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ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE à l’ECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE

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ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACE à l’ECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE. Marie-Hélène Salin Des commentaires complètent les diapos. Ne pas regarder sous la forme diaporama. Partie I. Que recouvre l’expression « maîtrise de l’espace ? »

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enseignement de la geometrie et maitrise de l espace l ecole primaire et au college

ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE et MAITRISE DE L'ESPACEà l’ECOLE PRIMAIRE et au COLLEGE

Marie-Hélène Salin

Des commentaires complètent les diapos.

Ne pas regarder sous la forme diaporama

partie i
Partie I
  • Que recouvre l’expression « maîtrise de l’espace ? »
  • Une personne manifeste une certaine maîtrise de l’espace si elle est capable de résoudre l’essentiel des problèmes spatiaux qu’elle rencontre
probl mes spatiaux
Problèmes spatiaux

- leur finalité concerne l'espace sensible

- ils peuvent porter sur la réalisation :

* d'actions : fabriquer, se déplacer, déplacer, dessiner, etc..

* de communications à propos d'actions ou de constats. Le langage et les représentations spatiales permettent de communiquer des informations qui se substituent à la perception.

- la réussite ou l'échec est déterminée par le sujet par comparaison entre le résultat attendu et le résultat obtenu.

un exemple dans les m tiers du b timent les activit s de lecture trac
Un exemple dans les métiers du bâtiment les activités de lecture-tracé

Exemple tiré de la recherche en cours

de A. Bessot et C. Laborde

Projet École et sciences cognitives

« Activités et formation professionnelles : simulations informatiques comme aide à la conceptualisation »

quelques questions abord es dans la premi re partie
Quelques questions abordées dans la première partie
  • Dans quelle mesure l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire participe-t-il au développement de la maîtrise de l’espace chez les élèves ?
  • Est-ce une finalité de cet enseignement ?
  • Si oui, comment est-elle prise en compte dans les programmes ?
  • Avec quels résultats ?
les finalit s g n rales de la scolarit obligatoire
Les finalités générales de la scolarité obligatoire
  • Deux fonctions de la scolarité obligatoire :

- préparer les élèves aux apprentissages ultérieurs, en particulier professionnels et scolaires,

- les préparer à assumer les décisions qu’ils doivent prendre dans leurs milieux de vie.

  • De ce double point de vue,

des connaissances et des compétences spatiales minimales sont nécessaires

les finalit s de l enseignement de la g om trie dans la scolarit obligatoire
Les finalités de l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire

A l’école primaire,

cet enseignement, qui se nomme « espace et géométrie », doit aider l’élève à se situer dans l’espace, à décrire des situations spatiales et à pouvoir y agir par la connaissance des notions géométriques élémentaires et l’usage des instruments et du mesurage.

les finalit s de l enseignement de la g om trie dans la scolarit obligatoire9
Les finalités de l’enseignement de la géométrie dans la scolarité obligatoire

Par contre, au collège, c’est moins clair :

- « l’emploi [de l’outil mathématique] est précieux dans de multiples circonstances, de la gestion familiale à l’activité scientifique ou professionnelle ».

- Dans les objectifs généraux pour le collège, la priorité semble donnée au raisonnement géométrique

- est notée la familiarisation avec des représentations de l’espace

des programmes la pratique effective
Des programmes à la pratique effective…
  • En primaire
  • Au collège
  • La faible place accordée aux connaissances spatiales est justifiée si leur acquisition se fait quasi-spontanément, dans les interactions familières de l'enfant avec le milieu spatial.
  • Est-ce bien le cas ? Quelques exemples
quelques r sultats concernant les comp tences des l ves l issue de l cole primaire
Quelques résultats concernant les compétences des élèves à l'issue de l'école primaire

Exemple 1: l’orientation d’un plan pose problème à beaucoup d’élèves de 11 ans

l orientation d un plan
L’orientation d’un plan

Nos résultats montrent que les trois-quart de ces élèves de 10-11 ans ne maîtrisent pas convenablement l'utilisation d'un plan dans une activité d'anticipation spatiale, et que 40% d'entre eux sont même assez loin de la compréhension des propriétés spatiales en jeu dans une mise en oeuvre correcte

quelques r sultats concernant les comp tences des l ves l issue de l cole primaire13
Quelques résultats concernant les compétences des élèves à l'issue de l'école primaire

Exemple 2 :

Les connaissances enseignées en primaire ne sont guère disponibles pour résoudre des problèmes posés dans un autre espace que la feuille de papier

slide15
- Presque tous les élèves prennent les mesures des (4 ou 2) côtés, placent deux pastilles, et ajustent les deux autres par tâtonnement pour que les 3 distances restantes correspondent aux longueurs.

