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第七章 组合数学

第七章 组合数学. 组合数学的两个重要问题： 计数、枚举 在计算机科学中的应用： 算法的时间复杂性分析、 密码学、 IP 地址 某些算法. 7.1 基本的计数原则 加法原理 ：完成一个任务有两类方式，分别各有 m 和 n 种方法，则完成该任务的方法数是 m+n  A1∪A2  =  A1  +  A2  （ A1∩A2=  ） 加法原理可推广到多类方式或多个集合的情况 注意加法原理中，各类方式或各个集合之间的不交要求 乘法原理 ：一个任务的实施可以分解为两个独立的步骤，分别各有 m 和 n 种方法， 则完成该任务的方法数是 m*n

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第七章 组合数学

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  1. 第七章 组合数学 组合数学的两个重要问题：计数、枚举 在计算机科学中的应用： 算法的时间复杂性分析、 密码学、 IP地址 某些算法

  2. 7.1基本的计数原则 • 加法原理：完成一个任务有两类方式，分别各有m和n种方法，则完成该任务的方法数是m+n  A1∪A2=A1+A2（A1∩A2=） • 加法原理可推广到多类方式或多个集合的情况 • 注意加法原理中，各类方式或各个集合之间的不交要求 • 乘法原理：一个任务的实施可以分解为两个独立的步骤，分别各有m和n种方法， 则完成该任务的方法数是m*n  A1×A2=A1*A2

  3. 例8 计数函数。从一个n元集到一个m元集存在多少个函数？ 解 一个函数对于定义域中m个元素中的每个元素都要选择倍域中n个元素中的一个元素来对应。因此，由乘积法则存在n*n*…*n= nm个从m元集到n元集的函数。 • 例9 一对一函数。 从一个m元素集合到一个n元素集合存在多少个一对一函数？ 解 首先注意到当m>n时没有从m元集到n元集的一对一函数。现在令mn。假设定义域中的元素是a1 ,a2 , … ,am。有n种方式选择函数在a1的值。因为函数是一对一的，可以有n-1种方式选择函数在a2的值。一般地，有n-k+1种方式选择函数在ak的值。由乘积法则，从一个m元素集合到一个n元素集合存在着n(n-1)(n-2)…（n-m+1）个一对一函数。

  4. 例10 IP地址的计算 因特网上的计算机有多少不同的有效IPv4地址？ 解 令X是因特网上计算机的有效地址数，XA , XB 和XC 分别表示A类、B类和C类的有效地址数。由求和法则，X= XA + XB + XC。 （接下页）

  5. （接上页） 为了找到XA , 由于1111111是无效的，故存在27 -1=127个A类的网络标识。对于每个网络标识，存在224-2=16 777 214个主机标识，这是由于全0和全1组成的主机标识是无效的。因此，XA =127*16 777 214=2 130 706 178。 为了找到XB 和 XC ，首先注意到存在214=16 384个B类网络标识和212=2 097 152个C类网络标识。对每个B类网络标识存在着216-2=65 534个主机标识，而对每个C类网络标识，存在28-2=254个主机标识，这也是考虑到全0和全1是无效的主机标识。因而, XB =1 073 709 056，XC=532 676 608。我们可以断言IPv4有效地址的总数是: X= XA + XB + XC=2 130 706 178+1 073 709 056+532 676 608=3 737 091 842。

  6. 7.2基本（不可重复）的排列与组合问题 • 集合的r-排列：集合中的r个元素的有序序列 A=n，A的r-排列数P(n, r)=n(n-1)…(n-r+1)= • 集合的r-组合：集合的r个元素的子集 A=n，A的r-组合数C(n, r)= P(n, r)/n!= C(n, r)= C(n, n-r)

  7. 关于二项式系数：注意它们的组合意义 • C(n+1, k)= C(n, k-1)+C(n, k) （帕斯卡恒等式） • C(m+n, r)=（范德蒙恒等式） • （二项式定理）

