Презентация на т ему использование уравнений окружности и прямой при решении задач

1. Работу выполнила Ученица 9 А класса Шевченко Виктория Презентация на тему использование уравнений окружности и прямой при решении задач

2. План: Цели: •Повторить уравнение окружности и прямой. •Показать применение уравнений окружности и прямой при решении задач. •Совершенствование навыков решения задач методом координат.

3. №981 Дано: Точки А и В Найти: Множество всех точек, для каждой из которых расстояние от точки А в два раза больше расстояния от точки В. А)В) A(0;0) М(х; у) В(a;0)

4. Решение: Введём прямоугольную систему координат так, как показано на рисунке а).Тогда точки А и В имеют координаты А(0;0), В(а;0), где а=АВ. Найдём расстояние от произвольной точки М(x;y) до точек А и В: AM=√х2 + у2, ВМ = √(х - а)2 + у2 Если точка М(х; у) принадлежит искомому множеству, то АМ=2ВМ, или АМ=4ВМ. Поэтому её координаты удовлетворяют уравнению: х2 + у2 = 4((х - а)2 + у2). Если же точка М не принадлежит искомому множеству, то её координаты не удовлетворяют этому уравнению. Следовательно, уравнение и есть уравнение искомого множества точек в выбранной системе координат. Раскрывая скобки и группируя слагаемые соответствующим образом, приводим уравнение к виду (х – 4/3а)2 + у2 = (2/3а)2. Таким образом, искомым множеством точек является окружность радиуса 2/3а с центром в точке С(4/3а;0). Эта окружность изображена на рисунке б).

5. Замечание: Аналогично можно доказать, что множеством всех точек М, удовлетворяющих условию АМ=kВМ, где k– данное положительное число, не равное единице, является окружностью радиуса ka/│k2 - a│с центром в точке ( k2 a/k2 -1;0). Эти окружности, соответствующие различным значениям k≠ 1, называют окружностями Аполлония, поскольку они рассматривались ещё древнегреческим математиком Аполлонием в его трактате “О кругах” в II в.до н.э. Если k = 1, то задача сводится к известной нам задаче о нахождении множества всех точек, равноудалённых от точек А и В. Таким множеством, как мы знаем, является серединный перпендикуляр к отрезку АВ.

6. №982(а) Дано: Точка В – середина отрезка АС, АС = 2 Найти: Множество всех точек М, для каждой из которых АМ + ВМ + СМ = 50. у А В С х М

7. Решение: Введём систему координат так, чтобы АСЄОХ, В – начало координат, получим: А(-1;0), С(1;0), М(х;у). АМ2 = (х+1)2 + у2 ВМ2 = х2 + у2 СМ2 = (х-1)2 + у2 (х+1)2 + у2 + х2 + у2 + (х-1)2 + у2 = 50 х2 + 2х + 1 + 3у2 + х2 + х2 – 2х + 1 = 50 3 х2 + 3у2 + 2 = 50 3х2 + 3у2 = 48 х2 + у2 = 16 – окружность с центром В (0;0) и R = 4

8. Литература: • Геометрия, 7-9, Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.