- Très peu d’élèves (moins de 10%) recourent à une utilisation immédiate de l’équerre et font un positionnement convenable des quatre coins.

- Les élèves constatent donc un échec massif à la réalisation, lorsqu’on tente de placer les coins du tapis sur les marques faites au sol.

slide16
- parmi les élèves qui échouent, plus de 60% sont incapables d’entrevoir l’origine de leur échec et imputent celui-ci à une erreur de prise des longueurs.

- Pourtant, les évaluations ministérielles montrent que les concepts enseignés sont relativement bien acquis quand les épreuves sont classiques

valuation 6 me
Évaluation 6éme

a. On a commencé le dessin du carré ABCD. Termine le dessin de ce carré

4èmesommet correctement placé : 84,7 %

b. Trace le cercle de centre B passant par A.

tracé correct 76,2 %

quelques r sultats concernant les comp tences des l ves de l enseignement technique
Quelques résultats concernant les compétences des élèves de l’enseignement technique
  • Exemple 3 : Les opérations nécessaires à la maîtrise de la représentation des objets de l'espace ne sont pas construites chez de nombreux élèves de 15 ans
repr sentation des objets de l espace
Représentation des objets de l'espace
  • 30 à 40 % des élèves n’arrivent pas à changer de point de vue d'observation pour repérer la troisième dimension. 
  • Toute l’information est demandée à la vue de face, stéréotype représentatif,
  • De grandes difficultés à sortir du stéréotype pour choisir une autre vue de face.
les difficult s des l ves et des professionnels des m tiers du b timent
Les difficultés des élèves (et des professionnels) des« métiers du bâtiment »

« un nombre significatif de litiges entre le fabricant et le client résultent d’erreurs commises par les ouvriers dans la tâche de lecture - tracé (30% de litiges déclarés) ».

partie ii
Partie II
  • Pourquoi l’enseignement de la géométrie semble-t-il si peu efficace du point de vue des compétences spatiales, telles que définies ci-dessus ?
  • Quelques interrogations plus précises….
slide22
1 : comment sont liées les connaissances spatiales et les connaissances géométriques ?
  • 2 : les compétences et connaissances spatiales ont-elles besoin d’être enseignées ?
  • 3 : si on vise une certaine maîtrise spatiale, peut-on limiter les rapports avec l’espace à des rapports avec des représentations (travail sur les plans) ou des figures de l’espace graphique ?
  • 4 : au collège, quels peuvent être les effets de la centration de l’enseignement sur la démonstration, du point de vue de la maîtrise de l’espace ?
1 connaissances spatiales et connaissances g om triques
1. Connaissances spatiales et connaissances géométriques

Nous avons pris le point de vue suivant :

  • d'une part différencier les types de connaissances (spatiales / géométriques) par les types de situations et de problèmes dans lesquelles elles sont mobilisées.
  • d'autre part prendre le terme « géométrie » au sens strict, c'est-à-dire renvoyant à une branche des mathématiques.
probl me de g om trie
Problème de géométrie

Les problèmes de géométrie, au sens où ce mot est employé en mathématiques :

Résoudre un problème de géométrie est une activité qui concerne le caractère nécessaire de certaines propriétés des objets de la géométrie.

  • Un exemple simple : Construire un segment [AC] de 5 cm de longueur et un triangle ARC tel que AR = 3 cm et RC = 4 cm. Quelle est la nature du triangle ARC ?

Un raisonnement géométrique permet de prévoir que le triangle ARC est rectangle en R, en s’appuyant sur les données et un théorème, la réciproque du théorème de Pythagore

slide25
Une « figure-dessin » peut soutenir le raisonnement, mais le constat des propriétés sur la « figure-dessin » ne permet pas de valider la proposition mise à l'étude.
  • Les situations de géométrie mettent donc en interaction un sujet « mathématicien » avec un milieu qui n'est plus l'espace physique et ses objets mais un espace conceptualisé.
  • Les connaissances géométriques (dont sont extraites celles enseignées dans le secondaire) constituent un savoir : la géométrie euclidienne
les rapports entre connaissances spatiales et connaissances g om triques
Les rapports entre connaissances spatiales et connaissances géométriques
  • leur genèse s’effectue différemment 
  • ce sont les problèmes spatiaux qui ont donné naissance à la géométrie
  • Les connaissances géométriques sont des outils pour la résolution des problèmes spatiaux 
  • Le vocabulaire : points communs et différences
  • L'organisation des connaissances
en conclusion
En conclusion

Les connaissances spatiales et les connaissances géométriques

- ne sont pas mobilisées dans le même type de problèmes,

- ne se recouvrent pas les unes les autres,

- on ne peut pas faire de géométrie sans un minimum de connaissances spatiales

- dans notre société, un minimum de connaissances géométriques sont nécessaires pour résoudre des problèmes spatiaux ordinaires ou professionnels.