  8. 7.3可重复的排列和组合问题 • 定理2 A=n，A的允许重复（重复次数没有限制）的r-组合数是C(n+r-1, r) 证明：当允许重复时n元素集合的每个r-组合可以用n-1条竖线和r颗星的表表示。这n-1条竖线是用来标记n个不同的单元。每当集合的第i个元素出现在组合中，第i个单元就包含一颗星。例如，4元素集合的一个6-组合用3条竖线和6颗星来表示。这里* | * | | * * * 代表了恰包含2个第一元素、1个第二元素、0个第三元素和3个第四元素的组合。 正如我们已经看到的，包含n-1条竖线和r颗星的每一个不同的表对应于n元素集合的允许重复的一个r-组合。这种表的个数是C(n+r-1, r)，因为每个表对应于从包含r颗星和n-1条竖线的n-1+r个位置中取r个位置来访r颗星的一种选择。

  9. 例5 设一家甜点店有四种不同类型的甜点，那么从中选6块甜点有多少种不同的方式 ？假定只关心甜点的类型，而不管是哪一块甜点或者选择的次序。 解 选择6块甜点的方式数是具有4类元素集合的6-组合数。由定理2，这等于 C(4+6-1, 6)=C(9,6) 由于C(9,6)=C(9,3)=(9*8*7) / (1*2*3) = 84 选择6块甜点的不同方式数有84种。 • 例6 方程x1+x2+x3=11有多少个解？其中x1,x2和x3是非负整数。 解 为计数解的个数，注意到一个解对应了从3元素集合中选11个元素的方式，以使得x1选自第一类，x2选自第二类，x3 选自第三类。因此，解的个数等于3元素集合允许重复的11-组合数。由定理2存在 C(3+11-1, 11)=C(13,11)=C(13,2)=(13*12) / (1*2)=78 个解。

  10. 例7 在下面的伪码被执行后k的值是什么？ k:=0 for i1:=1 to n for i2:=1 to i1 …… for im :=1 to im-1 k:=k+1 解： k的初值是0，且对于一组满足 1≤im≤im-1≤ … ≤i1≤n 的整数i1，i2，… im，，每次执行这个嵌套循环时k的值就加1. 这种整数的组数是从｛1,2, …,n｝中允许重复地选择m个整数的方式数.(因为一旦这组整数选定以后，如果按非降序排列它们,这就唯一地确定了一组对im ,im-1, … , i1的赋值。相反，每个这样的赋值对应了一个唯一的无序集合。）所以由定理2得出在代码被执行后k=C (n+m-1, m)。

  11. 定理3 n1个1类物体，n2个2类物体，…，nk个k类物体， n=ni这n个物体的全排列数是 证明：分别确定每类物体的排列位置，再用乘法原则 为确定排列数，首先注意到可以用C(n, n1)中方式在n个位置中方类型1的n1个物体，剩下n- n1个空位。然后用C(n-n1,n2)种方式来放类型2的物体，剩下n-n1- n2个空位。继续放类型3的物体，…，类型k-1的物体，直到最后可用C(n-n1-n2- … - nk-1,nk)种方式放类型k的物体。因此，由乘积法则，不同排列的总数是 C(n,n1) C(n-n1 ,n2)…C(n-n1-n2- … - nk-1,nk) = * * … * =

  12. 定理4 n=ni个不同物体，放入k个盒子，第1个盒子n1个，第2个盒子n2个，…，第k个盒子nk个， 方法数是 证明：先对n个物体（任意）排序。为第i个盒子设计ni个相同的标记，对这n个标记做全排，根据全排列的结果分配物体入盒子 • 例11 有多少种方式把52张标准的扑克牌发给4个人使得每人5张牌？ 解 我们将使用乘积法则求解这个问题。开始，第一个人得到5张牌可以有C(52,5)种方式。第二个人得到5张牌可以有C(47,5)种方式，因为只剩下47张牌。第三个人得到5张牌可以有C(42,5)种方式。最后，第四个人得到5张牌可以有C(37,5)种方式。因此，发给4个人5张牌的方式总数是 C(52,5) C(47,5) C(42,5) C(37,5)= * * * =

  13. 习题 1.从集合{1,2,…,n}到集合{1,0}有多少个函数？这里的n是正整数。 2.使用乘积法则证明对于n个变量的命题存在 个不同的真值表。 3. 方程x1+x2+x3+x4+x5+x6 =29有多少个解？其中xi(i=1,2,3,4,5,6)是非负整数，并且使得 a) x15 b) x1<8, x2>8 4.在(x1+x2+…+xm)n 的展开式中把所有的同类项合并以后有多少个不同的项？

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