プログラミング (3). 応用プログラミング (3). 1. 連立方程式の解法 ・ガウス - ジョルダン法. ガウス - ジョルダン法. 連立一次方程式の解法の１つ. a 11 X 1 + a 12 X 2 + … a 1n X n = b 1 a 21 X 1 + a 22 X 2 + … a 2n X n = b 2 ………………………... a n1 X 1 + a n2 X 2 + … a nn X n = b n. AX=B. 解法. B を A の n+1 行列目に書き足して得られる拡大行列 A e
E N D
数値計算及び実習 第11回 応用プログラミング(3)
応用プログラミング(3) 1. 連立方程式の解法 ・ガウス-ジョルダン法
ガウス-ジョルダン法 • 連立一次方程式の解法の１つ a11X1+a12X2+ … a1nXn=b1 a21X1+a22X2+ … a2nXn=b2 ………………………... an1X1+an2X2+ … annXn=bn AX=B
解法 • BをAのn+1行列目に書き足して得られる拡大行列Ae • Aeが右のような行列になるような操作を行い、そのときのb1’,b2’…,bn’が解となる
計算の手順(1) 第1ステップ 2X+3Y+ 4Z= 6 ① 3X+5Y+ 2Z= 5 ② 4X+3Y+30Z=32 ③ ①×0.5 →①’ ②－①’×3 →②’ ③－①’×4 →③’ X+1.5Y+ 2Z= 3 ①’ 0.5Y－4Z=－5 ②’ －3Y+22Z= 20 ③’
計算の手順(2) 第2ステップ X+1.5Y+ 2Z= 3 ①’ 0.5Y－4Z=－4 ②’ －3Y+22Z= 20 ③’ ②’×2 →②” ①’－②”×1.5 →①” ③－②” ×(－3) →③” X +14Z= 15 ①” Y－8Z=－8 ②” －2Z=－4 ③”
計算の手順(3) 第3ステップ X +14Z= 15 ①” Y－8Z=－8 ②” －2Z=－4 ③” ③”×(－0.5) →③”’ ①” －③”’×14 →① ”’ ②” －③”’×(－8) →②”’ X =－13 ①”’ Y=8 ②”’ Z=2 ③”’
(i=k) 解法のまとめ (i=k) i=1,2,…,n j=k,k+1,…,n+1 k : 第kステップ
解法における注意事項 • 拡大行列Aeに含まれる要素を、その行に含まれる対角要素で割るとき、その除数となる要素をピボットという • 解法から明らかなように、ピボットがゼロになると、以後の操作ができなくなる • 操作の過程で、行と行あるいは列と列を交換してなるべく大きなピボットを採用するようにする → ピボット選択
ピボット選択の例 以下の連立1次方程式について、以下の2つの解法 により得られる解の比較を行う 1)ピボットの選択をしない 2)行交換を行う
2)行交換を行った場合 入れ替え