2 les comp tences et connaissances spatiales ont elles besoin d tre enseign es
2. Les compétences et connaissances spatiales ont-elles besoin d’être enseignées ?
  • Deux problématiques possibles pour la résolution des problèmes spatiaux
  • Un exemple hors école, pour comprendre l’enjeu de cette distinction : Le vitrier
la probl matique pratique
La problématique pratique

C’est la problématique de la vie courante, des problèmes spatiaux « ordinaires ». Le sujet tente de les résoudre de la manière la plus rapide possible. Si la solution n'est pas satisfaisante, le sujet va l'ajuster à la solution attendue par une suite de corrections immédiates, sans se soucier de corriger la méthode utilisée initialement pour l'obtenir

la probl matique de mod lisation
La problématique de modélisation

C’est la problématique dans laquelle se situent les « professionnels », ingénieurs, techniciens.

Le problème concerne l'espace sensible. Comme pour la problématique pratique, la solution doit pouvoir être validée dans l'espace sensible. Mais la solution doit être reproductible, dépassant le problème immédiat.

la probl matique de mod lisation31
La problématique de modélisation
  • la solution d'un problème par modélisation doit être construite dans le système symbolique du modèle
  • L'interprétation dans l'espace sensible de la solution construite dans le modèle permet la validation pragmatique de l'ensemble de la démarche
  • Modélisation spatio-géométrique : modélisation de l'espace par des connaissances issues du savoir géométrique,
  • Modélisation analogique : modélisation d'un espace par un autre : schéma, dessins, plans, etc..
retour sur l enseignement des connaissances spatiales
Retour sur l’enseignement des connaissances spatiales
  • La problématique pratique est présente dès la naissance. De nombreuses compétences spatiales de base se développent, relayées et approfondies par certaines situations d’enseignement à l’école maternelle et au cycle 2,
  • La problématique pratique ne suffit plus sitôt qu’est visée une certaine modélisation, même très élémentaire, des problèmes spatiaux, qu’ils relèvent des connaissances « analogiques » ou « spatio-géométriques ».
slide33
3. Peut-on limiter les rapports avec l’espace à des rapports avec des représentations (travail sur les plans) ou des figures de l’espace graphique ?
exemple 2 le d placement du tapis
Exemple 2 : le déplacement du tapis
  • Les élèves ont appris à dessiner des rectangles sur du papier, et à parler de ses propriétés. Mais ils n'ont jamais ressenti la nécessité d'utiliser effectivement les propriétés des angles droits. Pourquoi ? Parce qu'ils utilisent d'autres propriétés pour contrôler leurs dessins sur papier. Par exemple, ils peuvent contrôler la forme par des moyens perceptifs qui sont très efficaces dans ce micro-espace.
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Pour résoudre le problème, les élèves doivent se transporter dans un espace qui n'est plus l'espace symbolique de la géométrie, où ils ne peuvent plus contrôler une forme d'un seul coup d'oeil (comme sur le papier), et le modifier immédiatement. Ils doivent reconstruire tout le modèle géométrique : lignes joignant deux points (places des coins), et contrôler la position relative des lignes avec des angles; ils doivent aussi contrôler les liens entre l'espace et le modèle.
pour conclure propos de l enseignement primaire
Pour conclure à propos de l’enseignement primaire
  • Les connaissances dont disposent les élèves concernent surtout l’espace de la feuille de papier.
  • L’enseignement de l’espace et de la géométrie à l’école primaire sous-estime la difficulté d’acquisition des connaissances spatiales.
  • Il laisse à l’élève la charge d’établir des rapports adéquats entre l’espace et les concepts qui lui sont enseignés.
4 les effets du changement de rapport aux figures initi en 6 me
4. Les effets du changement de rapport aux figures initié en 6ème
  • Depuis vingt ans, les programmes privilégient un passage en douceur de la géométrie « instrumentée » à la géométrie « déductive » et évoquent pour la classe de 6ème la mise en place de « courtes séquences déductives »
  • Dans la plupart des manuels, il y a confusion entre séquence déductive et démonstration.
  • Pour essayer d’aider les élèves, des moyens différents sont proposés
mesurer ou utiliser les instruments est impr cis
Mesurer ou utiliser les instruments est imprécis

Il s’agit d’introduire la nécessité de la démonstration en disqualifiant la mesure, trop imprécise, sans prendre en compte le fait que les deux méthodes (mesure et logique) pour vérifier la vérité d’une assertion, s’appliquent à des objets de nature complètement différente. Une personne qui veut savoir si ses murs sont d’équerre devrait-elle renoncer à l’emploi d’une équerre ou à des mesurages sous prétexte que ces mesures peuvent être imprécises ?

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Développer un apprentissage systématique du codage et de règles de prélèvement d’informations sur une figure
quelles cons quences pour le d veloppement des comp tences spatio g om triques
Quelles conséquences pour le développement des compétences spatio-géométriques ?
  • Les exercices présentés ont toutes chances d’être incompréhensibles pour des élèves de 6ème puisqu’ils renvoient à un type de rapport à la « figure-dessin » spécifique de la géométrie mathématique qui leur est étrangère.
  • Selon les moments, tantôt le professeur a les mêmes exigences en 6ème qu’au CM2 (géométrie instrumentée), tantôt il « démolit » les connaissances que l’élève a mis plusieurs années à acquérir et qui lui permettent d’avoir prise sur le réel. Comment ce dernier pourrait-il s’y retrouver ?
slide44
La disqualification du rapport spatial aux figures-dessins, sans justification accessible aux élèves, les conduit à adopter des comportements incompréhensibles si on ne les remet pas dans ce contexte :
  • « Même quand il s’agit de construire un patron de cube, dont j’ai donné les dimensions, les élèves ne les respectent pas, ils n’associent visiblement pas un patron à un objet précis mais plutôt à une famille d’objets » (PLC2, à propos de ses élèves de 5ème)
partie iii a

Partie IIIA

Quelques pistes à l’école primaire

- Introduire, dès l'école primaire, les savoirs géométriques de base comme outils pour résoudre effectivement des problèmes spatiaux.

- Utiliser la feuille de papier comme laboratoire

exemple 1 alignement et vis e
Exemple 1 : Alignement et visée

Objectifs

- introduire la notion d’alignement dans une situation spatiale, en liaison avec la visée et le fait que si l’œil est dans l’alignement déterminé par deux objets « quasi ponctuels », l’objet le plus proche de l’œil cache l’autre.

- relier alignement-visée et ligne droite

- travailler simultanément dans le méso-espace et dans l’espace de la feuille de papier.

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viseur

poteau

le viseur pos sur une table roulante support de r tro
viseur

barre de bois fixée au carton pour le surélever d’un côté

carton rectangulaire

Le viseur(posé sur une table roulante support de rétro)
d roulement en 6 me de segpa
Déroulement en 6ème de SEGPA
  • Phase 1 : jeu par équipes
  • Phase 2 : jeu par deux puis représentation sur un plan
  • Phase 3 : nouveau jeu par équipes
  • Phase 4 : institutionnalisation :

« depuis la position où on veut mettre la bouteille, regarder le poteau et le viseur. Il faut que le poteau cache le trou du viseur. »

ou : « la bouteille, le poteau et le viseur doivent être alignés »

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Phase 5 : plus de viseur
  • Il faut aligner sur le sol quatre croix en légos avec des contraintes.
  • Matériel : des ficelles, une règle de maçon
r investissement et entra nement
Réinvestissement et entraînement

Ex 1 : Choisis une place pour le viseur, d’où on ne voit pas la bouteille

exemple 2 c maurin jouer aux ma ons en tra ant les contours d une maison de 12 m tres sur 9 m
Exemple 2 : (C. Maurin )Jouer aux maçons en traçant les contours d’une maison de 12 mètres sur 9 m
  • Premier essai : en général, fabrication de parallélogrammes non rectangles. Quelques-uns utilisent l’équerre, les résultats ne sont pas fameux
  • Travail sur le plan : à la recherche d’autres propriétés. Découverte de l’égalité des longueurs des diagonales et de l’existence du centre du rectangle
  • Les figures qui ont la propriété énoncée sont-elles des rectangles ? Recherche sur feuille
slide53
Retour sur le terrain : recherche d’une procédure adaptée à la taille de l’espace
  • Enrichissement de la carte d’identité du rectangle
  • Conclusion de C. Maurin :

« Le fait de poser un problème de construction dans lequel les dimensions de la figure dépassent largement la taille des élèves peut les amener à remettre en cause leur mode de fonctionnement spontané et à entrer dans un questionnement de nature géométrique. La feuille de papier change de statut et devient un laboratoire d’expérimentation graphique. »

partie iii b

Partie IIIB

Quelques pistes en 6ème pour introduire au raisonnement déductif en confortant un juste rapport à l’espace

elaborer un raisonnement d ductif est possible d s la fin du cycle trois
Elaborer un raisonnement déductif est possible dès la fin du cycle trois

Un exemple de test réussi, après un certain type travail. Le texte est donné sans figure :

On a donné à un enfant une figure qui ressemble beaucoup à un carré, en lui disant de vérifier si c'est bien un carré. Il a mesuré les quatre côtés et trouvé qu'ils étaient de même longueur. Il a vérifié ensuite un angle avec son équerre. Il a trouvé qu'il n'était pas droit. Il a alors dit : « Ce n'est pas la peine que je vérifie les autres angles, je suis sûr que cette figure n'est pas un carré. » Es-tu d'accord avec lui? Justifie ta réponse.

des conditions favorables sinon n cessaires
Des conditions favorables…sinon nécessaires

Le raisonnement est nécessaire pour anticiper la solution d’un problème spatial.

Des contextes différents sont accessibles aux élèves :

- espace de la feuille de papier mais avec des limitations (ex 1. M. Le Berre)

- prévoir des mesures d’un espace effectif à l’aide d’un raisonnement sur un schéma (ex 2)

- prévoir des propriétés à partir de la représentation en perspective d’un solide « existant » (ex 3)

slide59
Adaptation d’un item de l’évaluation 5ème(envisageable après l’introduction de schémas comme moyen de communication d’informations spatiales)

Consigne : « je vous donne un schéma qui décrit la figure que j’ai dessinée, mais je ne vous la montre pas ! Vous devez être capables de trouver la mesure du segment EB à l’aide des informations écrites sur le schéma. Quand vous aurez tous fait votre prévision, je relèverai les résultats, nous essaierons de comprendre comment vous avez trouvé et nous vérifierons ensuite sur mon dessin. »

pr voir des propri t s sur une repr sentation avant de v rifier sur le solide
B

A

I

J

E

F

C

G

Prévoir des propriétés sur une représentationavant de vérifier sur le solide
  • Essaie de prévoir à partir du dessin en perspective:
  • - Quelle est la nature des triangles EFG, BFG, AFB ?
  • Quelle est la nature du quadrilatère EIJF ?
  • Vérifie sur ton cube
en guise de conclusion
En guise de conclusion
  • On ne peut espérer enrichir l’expérience spatiale des élèves de l’apport de la géométrie mathématique si dans l’enseignement, dès le départ, on ne leur permet pas d’expérimenter son intérêt en tant que moyen d’anticipation, dans des situations bien choisies.
  • Dans ces situations, le problème doit être posé de telle manière que la problématique pratique ne puisse être mobilisée.
slide62
Cette façon de travailler suscite des questions :

- d’ordre matériel : comment s’organiser ?

- d’ordre conceptuel, en particulier, comment aider les élèves à différencier la qualité d’une production et la qualité d’une démarche de résolution ?

- d’ordre pédagogique : combien de situations de ce type ? comment mener les mises en commun, institutionnaliser, construire des exercices ? etc..

slide63

C’est pour cela que la retraitée que je suis dit aux plus jeunes, enseignants et chercheurs :« Continuez les recherches …. »

bibliographie
Bibliographie
  • BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1994), L’enseignement de la géométrie à l’école primaire, Grand N n° 53 IREM de Grenoble
  • BERTHELOT R. et SALIN M.H. (1999), L'enseignement de l’espace à l’école primaire Grand N n° 65
  • BERTHELOT R et SALIN M.H.(2001), L'enseignement de la géométrie au début du collège : Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ? Petit x n° 56 IREM de Grenoble
slide65
Bessot A. & Laborde C.( 2005)

« Vers une modélisation d’une géométrie en actes dans les activités de lecture-tracé du bâtiment » Actes du séminaire national de didactique des mathématiques Année 2005 ed IREM Paris 7

  • brochure inter-IREM (2001): « Articulation Ecole-Collège : des activités géométriques »

IREM Paris 7

slide66
I.N.R.P. (1984) L'apprentissage de la géométrie du dessin technique; Des constats d'échec et des moyens de réussite. Collection "rapports de recherche" 1984 n°9
  • Jaffrot § Al (1997) Lire et écrire en mathématiques Des mathématiques au cycle central, Editions IREM de Nantes
  • Revue Grand N : de nombreux articles traitent de l’enseignement de la géométrie en cycle 3
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